Combien y a-t-il d’étoiles dans une galaxie ? Quelle est la taille d’un virus ? Pour écrire ces nombres gigantesques ou minuscules sans aligner vingt zéros, les mathématiciens utilisent les puissances. Dans ce chapitre, tu révises les puissances d’exposant entier relatif, tu découvres les règles de calcul, puis tu apprends à écrire et à comparer des nombres en écriture scientifique.
1. Puissances d’exposant positif : rappels
Puissance d’un nombre
Soit a un nombre relatif et n un entier positif non nul. Le produit de n facteurs tous égaux à a se note an :
an = a × a × … × a (n facteurs). On lit « a exposant n » ou « a puissance n ». Le nombre n s’appelle l’exposant.
Soit a un nombre relatif et n un entier positif non nul. Le produit de n facteurs tous égaux à a se note an :
an = a × a × … × a (n facteurs). On lit « a exposant n » ou « a puissance n ». Le nombre n s’appelle l’exposant.
Conventions
a1 = a et, pour a non nul, a0 = 1. On lit a2 « a au carré » et a3 « a au cube ».
a1 = a et, pour a non nul, a0 = 1. On lit a2 « a au carré » et a3 « a au cube ».
Exemples
63 = 6 × 6 × 6 = 216. 27 = 128. 90 = 1. 105 = 100 000. (−4)2 = (−4) × (−4) = 16.
63 = 6 × 6 × 6 = 216. 27 = 128. 90 = 1. 105 = 100 000. (−4)2 = (−4) × (−4) = 16.
Piège classique
an n’est pas a × n ! Par exemple 43 = 4 × 4 × 4 = 64, et non 4 × 3 = 12.
an n’est pas a × n ! Par exemple 43 = 4 × 4 × 4 = 64, et non 4 × 3 = 12.
2. Puissances d’exposant négatif
Exposant négatif
Soit a un nombre non nul et n un entier positif. a−n est l’inverse de an :
a−n = 1an c’est-à-dire 1 divisé par (a × a × … × a) avec n facteurs. En particulier a−1 = 1a.
Soit a un nombre non nul et n un entier positif. a−n est l’inverse de an :
a−n = 1an c’est-à-dire 1 divisé par (a × a × … × a) avec n facteurs. En particulier a−1 = 1a.
Exemples
2−3 = 12×2×2 = 18
5−2 = 125 = 0,04
10−4 = 110000 = 0,0001
(−3)−2 = 1(−3)×(−3) = 19
2−3 = 12×2×2 = 18
5−2 = 125 = 0,04
10−4 = 110000 = 0,0001
(−3)−2 = 1(−3)×(−3) = 19
Attention
Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif ! 2−3 vaut 18, qui est positif. Le signe « moins » de l’exposant signifie « inverse ».
Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif ! 2−3 vaut 18, qui est positif. Le signe « moins » de l’exposant signifie « inverse ».
3. Signe d’une puissance et priorités de calcul
Signe d’une puissance
- Si a est positif, an est positif.
- Si a est négatif et n pair, an est positif.
- Si a est négatif et n impair, an est négatif.
Cela reste vrai pour un exposant négatif.
Exemples
(−2)6 = 64 est positif (exposant pair). (−2)5 = −32 est négatif (exposant impair). (−2)−3 = −18 est négatif.
(−2)6 = 64 est positif (exposant pair). (−2)5 = −32 est négatif (exposant impair). (−2)−3 = −18 est négatif.
Parenthèses indispensables
(−3)2 = (−3) × (−3) = 9, mais −32 = −(3 × 3) = −9. L’exposant ne s’applique qu’à ce qui le précède directement : sans parenthèses, c’est le 3 seul qui est élevé au carré.
(−3)2 = (−3) × (−3) = 9, mais −32 = −(3 × 3) = −9. L’exposant ne s’applique qu’à ce qui le précède directement : sans parenthèses, c’est le 3 seul qui est élevé au carré.
Ordre des opérations
On calcule dans cet ordre : 1) les parenthèses ; 2) les puissances ; 3) les multiplications et divisions ; 4) les additions et soustractions.
Exemple : 7 + 3 × 24 = 7 + 3 × 16 = 7 + 48 = 55.
On calcule dans cet ordre : 1) les parenthèses ; 2) les puissances ; 3) les multiplications et divisions ; 4) les additions et soustractions.
Exemple : 7 + 3 × 24 = 7 + 3 × 16 = 7 + 48 = 55.
4. Les règles de calcul sur les puissances
Propriétés (a et b non nuls, m et n entiers relatifs)
- Produit de même base : am × an = am+n
- Quotient de même base : aman = am−n
- Puissance d’une puissance : (am)n = am×n
- Puissance d’un produit : (a × b)n = an × bn
- Puissance d’un quotient : (ab)n = anbn
Pourquoi ça marche ?
34 × 32 = (3 × 3 × 3 × 3) × (3 × 3) : on a 6 facteurs égaux à 3, donc c’est 36. On a bien additionné les exposants : 4 + 2 = 6.
Pour le quotient, 5⁴5⁶ = 5×5×5×55×5×5×5×5×5 = 15×5 = 5−2 : on retrouve 4 − 6 = −2.
34 × 32 = (3 × 3 × 3 × 3) × (3 × 3) : on a 6 facteurs égaux à 3, donc c’est 36. On a bien additionné les exposants : 4 + 2 = 6.
Pour le quotient, 5⁴5⁶ = 5×5×5×55×5×5×5×5×5 = 15×5 = 5−2 : on retrouve 4 − 6 = −2.
Méthode : simplifier une expression
1) Repère les puissances qui ont la même base. 2) Applique la règle (on additionne, on soustrait ou on multiplie les exposants). 3) Si les bases sont différentes, essaie de les décomposer (8 = 23, 25 = 52…).
Exemple : 43 × 25 = (22)3 × 25 = 26 × 25 = 211 = 2 048.
1) Repère les puissances qui ont la même base. 2) Applique la règle (on additionne, on soustrait ou on multiplie les exposants). 3) Si les bases sont différentes, essaie de les décomposer (8 = 23, 25 = 52…).
Exemple : 43 × 25 = (22)3 × 25 = 26 × 25 = 211 = 2 048.
Pas de règle pour la somme
23 + 24 n’est pas 27 ! On calcule : 8 + 16 = 24. De même 23 × 32 ne se simplifie pas en une seule puissance, car les bases sont différentes.
23 + 24 n’est pas 27 ! On calcule : 8 + 16 = 24. De même 23 × 32 ne se simplifie pas en une seule puissance, car les bases sont différentes.
5. Les puissances de 10
Puissances de 10
Pour tout entier n positif : 10n = 1 suivi de n zéros (106 = 1 000 000) et 10−n = 0,0…01 avec n chiffres après la virgule, le dernier étant le 1 (10−3 = 0,001). Enfin 100 = 1.
Pour tout entier n positif : 10n = 1 suivi de n zéros (106 = 1 000 000) et 10−n = 0,0…01 avec n chiffres après la virgule, le dernier étant le 1 (10−3 = 0,001). Enfin 100 = 1.
Multiplier par une puissance de 10
Multiplier par 10n décale la virgule de n rangs vers la droite ; multiplier par 10−n la décale de n rangs vers la gauche.
3,25 × 104 = 32 500 · 740 × 10−5 = 0,0074.
Multiplier par 10n décale la virgule de n rangs vers la droite ; multiplier par 10−n la décale de n rangs vers la gauche.
3,25 × 104 = 32 500 · 740 × 10−5 = 0,0074.
Quelques puissances de 10 et les unités de longueur associées : un nanomètre vaut 10−9 m, un kilomètre 103 m.
Préfixes à connaître
| Préfixe | nano | micro | milli | kilo | méga | giga | téra |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Facteur | 10−9 | 10−6 | 10−3 | 103 | 106 | 109 | 1012 |
Exemple
Un disque dur de 2 To (téraoctets) contient 2 × 1012 octets. Un micromètre vaut 10−6 m : un cheveu de 80 µm mesure 80 × 10−6 m = 8 × 10−5 m.
Un disque dur de 2 To (téraoctets) contient 2 × 1012 octets. Un micromètre vaut 10−6 m : un cheveu de 80 µm mesure 80 × 10−6 m = 8 × 10−5 m.
6. L’écriture scientifique
Écriture scientifique
L’écriture scientifique d’un nombre décimal positif est son écriture sous la forme a × 10n où n est un entier relatif et a est un nombre décimal tel que 1 ≤ a < 10 (un seul chiffre non nul avant la virgule).
L’écriture scientifique d’un nombre décimal positif est son écriture sous la forme a × 10n où n est un entier relatif et a est un nombre décimal tel que 1 ≤ a < 10 (un seul chiffre non nul avant la virgule).
Méthode : trouver l’écriture scientifique
1) Place la virgule juste après le premier chiffre non nul : tu obtiens a. 2) Compte de combien de rangs tu l’as décalée. 3) Si le nombre de départ est grand (supérieur ou égal à 10), l’exposant est positif ; s’il est petit (inférieur à 1), l’exposant est négatif.
• 4 380 000 = 4,38 × 106 (virgule décalée de 6 rangs).
• 0,000 072 = 7,2 × 10−5 (virgule décalée de 5 rangs vers la droite).
• 126 × 103 : ce n’est pas une écriture scientifique car 126 ≥ 10. On écrit 126 = 1,26 × 102, donc 126 × 103 = 1,26 × 102 × 103 = 1,26 × 105.
1) Place la virgule juste après le premier chiffre non nul : tu obtiens a. 2) Compte de combien de rangs tu l’as décalée. 3) Si le nombre de départ est grand (supérieur ou égal à 10), l’exposant est positif ; s’il est petit (inférieur à 1), l’exposant est négatif.
• 4 380 000 = 4,38 × 106 (virgule décalée de 6 rangs).
• 0,000 072 = 7,2 × 10−5 (virgule décalée de 5 rangs vers la droite).
• 126 × 103 : ce n’est pas une écriture scientifique car 126 ≥ 10. On écrit 126 = 1,26 × 102, donc 126 × 103 = 1,26 × 102 × 103 = 1,26 × 105.
Comparer deux nombres en écriture scientifique
On compare d’abord les exposants : le plus grand exposant donne le plus grand nombre. Si les exposants sont égaux, on compare les nombres a.
Exemples : 2,1 × 108 > 9,9 × 107 (exposant 8 contre 7) ; 3,4 × 10−5 < 6 × 10−5 (même exposant, 3,4 < 6) ; 5 × 10−2 > 8 × 10−4.
On compare d’abord les exposants : le plus grand exposant donne le plus grand nombre. Si les exposants sont égaux, on compare les nombres a.
Exemples : 2,1 × 108 > 9,9 × 107 (exposant 8 contre 7) ; 3,4 × 10−5 < 6 × 10−5 (même exposant, 3,4 < 6) ; 5 × 10−2 > 8 × 10−4.
Sur la calculatrice
Mathbot, le robot-coach, te prévient : ta calculatrice écrit 3,2 × 109 sous la forme « 3,2E9 » ou « 3,2 ×10^9 ». Apprends à la reconnaître et à saisir la touche « ×10x » ou « EXP ».
Mathbot, le robot-coach, te prévient : ta calculatrice écrit 3,2 × 109 sous la forme « 3,2E9 » ou « 3,2 ×10^9 ». Apprends à la reconnaître et à saisir la touche « ×10x » ou « EXP ».
7. Calculer avec des écritures scientifiques
Méthode
Pour multiplier ou diviser, on traite à part les nombres a et les puissances de 10, puis on remet le résultat en écriture scientifique.
Produit : (3 × 105) × (4 × 10−2) = (3 × 4) × (105 × 10−2) = 12 × 103 = 1,2 × 104.
Quotient : 9×10⁷2×10⁴ = 92 × 107−4 = 4,5 × 103.
Somme : on se ramène à la même puissance de 10 : 3 × 105 + 4 × 104 = 30 × 104 + 4 × 104 = 34 × 104 = 3,4 × 105.
Pour multiplier ou diviser, on traite à part les nombres a et les puissances de 10, puis on remet le résultat en écriture scientifique.
Produit : (3 × 105) × (4 × 10−2) = (3 × 4) × (105 × 10−2) = 12 × 103 = 1,2 × 104.
Quotient : 9×10⁷2×10⁴ = 92 × 107−4 = 4,5 × 103.
Somme : on se ramène à la même puissance de 10 : 3 × 105 + 4 × 104 = 30 × 104 + 4 × 104 = 34 × 104 = 3,4 × 105.
Après le calcul, vérifie la forme
Un résultat comme 12 × 103 ou 0,5 × 106 n’est pas en écriture scientifique : ajuste le nombre a et l’exposant pour que 1 ≤ a < 10.
Un résultat comme 12 × 103 ou 0,5 × 106 n’est pas en écriture scientifique : ajuste le nombre a et l’exposant pour que 1 ≤ a < 10.
8. Ordres de grandeur
Ordre de grandeur
Un ordre de grandeur d’un nombre est une valeur approchée simple, souvent de la forme « un chiffre × une puissance de 10 », qui permet de se faire une idée rapide de sa taille ou de vérifier un calcul.
Un ordre de grandeur d’un nombre est une valeur approchée simple, souvent de la forme « un chiffre × une puissance de 10 », qui permet de se faire une idée rapide de sa taille ou de vérifier un calcul.
Exemple
Pour estimer 4,9 × 103 × 2,1 × 104, on remplace 4,9 par 5 et 2,1 par 2 : 5 × 2 = 10, donc l’ordre de grandeur est 10 × 107 = 108. La valeur exacte est 1,029 × 108, très proche.
Pour estimer 4,9 × 103 × 2,1 × 104, on remplace 4,9 par 5 et 2,1 par 2 : 5 × 2 = 10, donc l’ordre de grandeur est 10 × 107 = 108. La valeur exacte est 1,029 × 108, très proche.
Méthode
Arrondis chaque nombre à un seul chiffre significatif, applique les règles sur les puissances, puis compare au résultat de la calculatrice : si les deux sont très différents, tu as sans doute fait une erreur de touche.
Arrondis chaque nombre à un seul chiffre significatif, applique les règles sur les puissances, puis compare au résultat de la calculatrice : si les deux sont très différents, tu as sans doute fait une erreur de touche.
9. Problèmes avec de très grandes et de très petites valeurs
On rencontre ces nombres partout : astronomie (distances en mètres, masses en kilogrammes), informatique (capacité de stockage en octets), biologie (taille d’une cellule, d’un virus). Voici la démarche.
Démarche
1) Convertis toutes les données dans la même unité, en écriture scientifique. 2) Pose le calcul (produit ou quotient). 3) Simplifie avec les règles sur les puissances. 4) Remets en écriture scientifique et conclus avec une phrase en précisant l’unité.
1) Convertis toutes les données dans la même unité, en écriture scientifique. 2) Pose le calcul (produit ou quotient). 3) Simplifie avec les règles sur les puissances. 4) Remets en écriture scientifique et conclus avec une phrase en précisant l’unité.
Exemple résolu
Un rayon de lumière parcourt 3 × 108 m en 1 s. La Lune est à 3,84 × 108 m de la Terre. Durée du trajet : t = 3,84×10⁸3×10⁸ = 1,28 s. La lumière met environ 1,3 s pour aller de la Terre à la Lune.
Un rayon de lumière parcourt 3 × 108 m en 1 s. La Lune est à 3,84 × 108 m de la Terre. Durée du trajet : t = 3,84×10⁸3×10⁸ = 1,28 s. La lumière met environ 1,3 s pour aller de la Terre à la Lune.
À retenir
- an = a × … × a (n facteurs) ; a0 = 1 ; a−n = 1 ÷ an.
- Signe : négatif seulement si la base est négative et l’exposant impair.
- am × an = am+n ; am ÷ an = am−n ; (am)n = am×n ; (ab)n = anbn.
- 103 = 1 000 ; 10−3 = 0,001 ; multiplier par 10n décale la virgule de n rangs.
- Écriture scientifique : a × 10n avec 1 ≤ a < 10 et n entier relatif.
- Pour comparer : on regarde d’abord l’exposant, puis le nombre a.
- Pour calculer : on sépare les nombres a et les puissances de 10, puis on remet en écriture scientifique.