Continuité et théorème des valeurs intermédiaires : contrôle de maths Terminale

1 Continuité d’une fonction définie par morceaux / 3 pts

Soit k un réel. On définit f sur ℝ par f(x) = x²−4x−2 si x ≠ 2 et f(2) = k.

1. Simplifie f(x) pour x ≠ 2. (1 pt)
2. Détermine la limite de f en 2. (1 pt)
3. Pour quelle valeur de k la fonction f est-elle continue sur ℝ ? (1 pt)

2 Équation du troisième degré / 4 pts

Calculatrice autorisée. Soit g(x) = x³ + 2x − 4 sur ℝ.

1. Étudie les variations de g et ses limites en −∞ et +∞. (1 pt)
2. Démontre que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution α dans ℝ ; montre que α ∈ ]1 ; 2[. (1,5 pt)
3. Donne un encadrement de α d’amplitude 10⁻². (1,5 pt)

3 Nombre de solutions et tableau de variations / 3 pts

La fonction h est continue sur [−4 ; 4]. Son tableau de variations est :

Donne, en justifiant, le nombre de solutions de l’équation h(x) = m dans [−4 ; 4] pour m = 0, m = 2, m = 6 et m = −3. (0,75 pt chacune)

4 Suite récurrente / 4 pts

Soit (u_n) définie par u₀ = 0 et u_n+1 = √(2u_n + 8).

1. Calcule u₁ (valeur exacte, puis arrondie au centième). (0,5 pt)
2. Démontre par récurrence que 0 ≤ u_n < 4 pour tout entier n. (1 pt)
3. Montre que (u_n) est croissante. (1 pt)
4. Justifie que (u_n) converge, puis détermine sa limite. (1,5 pt)

5 Dichotomie en Python / 4 pts

Calculatrice autorisée. On considère le programme ci-dessous.

def dichotomie(f, a, b, precision):
    while b - a > precision:
        m = (a + b) / 2
        if f(m) * f(a) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return a, b

1. Soit f(x) = x² − 2 sur [1 ; 2]. Justifie que f(x) = 0 a une unique solution dans [1 ; 2] et donne sa valeur exacte. (1,5 pt)
2. Déroule à la main l'appel dichotomie(lambda x: x**2 - 2, 1, 2, 0.1) : donne la valeur de m à chaque tour et le résultat renvoyé. (2 pts)
3. Quelle est l'amplitude de l'intervalle renvoyé ? Que peut-on dire de √2 ? (0,5 pt)

6 Vrai ou faux avec contre-exemple / 2 pts

Pour chaque affirmation, réponds par vrai ou faux et justifie (un contre-exemple suffit pour une affirmation fausse).

1. Si f est continue sur [0 ; 1] et f(0) × f(1) > 0, alors f ne s'annule jamais sur [0 ; 1]. (1 pt)
2. Si f est dérivable sur ℝ, alors f est continue sur ℝ. (1 pt)