Au lieu de répéter « un nombre », on le remplace par une lettre. Dans ce chapitre, tu apprends à écrire des expressions littérales, à les calculer, à les utiliser dans des formules et des programmes de calcul, à tester une égalité et à simplifier une écriture. C’est le début de l’algèbre !
1. Des lettres pour représenter des nombres
Expression littéraleUne expression littérale est une expression mathématique qui contient une ou plusieurs lettres. Chaque lettre représente un nombre, que l’on peut choisir ou qui peut changer.
Pourquoi des lettres ?1) Pour écrire une formule qui marche à tous les coups. Le périmètre d’un carré de côté c est 4 × c, quel que soit le carré.
2) Pour décrire un programme de calcul sans connaître le nombre de départ.
3) Pour généraliser : « le double d’un nombre n » s’écrit 2 × n pour tous les nombres à la fois.
2) Pour décrire un programme de calcul sans connaître le nombre de départ.
3) Pour généraliser : « le double d’un nombre n » s’écrit 2 × n pour tous les nombres à la fois.
On choisit souvent les lettres x, y, n, a, b… mais n’importe quelle lettre convient. Un nombre inconnu ou variable est parfois appelé une variable.
2. Écrire une expression sans le signe ×
Règles de simplification d’écritureOn peut supprimer le signe × :
• entre un nombre et une lettre : 5 × x = 5x (le nombre se met devant) ;
• entre deux lettres : a × b = ab ;
• entre un nombre et une parenthèse : 3 × (x + 2) = 3(x + 2) ;
• on écrit x au lieu de 1 × x, et 0 au lieu de 0 × x.
• entre un nombre et une lettre : 5 × x = 5x (le nombre se met devant) ;
• entre deux lettres : a × b = ab ;
• entre un nombre et une parenthèse : 3 × (x + 2) = 3(x + 2) ;
• on écrit x au lieu de 1 × x, et 0 au lieu de 0 × x.
Exemples4 × n = 4n · y × 7 = 7y · 2 × a × b = 2ab · (t + 1) × 5 = 5(t + 1) · 1 × z = z.
PiègeOn ne supprime pas le signe × entre deux nombres : 3 × 4 ne s’écrit pas 34 ! De même, 3x signifie « 3 fois x » et non « 3 puis x ». Si x = 4, alors 3x = 3 × 4 = 12 et non 34.
3. Calculer la valeur d’une expression littérale
Méthode1) On remplace chaque lettre par sa valeur, en rétablissant les signes × cachés.
2) On calcule en respectant les priorités : parenthèses d’abord, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions.
2) On calcule en respectant les priorités : parenthèses d’abord, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions.
Exemple résoluCalcule 5x − 3 pour x = 4.
5x − 3 = 5 × 4 − 3 = 20 − 3 = 17.
Calcule 2(n + 6) pour n = 1,5.
2(n + 6) = 2 × (1,5 + 6) = 2 × 7,5 = 15.
5x − 3 = 5 × 4 − 3 = 20 − 3 = 17.
Calcule 2(n + 6) pour n = 1,5.
2(n + 6) = 2 × (1,5 + 6) = 2 × 7,5 = 15.
Plusieurs lettresCalcule 3a + 2b pour a = 5 et b = 4 : 3 × 5 + 2 × 4 = 15 + 8 = 23.
Attention aux prioritésPour x = 3, l’expression 10 − 2x vaut 10 − 2 × 3 = 10 − 6 = 4 (et non 8 × 3 = 24). La multiplication passe avant la soustraction.
4. Les formules
Une formule est une égalité qui donne une grandeur en fonction d’autres grandeurs. Tu en connais déjà !
| Grandeur | Formule |
|---|---|
| Périmètre d’un carré de côté c | P = 4 × c = 4c |
| Périmètre d’un rectangle de longueur L et largeur l | P = 2 × (L + l) = 2(L + l) |
| Aire d’un rectangle | A = L × l = Ll |
| Aire d’un triangle (base b, hauteur h) | A = b × h ÷ 2 |
| Distance parcourue à vitesse constante (v, durée t) | d = v × t = vt |
Le jardin ci-dessus a pour largeur x et pour longueur x + 3. Son périmètre est 2(x + 3) + 2x, que l’on simplifiera plus loin.
Utiliser une formulePour un rectangle de longueur 8 cm et de largeur 5 cm : P = 2 × (8 + 5) = 2 × 13 = 26 cm et A = 8 × 5 = 40 cm².
5. Traduire une phrase, un programme de calcul
Traduire en expression littéraleVoici quelques traductions utiles avec un nombre n :
• le double de n : 2n · le triple de n : 3n · la moitié de n : n2
• le nombre suivant n : n + 1 · le nombre précédent : n − 1
• le triple de n, diminué de 4 : 3n − 4 · le triple de (n − 4) : 3(n − 4)
• le double de n : 2n · le triple de n : 3n · la moitié de n : n2
• le nombre suivant n : n + 1 · le nombre précédent : n − 1
• le triple de n, diminué de 4 : 3n − 4 · le triple de (n − 4) : 3(n − 4)
Un programme de calcul est une suite d’instructions appliquées à un nombre de départ. On peut le schématiser, puis écrire l’expression qui lui correspond :
Programme : « choisis un nombre n, multiplie-le par 3, puis ajoute 5 ». Il correspond à l’expression 3n + 5.
Exemple résoluAvec le nombre de départ 4 : 4 × 3 = 12, puis 12 + 5 = 17. On retrouve 3 × 4 + 5 = 17. Avec 10, on obtient 3 × 10 + 5 = 35.
Attention à l’ordre des instructions« Ajoute 4 puis multiplie par 2 » s’écrit 2(n + 4) avec des parenthèses. « Multiplie par 2 puis ajoute 4 » s’écrit 2n + 4. Ce n’est pas la même chose : pour n = 3, le premier donne 14 et le second 10.
6. Tester une égalité
Égalité vraie ou fausseUne égalité contenant une lettre peut être vraie pour certaines valeurs de la lettre et fausse pour d’autres. Pour tester si elle est vraie pour une valeur donnée, on calcule séparément chaque membre (à gauche et à droite du signe =) avec cette valeur, puis on compare.
Exemple résoluL’égalité x + 6 = 3x est-elle vraie pour x = 3 ? Pour x = 1 ?
• x = 3 : à gauche 3 + 6 = 9, à droite 3 × 3 = 9. Les deux membres sont égaux : vraie.
• x = 1 : à gauche 1 + 6 = 7, à droite 3 × 1 = 3. Ils sont différents : fausse.
• x = 3 : à gauche 3 + 6 = 9, à droite 3 × 3 = 9. Les deux membres sont égaux : vraie.
• x = 1 : à gauche 1 + 6 = 7, à droite 3 × 1 = 3. Ils sont différents : fausse.
Un tableau aide à tester plusieurs valeurs d’un coup :
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| x + 6 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 3x | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
Les deux lignes sont égales uniquement dans la colonne x = 3.
À retenirPour prouver qu’une égalité est fausse, un seul exemple suffit (un « contre-exemple »). Pour prouver qu’elle est toujours vraie, tester quelques valeurs ne suffit pas : il faut un raisonnement (voir les parties suivantes).
7. Réduire une expression
Termes de même natureRéduire une expression, c’est l’écrire avec le moins de termes possible. On peut regrouper ensemble les termes qui contiennent la même lettre (3x et 5x) et, séparément, les nombres seuls. Pour cela, on additionne ou soustrait les nombres devant la lettre : 3x + 5x = (3 + 5)x = 8x.
Exemples• 7a − 2a = 5a
• y + 4y = 5y (car y = 1y)
• 6x + 3 + 2x − 1 = 8x + 2
• 5a + 2b + a − b = 6a + b
• 4x − 4x = 0
• y + 4y = 5y (car y = 1y)
• 6x + 3 + 2x − 1 = 8x + 2
• 5a + 2b + a − b = 6a + b
• 4x − 4x = 0
PiègesOn ne peut pas mélanger une lettre et un nombre seul : 3x + 4 ne se réduit pas (ce n’est pas 7x). Le test le montre : pour x = 2, 3x + 4 = 10 alors que 7x = 14.
On ne mélange pas non plus des lettres différentes : 2a + 3b reste tel quel.
On ne mélange pas non plus des lettres différentes : 2a + 3b reste tel quel.
Un exemple de formule réduiteLe jardin du début : P = 2(x + 3) + 2x. Avec les quatre côtés : x + (x + 3) + x + (x + 3) = 4x + 6. Pour x = 5 m : P = 4 × 5 + 6 = 26 m.
8. Développer et factoriser (distributivité simple)
Propriété de distributivitéPour tous nombres k, a et b :
k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb.
Développer, c’est passer d’un produit à une somme (ou différence). Factoriser, c’est faire le chemin inverse.
k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb.
Développer, c’est passer d’un produit à une somme (ou différence). Factoriser, c’est faire le chemin inverse.
ExemplesDévelopper : 3(x + 4) = 3 × x + 3 × 4 = 3x + 12 ; 5(a − 2) = 5a − 10.
Factoriser : 4x + 12 = 4 × x + 4 × 3 = 4(x + 3).
Factoriser : 4x + 12 = 4 × x + 4 × 3 = 4(x + 3).
Une preuve par le calculLes expressions 2(n + 3) et 2n + 6 sont toujours égales : en développant, 2(n + 3) = 2n + 6. On l’a démontré pour tous les nombres, pas seulement pour quelques valeurs.
PiègeQuand on développe, il faut multiplier chaque terme de la parenthèse : 4(x + 2) = 4x + 8, et non 4x + 2.
MathbotJe suis Mathbot ! Quand tu hésites sur une égalité, teste-la avec un nombre simple comme 0, 1 ou 2 : si les deux membres diffèrent, tu as trouvé l’erreur sans effort.
À retenir
- Une expression littérale contient des lettres qui représentent des nombres.
- On supprime le signe × devant une lettre ou une parenthèse : 5x, ab, 3(x + 2). Jamais entre deux nombres.
- Pour calculer une expression, on remplace chaque lettre par sa valeur et on respecte les priorités.
- Une formule donne une grandeur à partir d’autres : P = 2(L + l), A = Ll, d = vt.
- Un programme de calcul se traduit par une expression ; l’ordre des instructions et les parenthèses comptent.
- Pour tester une égalité, on calcule chaque membre avec la valeur donnée ; un seul contre-exemple prouve qu’elle est fausse.
- Réduire : 3x + 5x = 8x ; on ne mélange ni lettres différentes, ni lettre et nombre seul.
- Distributivité : k(a + b) = ka + kb, pour développer ou factoriser.