Un taxi, un abonnement de salle de sport, une recette que l’on double ou que l’on triple, une promotion en magasin : dans tous ces cas, une grandeur dépend d’une autre selon une règle simple. En 3ème, tu apprends à décrire ces situations avec deux outils très puissants, les fonctions linéaires et les fonctions affines. Tu sauras les écrire avec une formule, les calculer, les tracer et les retrouver à partir de deux informations. Elles te serviront aussi dans les problèmes de tarifs et de pourcentages.
1. Rappels : fonction, image, antécédent
Une fonction est un procédé qui, à chaque nombre x choisi au départ, associe un seul nombre. On note f : x ↦ f(x). On lit « f de x ».
Si f(4) = 10, alors 10 est l’image de 4 par f, et 4 est un antécédent de 10 par f. On trouve l’image en remplaçant x par la valeur dans la formule ; on trouve un antécédent en résolvant une équation.
Soit f(x) = 3x + 1.
- Image de 5 : f(5) = 3 × 5 + 1 = 16.
- Antécédent de 22 : on résout 3x + 1 = 22, donc 3x = 21, donc x = 7. On vérifie : f(7) = 22.
Rappelle-toi aussi qu’une situation est proportionnelle quand on passe d’une ligne à l’autre d’un tableau en multipliant toujours par le même nombre, appelé le coefficient de proportionnalité. C’est exactement ce qui se cache derrière les fonctions linéaires.
2. La fonction linéaire
Une fonction linéaire est une fonction de la forme f(x) = ax, où a est un nombre fixé, appelé le coefficient de la fonction. On multiplie toujours x par le même nombre a.
f(x) = 6x (coefficient 6) ; g(x) = −2,5x (coefficient −2,5) ; h(x) = x4 = 14x (coefficient 0,25).
Une fonction linéaire f(x) = ax traduit une situation de proportionnalité : le nombre a est le coefficient de proportionnalité. Si x double, f(x) double aussi. En particulier, f(0) = 0.
Si l’on connaît un nombre x (non nul) et son image f(x), alors a = f(x)x.
Exemple : une fonction linéaire f vérifie f(8) = 20. Alors a = 20 ÷ 8 = 2,5, donc f(x) = 2,5x. On peut ensuite calculer f(10) = 25, ou chercher l’antécédent de 15 : 2,5x = 15, donc x = 6.
La fonction f(x) = 2x + 5 n’est pas linéaire : elle ne vérifie pas f(0) = 0 (ici f(0) = 5). Ne confonds pas « fonction linéaire » et « fonction dont la courbe est une droite » : toutes les droites ne passent pas par l’origine.
3. Représentation graphique d’une fonction linéaire
Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction linéaire f(x) = ax est une droite qui passe par l’origine O du repère. Le nombre a s’appelle le coefficient directeur (ou la pente) de la droite : la droite passe par le point de coordonnées (1 ; a).
Pour tracer cette droite, un seul point en plus de l’origine suffit. On calcule une image avec un nombre facile, on place le point, puis on trace la droite avec la règle.
En bleu, f(x) = 2x : le point A(1 ; 2) est sur la droite. En orange, g(x) = −0,5x : le point B(2 ; −1) est sur la droite.
- Choisis un nombre x simple (souvent 1, 2 ou 4) et calcule f(x).
- Place le point de coordonnées (x ; f(x)).
- Trace la droite qui passe par ce point et par l’origine.
Si a > 0, la droite « monte » quand on la lit de gauche à droite : la fonction est croissante. Si a < 0, la droite « descend » : la fonction est décroissante. Plus a est grand (en valeur absolue), plus la droite est raide.
Sur la droite bleue ci-dessus, l’image de 2 se lit en partant de 2 sur l’axe horizontal, en montant jusqu’à la droite, puis en allant vers l’axe vertical : on trouve 4. L’antécédent de −4 se lit dans l’autre sens : on trouve −2.
4. La fonction affine
Une fonction affine est une fonction de la forme f(x) = ax + b, où a et b sont deux nombres fixés. On multiplie x par a, puis on ajoute b.
- Le nombre a est le coefficient directeur (ou pente).
- Le nombre b est l’ordonnée à l’origine : c’est l’image de 0, car f(0) = a × 0 + b = b.
• Si b = 0, on a f(x) = ax : une fonction linéaire est une fonction affine particulière.
• Si a = 0, on a f(x) = b : c’est une fonction constante, tous les nombres ont la même image.
Il faut parfois développer pour voir la forme ax + b.
- f(x) = 4 − 3x = −3x + 4 : affine, a = −3 et b = 4.
- g(x) = 2(x + 5) = 2x + 10 : affine, a = 2 et b = 10.
- h(x) = x² + 1 : pas affine, à cause du carré.
Pour f(x) = 5x − 3 :
- Image de 4 : f(4) = 5 × 4 − 3 = 17.
- Antécédent de 27 : on résout 5x − 3 = 27, donc 5x = 30, donc x = 6.
Une fonction affine avec b ≠ 0 n’est pas proportionnelle : si x double, f(x) ne double pas. Par exemple, avec f(x) = 5x − 3, on a f(2) = 7 mais f(4) = 17, qui est différent de 2 × 7.
5. Représentation graphique d’une fonction affine
Dans un repère, la représentation graphique de la fonction affine f(x) = ax + b est une droite. On dit que cette droite a pour équation y = ax + b. Elle coupe l’axe vertical au point (0 ; b), et quand on avance de 1 vers la droite, on monte de a (on descend si a est négatif).
Droite d’équation y = 0,5x + 2 : elle coupe l’axe vertical en 2 ; quand on avance de 2 vers la droite, on monte de 1 (ce qui fait bien 0,5 par unité).
- Calcule les images de deux nombres de ton choix (0 est un très bon choix : f(0) = b).
- Place les deux points dans le repère.
- Trace la droite qui passe par ces deux points, en la prolongeant des deux côtés.
- Vérifie avec un troisième point : il doit être aligné.
Tracer la droite de g(x) = −2x + 3. On calcule g(0) = 3 et g(2) = −2 × 2 + 3 = −1. On place les points (0 ; 3) et (2 ; −1) et on les relie. Vérification : g(1) = 1, donc le point (1 ; 1) doit être sur la droite.
Si a > 0 : la fonction affine est croissante. Si a < 0 : elle est décroissante. Si a = 0 : elle est constante (droite horizontale). Deux droites ayant le même coefficient directeur a sont parallèles.
Pour lire une droite sur un graphique : repère d’abord où elle coupe l’axe vertical, c’est ton b. Ensuite, avance d’un cran vers la droite et regarde de combien elle monte ou descend, c’est ton a. Avec ces deux nombres, tu as toute la formule !
6. Déterminer une fonction affine avec deux informations
Une droite est entièrement connue dès que l’on sait par quels deux points elle passe. Pour une fonction affine, c’est pareil : deux nombres et leurs images suffisent.
Si f est une fonction affine, avec f(x1) = y1 et f(x2) = y2 (et x1 ≠ x2), alors
a = y2−y1x2−x1
On le dit ainsi : a est la variation des images divisée par la variation des nombres de départ.
- Calcule a avec la formule ci-dessus.
- Remplace a dans f(x) = ax + b, puis utilise l’une des deux informations pour trouver b.
- Écris la formule complète et vérifie-la avec l’autre information.
Une fonction affine f vérifie f(1) = 1 et f(3) = 5.
1) a = 5−13−1 = 42 = 2.
2) f(x) = 2x + b. Comme f(1) = 1 : 2 × 1 + b = 1, donc b = −1.
3) f(x) = 2x − 1. Vérification : f(3) = 2 × 3 − 1 = 5. ✔
La droite passe par A(1 ; 1) et B(3 ; 5). Pour aller de A à B, on avance de 2 et on monte de 4 : la pente est 4 ÷ 2 = 2.
Dans la formule de a, garde le même ordre en haut et en bas : si tu as fait « image de B moins image de A » en haut, tu dois faire « abscisse de B moins abscisse de A » en bas. Attention aussi aux nombres négatifs : −1−53+1 se calcule bien comme (−6) ÷ 4.
7. Résoudre des problèmes : tarifs et abonnements
Les fonctions affines modélisent les situations où l’on paie une somme fixe (b) plus une somme proportionnelle à la quantité (a × x) : abonnement + prix à l’unité, prise en charge d’un taxi + prix du kilomètre, etc.
Une salle d’escalade propose deux formules. Offre A : 8 € par séance. Offre B : une carte annuelle à 30 € puis 5 € par séance.
Avec x le nombre de séances : A(x) = 8x (linéaire) et B(x) = 5x + 30 (affine).
Les deux offres coûtent autant quand 8x = 5x + 30, donc 3x = 30, donc x = 10. Pour 10 séances, on paie 80 € dans les deux cas.
Conclusion : en dessous de 10 séances, l’offre A est moins chère ; au-delà, l’offre B est plus avantageuse (par exemple, pour 12 séances : 96 € contre 90 €).
- Choisis la variable x (la quantité) et dis clairement ce qu’elle représente, avec l’unité.
- Écris la formule de chaque fonction : cherche la partie fixe (b) et la partie qui dépend de x (a).
- Calcule des images ou résous une équation selon la question.
- Termine par une phrase-réponse avec l’unité.
Le point où les deux droites se coupent donne le nombre de départ pour lequel les deux fonctions ont la même image. Avant ce point, la droite la plus basse correspond à l’offre la moins chère.
8. Fonctions linéaires et pourcentages
Les pourcentages sont de la proportionnalité : ils s’écrivent donc avec des fonctions linéaires.
• Une augmentation de t % revient à multiplier par 1 + t100.
• Une diminution de t % revient à multiplier par 1 − t100.
La fonction « appliquer le pourcentage » est donc linéaire, de coefficient le coefficient multiplicateur.
• Une hausse de 25 % : f(x) = 1,25x. Un abonnement à 12 € passe à 12 × 1,25 = 15 €.
• Une baisse de 40 % : g(x) = 0,6x. Des baskets à 90 € coûtent 90 × 0,6 = 54 €.
• Retrouver le prix avant la baisse de 40 % pour un prix soldé de 45 € : on cherche l’antécédent de 45, donc 0,6x = 45, x = 45 ÷ 0,6 = 75 €.
Deux pourcentages ne s’additionnent pas ! Une hausse de 10 % suivie d’une baisse de 10 % ne ramène pas au prix de départ : on multiplie par 1,1 puis par 0,9, ce qui revient à multiplier par 0,99.
À retenir
- Fonction linéaire : f(x) = ax. Proportionnalité, f(0) = 0, a = f(x)x. Représentation : droite passant par l’origine.
- Fonction affine : f(x) = ax + b. Représentation : droite d’équation y = ax + b.
- a = coefficient directeur (pente) ; b = ordonnée à l’origine = f(0).
- a > 0 : croissante ; a < 0 : décroissante ; a = 0 : constante.
- Image : on remplace x. Antécédent : on résout une équation.
- Pour tracer une droite, deux points suffisent (un seul pour une fonction linéaire, avec l’origine).
- Avec deux points : a = y2−y1x2−x1, puis on trouve b.
- Augmenter de t % : multiplier par 1 + t100 ; diminuer de t % : multiplier par 1 − t100.