Dans ce chapitre, tu vas voir qu’une fraction est à la fois une part d’un tout et un nombre : le résultat d’une division. Tu apprendras à simplifier des fractions, à les comparer, puis à les additionner et les soustraire quand les dénominateurs sont multiples les uns des autres. Rappel de 6ème : 34 se lit « trois quarts » ; le dénominateur (en bas) dit en combien de parts égales on partage l’unité, le numérateur (en haut) dit combien de parts on prend.
1. Une fraction, c’est un quotient
Fraction et quotient
Pour deux nombres a et b (b ≠ 0), la fraction ab est le nombre qui, multiplié par b, donne a. C’est le quotient de a par b : ab = a ÷ b.
Pour deux nombres a et b (b ≠ 0), la fraction ab est le nombre qui, multiplié par b, donne a. C’est le quotient de a par b : ab = a ÷ b.
Partager une pizza entre 4 amis, c’est calculer 1 ÷ 4 = 14. Partager 3 pizzas entre 4 amis, c’est calculer 3 ÷ 4 = 34 : chacun reçoit trois quarts de pizza, soit 0,75.
La bande est partagée en 8 parts égales ; 5 parts sont coloriées : on a colorié 58 de la bande.
Passer de la fraction à l’écriture décimale
On effectue la division du numérateur par le dénominateur (de tête, posée ou à la calculatrice).
72 = 7 ÷ 2 = 3,5 · 94 = 9 ÷ 4 = 2,25 · 320 = 3 ÷ 20 = 0,15.
On effectue la division du numérateur par le dénominateur (de tête, posée ou à la calculatrice).
72 = 7 ÷ 2 = 3,5 · 94 = 9 ÷ 4 = 2,25 · 320 = 3 ÷ 20 = 0,15.
Attention
Certaines fractions n’ont pas d’écriture décimale exacte : 13 = 0,333… ne s’arrête jamais. On garde alors la fraction, qui est la valeur exacte du nombre.
Certaines fractions n’ont pas d’écriture décimale exacte : 13 = 0,333… ne s’arrête jamais. On garde alors la fraction, qui est la valeur exacte du nombre.
Une fraction se place aussi sur une droite graduée. Ici, une unité est partagée en 4 : A = 14, B = 34, C = 54 et D = 74.
Chaque graduation vaut un quart. Avec 54, on a dépassé 1 : cinq quarts, c’est un entier (4 quarts) plus un quart de plus.
Entier + fraction
Une fraction dont le numérateur est plus grand que le dénominateur peut s’écrire comme la somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1. On cherche combien de fois le dénominateur « rentre » dans le numérateur.
175 : 17 = 3 × 5 + 2, donc 175 = 3 + 25.
Une fraction dont le numérateur est plus grand que le dénominateur peut s’écrire comme la somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1. On cherche combien de fois le dénominateur « rentre » dans le numérateur.
175 : 17 = 3 × 5 + 2, donc 175 = 3 + 25.
2. Prendre une fraction d’une quantité
Calculer bc de a
1) On partage la quantité en c parts égales (on divise par c). 2) On garde b de ces parts (on multiplie par b). Cela revient à calculer a × b ÷ c.
1) On partage la quantité en c parts égales (on divise par c). 2) On garde b de ces parts (on multiplie par b). Cela revient à calculer a × b ÷ c.
Exemple
Dans une classe de 28 élèves, 37 des élèves sont à vélo. 28 ÷ 7 = 4 élèves par septième, puis 4 × 3 = 12 élèves viennent à vélo.
Dans une classe de 28 élèves, 37 des élèves sont à vélo. 28 ÷ 7 = 4 élèves par septième, puis 4 × 3 = 12 élèves viennent à vélo.
Le modèle en barres : la barre entière est coupée en 7 parts de 4 élèves ; on en prend 3.
Astuce
Pour 12, 14, 110 d’une quantité, on divise simplement par 2, par 4, par 10. Pour 34 d’une quantité, on trouve le quart, puis on le multiplie par 3.
Pour 12, 14, 110 d’une quantité, on divise simplement par 2, par 4, par 10. Pour 34 d’une quantité, on trouve le quart, puis on le multiplie par 3.
3. Fractions égales et simplification
Quotients égaux
On ne change pas la valeur d’une fraction quand on multiplie (ou quand on divise) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul : ab = a×kb×k = a÷kb÷k.
On ne change pas la valeur d’une fraction quand on multiplie (ou quand on divise) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul : ab = a×kb×k = a÷kb÷k.
Exemple
23 = 2×53×5 = 1015 et 1830 = 18÷630÷6 = 35.
23 = 2×53×5 = 1015 et 1830 = 18÷630÷6 = 35.
Simplifier, fraction irréductible
Simplifier une fraction, c’est trouver une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits. Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier.
Simplifier une fraction, c’est trouver une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits. Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier.
Comment simplifier
On cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur, en s’aidant des critères de divisibilité : par 2 (chiffre des unités pair), par 5 (se termine par 0 ou 5), par 10 (se termine par 0), par 3 (somme des chiffres multiple de 3), par 9 (somme des chiffres multiple de 9). On recommence jusqu’à ce que ce ne soit plus possible.
3660 = 1830 = 915 = 35 (divisions successives par 2, 2, puis 3).
On cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur, en s’aidant des critères de divisibilité : par 2 (chiffre des unités pair), par 5 (se termine par 0 ou 5), par 10 (se termine par 0), par 3 (somme des chiffres multiple de 3), par 9 (somme des chiffres multiple de 9). On recommence jusqu’à ce que ce ne soit plus possible.
3660 = 1830 = 915 = 35 (divisions successives par 2, 2, puis 3).
Piège
On multiplie ou on divise les deux termes par le même nombre. Écrire 23 = 2+43+4 = 67 est faux : l’addition ne conserve pas la valeur de la fraction.
On multiplie ou on divise les deux termes par le même nombre. Écrire 23 = 2+43+4 = 67 est faux : l’addition ne conserve pas la valeur de la fraction.
4. Comparer une fraction à 0,5 et à 1
Comparer à 1
Si le numérateur est plus petit que le dénominateur, la fraction est inférieure à 1. S’ils sont égaux, elle vaut 1. S’il est plus grand, elle est supérieure à 1.
56 < 1 ; 88 = 1 ; 97 > 1.
Si le numérateur est plus petit que le dénominateur, la fraction est inférieure à 1. S’ils sont égaux, elle vaut 1. S’il est plus grand, elle est supérieure à 1.
56 < 1 ; 88 = 1 ; 97 > 1.
Comparer à 12
Une fraction est inférieure à 12 si son numérateur est inférieur à la moitié de son dénominateur ; elle lui est égale s’il en est la moitié ; elle est supérieure sinon.
310 < 12 (car 3 < 5) ; 714 = 12 ; 1120 > 12 (car 11 > 10).
Une fraction est inférieure à 12 si son numérateur est inférieur à la moitié de son dénominateur ; elle lui est égale s’il en est la moitié ; elle est supérieure sinon.
310 < 12 (car 3 < 5) ; 714 = 12 ; 1120 > 12 (car 11 > 10).
Ces deux repères permettent de ranger vite : 310 < 12 < 1120 < 97.
5. Comparer deux fractions
Même dénominateur, même numérateur
• Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur : 59 < 79.
• Si deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur (les parts sont plus grosses) : 35 > 38.
• Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur : 59 < 79.
• Si deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur (les parts sont plus grosses) : 35 > 38.
Dénominateurs différents
On écrit les fractions avec un dénominateur commun, c’est-à-dire un multiple commun des deux dénominateurs, puis on compare les numérateurs. Quand un dénominateur est multiple de l’autre, le plus grand des deux convient.
On écrit les fractions avec un dénominateur commun, c’est-à-dire un multiple commun des deux dénominateurs, puis on compare les numérateurs. Quand un dénominateur est multiple de l’autre, le plus grand des deux convient.
Exemple
Comparons 56 et 1112. 12 est un multiple de 6 : 56 = 1012. Comme 10 < 11, on obtient 56 < 1112.
Comparons 56 et 1112. 12 est un multiple de 6 : 56 = 1012. Comme 10 < 11, on obtient 56 < 1112.
Si les dénominateurs ne sont pas multiples
On cherche dans la liste des multiples de chacun un nombre commun. Pour 34 et 56 : multiples de 4 : 4, 8, 12… ; multiples de 6 : 6, 12… On prend 12 : 912 < 1012.
On cherche dans la liste des multiples de chacun un nombre commun. Pour 34 et 56 : multiples de 4 : 4, 8, 12… ; multiples de 6 : 6, 12… On prend 12 : 912 < 1012.
6. Additionner et soustraire des fractions
Même dénominateur
On additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur : ac + bc = a+bc et ac − bc = a−bc.
29 + 59 = 79 · 118 − 38 = 88 = 1.
On additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur : ac + bc = a+bc et ac − bc = a−bc.
29 + 59 = 79 · 118 − 38 = 88 = 1.
Dénominateurs différents (l’un est multiple de l’autre)
1) On écrit la fraction dont le dénominateur est le plus petit avec le dénominateur le plus grand. 2) On additionne ou on soustrait les numérateurs. 3) On simplifie le résultat si possible.
34 + 512 = 912 + 512 = 1412 = 76.
1) On écrit la fraction dont le dénominateur est le plus petit avec le dénominateur le plus grand. 2) On additionne ou on soustrait les numérateurs. 3) On simplifie le résultat si possible.
34 + 512 = 912 + 512 = 1412 = 76.
Avec un nombre entier
On écrit l’entier sous forme de fraction : 1 − 38 = 88 − 38 = 58 ; 2 + 13 = 63 + 13 = 73.
On écrit l’entier sous forme de fraction : 1 − 38 = 88 − 38 = 58 ; 2 + 13 = 63 + 13 = 73.
Erreur fréquente
Ne jamais additionner les dénominateurs ! 14 + 14 = 24 (= 12) et non 28 : deux quarts de pizza, c’est une demi-pizza, pas un huitième.
Ne jamais additionner les dénominateurs ! 14 + 14 = 24 (= 12) et non 28 : deux quarts de pizza, c’est une demi-pizza, pas un huitième.
7. Résoudre un problème avec des fractions
Méthode
1) Lire et repérer le « tout ». 2) Faire un schéma (modèle en barres). 3) Additionner les fractions des parts connues. 4) Pour la part restante, calculer 1 moins cette fraction. 5) Si on connaît une quantité, retrouver la valeur d’une part puis du tout.
1) Lire et repérer le « tout ». 2) Faire un schéma (modèle en barres). 3) Additionner les fractions des parts connues. 4) Pour la part restante, calculer 1 moins cette fraction. 5) Si on connaît une quantité, retrouver la valeur d’une part puis du tout.
Exemple résolu
Léo dépense 12 de son argent au cinéma et 16 en confiserie. Il lui reste 12 €. Quel était son budget ?
Dépensé : 12 + 16 = 36 + 16 = 46 = 23. Il reste donc 13 du budget. Si 13 vaut 12 €, alors le budget est 3 × 12 = 36 €.
Léo dépense 12 de son argent au cinéma et 16 en confiserie. Il lui reste 12 €. Quel était son budget ?
Dépensé : 12 + 16 = 36 + 16 = 46 = 23. Il reste donc 13 du budget. Si 13 vaut 12 €, alors le budget est 3 × 12 = 36 €.
Trois parts égales : deux sont dépensées, la troisième (12 €) est ce qui reste.
Mathbot t’aide
« Quand tu es perdu, dessine ! Une barre découpée en parts égales vaut mieux qu’un long discours. »
« Quand tu es perdu, dessine ! Une barre découpée en parts égales vaut mieux qu’un long discours. »
À retenir
- ab = a ÷ b : une fraction est un quotient, et se place sur une droite graduée.
- Prendre bc d’une quantité : on divise par c, puis on multiplie par b.
- On ne change pas une fraction en multipliant ou divisant ses deux termes par le même nombre ; on s’en sert pour simplifier.
- Repères : fraction < 1 si numérateur < dénominateur ; fraction < 12 si le numérateur est inférieur à la moitié du dénominateur.
- Pour comparer, additionner ou soustraire, on met les fractions au même dénominateur.
- Même dénominateur : on calcule avec les numérateurs et on garde le dénominateur.
- Dans un problème : schéma en barres, puis 1 − (fractions déjà utilisées) pour la part restante.