Exercices de maths 3ème : Développer et factoriser

1 Distributivité simple ★★★

Développe puis réduis :

1. A = 4(x + 7)
2. B = 3(2y − 5)
3. C = −2(a + 6)
4. D = −5(3 − t)
5. E = x(x + 9)

2 Calcul astucieux ★★★

Calcule de tête en écrivant un des facteurs sous la forme 100 + … ou 100 − … :

1. 7 × 103
2. 12 × 98
3. 25 × 104
4. 15 × 102

3 Facteur commun simple ★★★

Factorise :

1. A = 6x + 18
2. B = 5a − 35
3. C = 12y + 8
4. D = x² + 4x
5. E = 9m − 9

4 Premières doubles distributivités ★★★

Développe et réduis :

1. (x + 2)(x + 5)
2. (y + 3)(y − 4)
3. (a − 1)(a − 6)
4. (2x + 1)(x + 3)

5 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque égalité est vraie pour tous les nombres. Justifie (contre-exemple ou calcul).

1. 3(x + 4) = 3x + 4
2. (x + 3)² = x² + 9
3. 2x + 2y = 2(x + y)
4. x² − 16 = (x − 4)(x + 4)
5. (x − 2)² = x² − 4x + 4

6 Deux façons de calculer une aire ★★★

Un rectangle mesure (x + 4) cm de long et 3 cm de large.

1. Écris son aire sous forme d’un produit, puis développe-la.
2. Calcule l’aire pour x = 6 avec chacune des deux écritures.

7 Compléter avec une identité remarquable ★★★

Complète pour que l’égalité soit une identité remarquable :

1. (x + 6)² = x² + … + 36
2. (x − 5)² = x² − … + 25
3. (x + 8)(x − 8) = … − 64
4. (y + 1)² = … + 2y + 1

8 Développer et réduire (1) ★★★

Développe et réduis :

1. A = (3x − 2)(x + 4)
2. B = (2x + 5)(2x − 5)
3. C = (5 − x)(2x + 1)
4. D = (x + 3)² − (x − 1)(x + 2)

9 Identités remarquables : développer ★★★

Développe avec une identité remarquable :

1. (3x + 2)²
2. (4y − 3)²
3. (5a + 1)(5a − 1)
4. (2x − 7)²
5. (7 − 3x)²

10 Facteur commun : une parenthèse ★★★

Factorise :

1. A = (x + 3)(2x − 1) + (x + 3)(x + 5)
2. B = (2x − 5)(x + 1) − (2x − 5)(3x + 2)
3. C = (x − 4)² + 3(x − 4)
4. D = 5x(x + 2) + (x + 2)

11 Identités remarquables : factoriser ★★★

Factorise :

1. x² + 10x + 25
2. 9x² − 12x + 4
3. 49 − y²
4. 16x² − 81
5. 4a² + 20a + 25

12 Calcul mental malin ★★★

Sans calculatrice, calcule en utilisant une identité remarquable :

1. 51²
2. 99²
3. 102 × 98
4. 53 × 47

13 Programme de calcul ★★★

Programme : choisis un nombre, ajoute 3, élève le résultat au carré, puis retranche 9.

1. Applique-le avec 4, puis avec −2.
2. On appelle x le nombre de départ. Montre que le résultat est x(x + 6).
3. Pour quels nombres de départ obtient-on 0 ?

14 Agrandir un carré ★★★

Un carré a pour côté x cm. On allonge un côté de 5 cm et l’autre de 3 cm : on obtient un rectangle.

1. Exprime l’aire du rectangle sous forme développée et réduite.
2. De combien l’aire augmente-t-elle par rapport au carré ?
3. Vérifie avec x = 7.

15 Différence de carrés consécutifs ★★★

Démontre que pour tout nombre n : (n + 1)² − (n − 1)² = 4n. Utilise ce résultat pour calculer 2027² − 2025² sans calculatrice.

16 Un produit presque carré ★★★

Démontre que pour tout nombre n : n(n + 2) + 1 = (n + 1)². Déduis-en la valeur de 49 × 51 + 1.

17 Un programme toujours multiple de 4 ★★★

Programme : choisis un nombre n, ajoute 2, élève au carré, puis retranche le carré du nombre de départ.

1. Teste-le avec n = 5.
2. Démontre que le résultat s’écrit 4(n + 1).
3. Quel nombre faut-il choisir pour obtenir 60 ?

18 Factoriser puis contrôler ★★★

Soit F = (x + 2)² − 25.

1. Factorise F.
2. Développe F sous deux formes (à partir de l’énoncé, puis à partir de ta factorisation) et compare.

19 Différences de carrés avec parenthèses ★★★

Factorise :

1. G = (2x + 1)² − (x − 3)²
2. H = (3x − 1)² − 16
3. K = 4x² − (x + 6)²

20 Aire d’un carré troué ★★★

Dans un carré de côté 10 cm, on retire un petit carré de côté x cm dans un coin (avec 0 < x < 10).

1. Exprime l’aire restante A(x).
2. Factorise A(x).
3. Calcule l’aire pour x = 4 avec les deux écritures.

21 Expressions plus longues ★★★

Développe et réduis E = (2x − 1)(x + 3) − (x − 2)² + 3x(x − 1), puis factorise B = (3x + 1)² − (3x + 1)(x − 4).

22 Carré d’un nombre terminé par 5 ★★★

Un nombre entier qui se termine par 5 s’écrit 10a + 5, où a est un entier.

1. Développe (10a + 5)² et montre que le résultat est 100a(a + 1) + 25.
2. Déduis-en 35² et 85² de tête.