Corrigé détaillé des exercices du chapitre. Vérifie tes réponses étape par étape et corrige-toi.
1 Compter faces, arêtes, sommets ★★★
a. Base hexagonale (n = 6) : n + 2 = 8 faces ; 3 × 6 = 18 arêtes ; 2 × 6 = 12 sommets. Base pentagonale (n = 5) : 7 faces ; 15 arêtes ; 10 sommets.
b. Les faces latérales sont des rectangles : 6 pour le premier, 5 pour le second (les deux autres faces sont les bases).
2 Vrai ou faux ? ★★★
a. Vrai : un cube est un pavé dont toutes les arêtes sont égales. b. Vrai si l’on compte la surface courbe : deux disques et une face latérale. c. Faux : un même solide peut avoir plusieurs patrons (un cube en a 11 différents). d. Faux : seules les longueurs de la face en vraie grandeur le sont ; les fuyantes sont raccourcies. e. Vrai : c’est la définition d’un prisme droit.
3 Quel solide ? ★★★
a. un pavé droit ; b. un cylindre ; c. un prisme droit à base triangulaire (couché sur une face rectangulaire) ; d. un cylindre (très long et fin) ; e. un cube.
4 Volumes simples ★★★
a. V = 5 × 3 × 2 = 30 cm³. b. V = 4 × 4 × 4 = 64 cm³. c. V = 1,5 × 2 × 0,4 = 3 × 0,4 = 1,2 m³.
5 Conversions de volumes ★★★
a. 3 × 1 000 = 3 000 dm³. b. 4 500 ÷ 1 000 = 4,5 cm³. c. 0,25 × 1 000 = 250 cm³. d. 12 ÷ 1 000 = 0,012 dm³.
6 Conversions de capacités ★★★
a. 2,5 × 100 = 250 cL. b. 350 ÷ 1 000 = 0,35 L. c. 4 L = 4 dm³ = 4 × 1 000 = 4 000 cm³. d. 1,2 dm³ = 1,2 L = 1 200 mL.
7 Disque de base ★★★
a. P = 2 × π × 5 = 10π ≈ 31,42 cm. b. A = π × 5 × 5 = 25π ≈ 78,54 cm².
8 Prisme à base triangulaire ★★★
Aire de la base : 3 × 4 ÷ 2 = 6 cm². Volume : V = 6 × 8 = 48 cm³.
9 Prisme à base en L ★★★
Aire de la base : 6 × 4 − 2 × 2 = 24 − 4 = 20 cm². Volume : V = 20 × 9 = 180 cm³.
10 Volume d’un cylindre ★★★
V = π × 3 × 3 × 10 = 90π cm³ ≈ 282,74 cm³.
11 Patron d’un cylindre ★★★
Le patron est formé de deux disques de rayon 2 cm et d’un rectangle. Le rectangle a pour largeur la hauteur, 7 cm, et pour longueur le périmètre d’un disque : 2 × π × 2 = 4π ≈ 12,57 cm. Il mesure donc environ 12,57 cm sur 7 cm.
12 Arêtes cachées ★★★
Le sommet E est caché derrière la face avant. Les trois arêtes cachées sont [AE], [EF] et [EH], à tracer en pointillés (voir le dessin).
13 Une bouteille ★★★
V = π × 3 × 3 × 20 = 180π ≈ 565,49 cm³. Or 565,49 cm³ = 0,56549 dm³ ≈ 0,565 L (environ un demi-litre).
14 Une piscine ★★★
a. V = 8 × 4 × 1,5 = 32 × 1,5 = 48 m³. b. 48 m³ = 48 000 dm³ = 48 000 L. c. 48 000 ÷ 20 = 2 400 minutes, soit 2 400 ÷ 60 = 40 heures.
15 Boîte triangulaire ★★★
Aire de la base : 6 × 5,2 ÷ 2 = 31,2 ÷ 2 = 15,6 cm². Volume : V = 15,6 × 28 = 436,8 cm³.
16 Boîte de conserve ★★★
Volume du cylindre : π × 4 × 4 × 11 = 176π ≈ 552,92 cm³. Volume du carton : 8 × 8 × 11 = 704 cm³. Volume du vide : 704 − 552,92 = 151,08 cm³.
17 Retrouver une hauteur ★★★
a. Aire de la base : 5 × 4 = 20 cm². Comme V = aire × h, h = 140 ÷ 20 = 7 cm. b. h = 90 ÷ 15 = 6 cm.
18 Un aquarium ★★★
a. V = 80 × 35 × 45 = 2 800 × 45 = 126 000 cm³ = 126 dm³ = 126 L. b. 23 de 126 = 126 ÷ 3 × 2 = 42 × 2 = 84 L. c. 84 L = 84 000 cm³ ; aire du fond : 80 × 35 = 2 800 cm² ; hauteur = 84 000 ÷ 2 800 = 30 cm (on retrouve les 23 de 45 cm).
19 Un cube de 6 dm ★★★
a. V = 6 × 6 × 6 = 216 dm³ = 216 L. b. 6 faces carrées de 6 × 6 = 36 dm² : 6 × 36 = 216 dm². c. Sur chaque arête on range 6 ÷ 3 = 2 petits cubes, donc 2 × 2 × 2 = 8 petits cubes (vérification : 216 ÷ 27 = 8).
20 Un seau ★★★
V = π × 15 × 15 × 30 = 6 750π ≈ 21 205,75 cm³ ≈ 21,21 dm³ = 21,21 L. Comme 21,21 L > 20 L, oui, le seau peut contenir 20 L d’eau.
21 Un cube percé ★★★
Volume du cube : 10 × 10 × 10 = 1 000 cm³. Le trou est un cylindre de rayon 2 cm et de hauteur 10 cm : π × 2 × 2 × 10 = 40π ≈ 125,66 cm³. Volume restant : 1 000 − 125,66 = 874,34 cm³.
22 Doubler le rayon ★★★
a. V = π × 2 × 2 × 5 = 20π cm³. b. Rayon 4 cm : V = π × 4 × 4 × 5 = 80π cm³ ; 80π ÷ 20π = 4 : le volume est multiplié par 4 (car le rayon est multiplié par lui-même). c. Hauteur 10 cm : V = π × 2 × 2 × 10 = 40π cm³, multiplié par 2.