Développer et factoriser : corrigé des exercices de maths 3ème

1 Distributivité simple ★★★

1. A = 4 × x + 4 × 7 = 4x + 28
2. B = 3 × 2y − 3 × 5 = 6y − 15
3. C = −2 × a + (−2) × 6 = −2a − 12
4. D = −5 × 3 − (−5) × t = −15 + 5t
5. E = x × x + x × 9 = x² + 9x

2 Calcul astucieux ★★★

1. 7 × 103 = 7 × (100 + 3) = 700 + 21 = 721
2. 12 × 98 = 12 × (100 − 2) = 1200 − 24 = 1176
3. 25 × 104 = 25 × (100 + 4) = 2500 + 100 = 2600
4. 15 × 102 = 15 × (100 + 2) = 1500 + 30 = 1530

3 Facteur commun simple ★★★

1. A = 6 × x + 6 × 3 = 6(x + 3)
2. B = 5 × a − 5 × 7 = 5(a − 7)
3. C = 4 × 3y + 4 × 2 = 4(3y + 2)
4. D = x × x + x × 4 = x(x + 4)
5. E = 9 × m − 9 × 1 = 9(m − 1)

4 Premières doubles distributivités ★★★

1. x² + 5x + 2x + 10 = x² + 7x + 10
2. y² − 4y + 3y − 12 = y² − y − 12
3. a² − 6a − a + 6 = a² − 7a + 6
4. 2x² + 6x + x + 3 = 2x² + 7x + 3

5 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux : on a oublié de multiplier le 4. Avec x = 1 : 3 × 5 = 15 mais 3 + 4 = 7. Bonne égalité : 3(x + 4) = 3x + 12.
2. Faux : il manque le double produit. Avec x = 1 : (1 + 3)² = 16 mais 1 + 9 = 10. Correct : x² + 6x + 9.
3. Vrai : c’est la distributivité lue à l’envers (facteur commun 2).
4. Vrai : identité remarquable (a + b)(a − b) = a² − b² avec a = x et b = 4.
5. Vrai : (a − b)² = a² − 2ab + b² avec a = x et b = 2.

6 Deux façons de calculer une aire ★★★

1. Aire = 3 × (x + 4) = 3x + 12 (en cm²).
2. Avec x = 6 : 3 × (6 + 4) = 3 × 10 = 30 cm² et 3 × 6 + 12 = 18 + 12 = 30 cm². Les deux écritures donnent bien le même résultat.

7 Compléter avec une identité remarquable ★★★

1. Le double produit est 2 × x × 6 = 12x. Donc (x + 6)² = x² + 12x + 36.
2. 2 × x × 5 = 10x. Donc (x − 5)² = x² − 10x + 25.
3. Identité du type (a + b)(a − b) = a² − b² : (x + 8)(x − 8) = x² − 64.
4. Le premier terme est y² : (y + 1)² = y² + 2y + 1.

8 Développer et réduire (1) ★★★

1. A = 3x² + 12x − 2x − 8 = 3x² + 10x − 8
2. B = (2x)² − 5² = 4x² − 25 (identité remarquable)
3. C = 10x + 5 − 2x² − x = −2x² + 9x + 5
4. D = (x² + 6x + 9) − (x² + 2x − x − 2) = x² + 6x + 9 − x² − x + 2 = 5x + 11. Attention : le signe − change tous les signes de la parenthèse.

9 Identités remarquables : développer ★★★

1. (3x)² + 2 × 3x × 2 + 2² = 9x² + 12x + 4
2. (4y)² − 2 × 4y × 3 + 3² = 16y² − 24y + 9
3. (5a)² − 1² = 25a² − 1
4. (2x)² − 2 × 2x × 7 + 7² = 4x² − 28x + 49
5. 7² − 2 × 7 × 3x + (3x)² = 49 − 42x + 9x²

10 Facteur commun : une parenthèse ★★★

1. A = (x + 3)[(2x − 1) + (x + 5)] = (x + 3)(3x + 4)
2. B = (2x − 5)[(x + 1) − (3x + 2)] = (2x − 5)(x + 1 − 3x − 2) = (2x − 5)(−2x − 1)
3. C = (x − 4)(x − 4 + 3) = (x − 4)(x − 1)
4. D = 5x(x + 2) + 1 × (x + 2) = (x + 2)(5x + 1)

11 Identités remarquables : factoriser ★★★

1. x² + 2 × x × 5 + 5² = (x + 5)²
2. (3x)² − 2 × 3x × 2 + 2² = (3x − 2)²
3. 7² − y² = (7 − y)(7 + y)
4. (4x)² − 9² = (4x − 9)(4x + 9)
5. (2a)² + 2 × 2a × 5 + 5² = (2a + 5)²

12 Calcul mental malin ★★★

1. 51² = (50 + 1)² = 2500 + 100 + 1 = 2601
2. 99² = (100 − 1)² = 10000 − 200 + 1 = 9801
3. 102 × 98 = (100 + 2)(100 − 2) = 10000 − 4 = 9996
4. 53 × 47 = (50 + 3)(50 − 3) = 2500 − 9 = 2491

13 Programme de calcul ★★★

1. Avec 4 : (4 + 3)² − 9 = 49 − 9 = 40. Avec −2 : (−2 + 3)² − 9 = 1 − 9 = −8.
2. (x + 3)² − 9 = x² + 6x + 9 − 9 = x² + 6x = x(x + 6). Vérification : 4 × 10 = 40 et −2 × 4 = −8.
3. Un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul : x = 0 ou x + 6 = 0, donc x = 0 ou x = −6.

14 Agrandir un carré ★★★

1. Aire du rectangle = (x + 5)(x + 3) = x² + 3x + 5x + 15 = x² + 8x + 15 (en cm²).
2. L’aire du carré est x². L’augmentation vaut x² + 8x + 15 − x² = 8x + 15 (en cm²).
3. Pour x = 7 : rectangle 12 × 10 = 120 cm², carré 49 cm², augmentation 120 − 49 = 71 cm². Et 8 × 7 + 15 = 56 + 15 = 71 cm² : c’est cohérent.

15 Différence de carrés consécutifs ★★★

(n + 1)² − (n − 1)² = (n² + 2n + 1) − (n² − 2n + 1) = n² + 2n + 1 − n² + 2n − 1 = 4n.

On a 2027 = 2026 + 1 et 2025 = 2026 − 1, donc avec n = 2026 : 2027² − 2025² = 4 × 2026 = 8104.

16 Un produit presque carré ★★★

n(n + 2) + 1 = n² + 2n + 1 = (n + 1)² (identité remarquable lue à l’envers).

Avec n = 49 : 49 × 51 + 1 = 50² = 2500. Contrôle : 49 × 51 = 2499, et 2499 + 1 = 2500.

17 Un programme toujours multiple de 4 ★★★

1. Avec 5 : (5 + 2)² − 5² = 49 − 25 = 24.
2. (n + 2)² − n² = n² + 4n + 4 − n² = 4n + 4 = 4(n + 1). Contrôle avec 5 : 4 × 6 = 24.
3. 4(n + 1) = 60 donc n + 1 = 15 et n = 14. Vérification : 16² − 14² = 256 − 196 = 60.

18 Factoriser puis contrôler ★★★

1. F = (x + 2)² − 5² = (x + 2 − 5)(x + 2 + 5) = (x − 3)(x + 7).
2. Depuis l’énoncé : F = x² + 4x + 4 − 25 = x² + 4x − 21. Depuis la factorisation : (x − 3)(x + 7) = x² + 7x − 3x − 21 = x² + 4x − 21. Les deux formes sont identiques.

19 Différences de carrés avec parenthèses ★★★

1. G = [(2x + 1) − (x − 3)][(2x + 1) + (x − 3)] = (2x + 1 − x + 3)(2x + 1 + x − 3) = (x + 4)(3x − 2). Test avec x = 1 : 9 − 4 = 5 et 5 × 1 = 5.
2. H = (3x − 1)² − 4² = (3x − 1 − 4)(3x − 1 + 4) = (3x − 5)(3x + 3) = 3(3x − 5)(x + 1). Test avec x = 2 : 25 − 16 = 9 et 3 × 1 × 3 = 9.
3. K = (2x)² − (x + 6)² = (2x − x − 6)(2x + x + 6) = (x − 6)(3x + 6) = 3(x − 6)(x + 2). Test avec x = 0 : −36 et 3 × (−6) × 2 = −36.

20 Aire d’un carré troué ★★★

1. A = 10² − x² = 100 − x² (en cm²).
2. A = 10² − x² = (10 − x)(10 + x).
3. Pour x = 4 : 100 − 16 = 84 cm² et (10 − 4)(10 + 4) = 6 × 14 = 84 cm². Les deux écritures concordent.

21 Expressions plus longues ★★★

E = (2x² + 6x − x − 3) − (x² − 4x + 4) + (3x² − 3x) = 2x² + 5x − 3 − x² + 4x − 4 + 3x² − 3x = 4x² + 6x − 7.

Test avec x = 1 : 1 × 4 − 1 + 0 = 3 et 4 + 6 − 7 = 3.

B = (3x + 1)[(3x + 1) − (x − 4)] = (3x + 1)(3x + 1 − x + 4) = (3x + 1)(2x + 5).

Test avec x = 0 : 1 − 1 × (−4) = 5 et 1 × 5 = 5.

22 Carré d’un nombre terminé par 5 ★★★

1. (10a + 5)² = 100a² + 2 × 10a × 5 + 25 = 100a² + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25.
2. 35 : a = 3, donc 35² = 100 × 3 × 4 + 25 = 1225. 85 : a = 8, donc 85² = 100 × 8 × 9 + 25 = 7225. (Astuce : on multiplie le chiffre des dizaines par le suivant, puis on écrit 25.)