Continuité et théorème des valeurs intermédiaires : exercices de maths Terminale

Sommaire

1 Lecture d’une courbe avec un saut ★★★

On donne la courbe d’une fonction g définie sur [−2 ; 4]. Le point blanc en (1 ; 2) est « vide », le point plein en (1 ; 3) appartient à la courbe.

Lis g(1).
Détermine la limite de g(x) quand x tend vers 1 par valeurs inférieures, puis par valeurs supérieures.
La fonction g est-elle continue en 1 ? Justifie.
Sur quels intervalles de [−2 ; 4] peut-on affirmer que g est continue ?

2 Vrai ou faux ? ★★★

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse et justifie en une ou deux phrases.

Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.
Si f est continue en a, alors f est dérivable en a.
La fonction partie entière, x ↦ ⌊x⌋, est continue sur [0 ; 2].
Si f est continue sur [−1 ; 3], f(−1) = −2 et f(3) = 5, alors l’équation f(x) = 0 a au moins une solution dans [−1 ; 3].
Si f(−1) = −2 et f(3) = 5, alors l’équation f(x) = 0 a au moins une solution dans [−1 ; 3].
Si f est continue sur [a ; b] et f(a) × f(b) > 0, alors f ne s’annule pas sur [a ; b].

3 Justifier une continuité ★★★

Justifie que chaque fonction est continue sur l’intervalle indiqué.

f(x) = x² − 3x + 1 sur ℝ.
g(x) = 2x+1x−3 sur ]3 ; +∞[.
h(x) = √(x − 2) sur [2 ; +∞[.
k(x) = e^x × (x² + 1) sur ℝ.
m(x) = |x| + cos x sur ℝ.

4 Raccord de deux formules ★★★

On définit f(x) = 3x − 1 si x ≤ 2 ; f(x) = x² + 1 si x > 2. On définit g(x) = 3x − 1 si x ≤ 2 ; g(x) = x² + 2 si x > 2.

Étudie la continuité de f en 2.
Étudie la continuité de g en 2.

5 Première équation avec le corollaire ★★★

Soit f(x) = x² − 5 sur [2 ; 3].

Montre que l’équation x² = 5 admet une unique solution α dans [2 ; 3].
Encadre α par deux décimaux d’amplitude 0,1 à l’aide de la calculatrice.

6 Lire un tableau de variations ★★★

Une fonction f est continue sur [−3 ; 5] et son tableau de variations est le suivant.

x	−3		0		3		5
f(x)	−2	↗	4	↘	−1	↗	2

Pour chaque valeur de k, donne le nombre de solutions de l’équation f(x) = k sur [−3 ; 5] : k = 0 ; k = 3 ; k = 5 ; k = −2 ; k = 2.

7 Dichotomie à la main ★★★

Soit f(x) = x³ − 2 sur [1 ; 2]. On sait que f est continue et strictement croissante, f(1) = −1 et f(2) = 6.

Applique trois tours de dichotomie en complétant un tableau (a, b, milieu m, signe de f(m)).
Donne l’encadrement obtenu et son amplitude.

8 Une équation sur ℝ ★★★

Soit f(x) = x³ + 3x − 5 sur ℝ.

Étudie les variations de f.
Montre que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans ℝ.
Donne un encadrement de α d’amplitude 0,1.

9 Un paramètre à déterminer ★★★

Soit f définie sur ℝ par f(x) = 2x + a si x < 3 et f(x) = x² − 4 si x ≥ 3, où a est un réel. Détermine a pour que f soit continue sur ℝ.

10 Continue mais pas dérivable ★★★

Soit f(x) = |x − 2|.

Écris f(x) sans valeur absolue selon les valeurs de x.
Montre que f est continue en 2.
Calcule le taux de variation f(2+h)−f(2)h pour h > 0 puis h < 0. f est-elle dérivable en 2 ?

11 Limite d’une suite récurrente ★★★

Soit (u_n) définie par u₀ = 1 et u_n+1 = √(3u_n + 4).

Démontre par récurrence que 0 ≤ u_n < 4 pour tout n.
Montre que (u_n) est croissante.
En déduire que (u_n) converge et détermine sa limite.

12 Une équation avec l’exponentielle ★★★

Soit f(x) = e^x + x − 2 sur ℝ.

Montre que f est strictement croissante sur ℝ.
Calcule les limites de f en −∞ et en +∞ (on rappelle que lim_x→−∞ e^x = 0).
Montre que f(x) = 0 admet une unique solution α et encadre-la à 0,1 près.

13 Un point fixe ★★★

Soit f une fonction continue sur [0 ; 1] telle que, pour tout x de [0 ; 1], f(x) appartient à [0 ; 1].

On pose g(x) = f(x) − x. Détermine le signe de g(0) et de g(1).
Montre que l’équation f(x) = x admet au moins une solution dans [0 ; 1].
Application : montre que cos x = x admet une solution dans [0 ; 1] et encadre-la à 0,1 près (on admet que cos est à valeurs dans [0 ; 1] sur [0 ; 1]).

14 Compléter un programme ★★★

On cherche une valeur approchée de √7 à l’aide de f(x) = x² − 7 sur [2 ; 3].

def dichotomie(f, a, b, precision):
    while b - a > precision:
        m = (a + b) / 2
        if f(m) * f(a) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return a, b

Justifie que l'équation f(x) = 0 a une unique solution sur [2 ; 3] et que cette solution est √7.
Qu'affiche print(dichotomie(lambda x: x**2 - 7, 2, 3, 0.01)) ? (Tu peux dérouler à la main.)
Combien de tours de boucle sont effectués ?

15 Combien de solutions selon m ? ★★★

Soit f(x) = x³ − 3x sur ℝ. Sa courbe est tracée ci-dessous.

Étudie les variations de f et calcule f(−1), f(1) et les limites en ±∞.
Discute, selon le réel m, le nombre de solutions de l'équation f(x) = m.

16 Trois racines exactement ★★★

Soit f(x) = x³ − 3x + 1.

Dresse le tableau de variations de f.
Calcule f(−2), f(−1), f(1), f(2).
Démontre que l'équation f(x) = 0 admet exactement trois solutions réelles et localise-les.
Encadre la plus grande à 0,1 près.

17 La boîte de rangement ★★★

On découpe un carré de carton de côté 30 cm en coupant dans chaque coin un petit carré de côté x cm (0 ≤ x ≤ 15), puis on replie pour former une boîte sans couvercle. Son volume est V(x) = x(30 − 2x)² (en cm³).

Étudie les variations de V sur [0 ; 15] (on pourra vérifier que V ′(x) = (30 − 2x)(30 − 6x)).
Montre que l'équation V(x) = 1 000 a exactement deux solutions dans [0 ; 15].
Détermine la plus grande exactement, et encadre l'autre à 0,1 près.

18 Limite de u_n+1 = 1/(1 + u_n) ★★★

Soit (u_n) définie par u₀ = 1 et u_n+1 = 1 ÷ (1 + u_n). On admet que la suite converge vers un réel ℓ.

Montre que u_n ≥ 0 pour tout n, puis que ℓ ≥ 0.
Justifie que f : x ↦ 11+x est continue sur [0 ; +∞[ et que ℓ vérifie ℓ = f(ℓ).
Détermine la valeur exacte de ℓ, puis une valeur approchée à 10⁻³.

19 Quand le TVI ne marche pas ★★★

Voici trois fonctions. Pour chacune, dis si le TVI permet de conclure que f(x) = 0 a une solution dans l'intervalle indiqué, puis dis si l'équation en a vraiment une.

f(x) = 1x sur [−1 ; 1].
f(x) = x − ⌊x⌋ − 0,5 sur [0 ; 1] (⌊x⌋ désigne la partie entière).
f(x) = x² − 1 sur [−2 ; 2].

20 Fonction par morceaux strictement croissante ★★★

Soit f(x) = 2x + 1 si x ≤ 1 et f(x) = x² + 2 si x > 1.

Montre que f est continue sur ℝ.
Montre que f est strictement croissante sur ℝ.
Résous f(x) = 2,5 puis f(x) = 7. Justifie que chaque équation a une unique solution.

21 Combien de tours de dichotomie ? ★★★

On applique la dichotomie à une fonction continue qui change de signe sur [1 ; 2].

Quelle est l'amplitude de l'intervalle après n tours ?
Combien de tours faut-il pour obtenir une amplitude strictement inférieure à 10⁻⁶ ?
Écris une fonction Python nb_tours(precision) qui renvoie ce nombre de tours pour un intervalle de départ de longueur 1.

22 Racine n-ième ★★★

Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et a un réel strictement positif. On pose f(x) = xⁿ − a sur [0 ; +∞[.

Montre que l'équation xⁿ = a admet une unique solution positive (la « racine n-ième » de a).
Application : n = 5, a = 40. Encadre la solution à 0,01 près.