1 Lecture graphique / 4 pts
- (1 pt) La courbe coupe l’axe des abscisses en −1, 2 et 4 : ce sont les zéros de v.
- (1,5 pt)
x −2 −1 2 4 5 v(x) − 0 + 0 − 0 + - (1 pt) v(x) < 0 ⇔ x ∈ [−2 ; −1[ ∪ ]2 ; 4[.
- (0,5 pt) v(x) ≥ 0 ⇔ x ∈ [−1 ; 2] ∪ [4 ; 5].
Barème : 1 + 1,5 + 1 + 0,5 = 4 points.
2 Fonctions affines / 3 pts
- (2 pts, 1 par tableau) f s’annule en 4 et a = −3 < 0 ; g s’annule en −52 et a = 2 > 0.
x −∞ 4 +∞ f(x) + 0 − x −∞ −5/2 +∞ g(x) − 0 + - (1 pt) f(x) > 0 ⇔ x ∈ ]−∞ ; 4[ (0,5 pt). g(x) ≤ 0 ⇔ x ∈ ]−∞ ; −2,5] (0,5 pt).
Barème : 2 + 1 = 3 points.
3 Produits / 4 pts
- (2 pts) 3x − 1 = 0 ⇔ x = 13 ; x + 2 = 0 ⇔ x = −2.
x −∞ −2 1/3 +∞ 3x − 1 − − 0 + x + 2 − 0 + + produit + 0 − 0 + Solutions : ]−∞ ; −2] ∪ [ 13 ; +∞[ (tableau 1 pt, conclusion 1 pt).
- (2 pts) x² − 6x = x(x − 6) (0,5 pt).
x −∞ 0 6 +∞ x − 0 + + x − 6 − − 0 + x(x − 6) + 0 − 0 + Solutions : ]0 ; 6[ (tableau 1 pt, conclusion 0,5 pt).
Barème : 2 + 2 = 4 points.
4 Un quotient / 4 pts
- (0,5 pt) Le dénominateur s’annule pour 3 − x = 0, soit x = 3 : Q n’est pas définie en 3.
- (2 pts) Le numérateur s’annule en −5 (coefficient 1 > 0), le dénominateur en 3 (coefficient −1 < 0).
x −∞ −5 3 +∞ x + 5 − 0 + + 3 − x + + 0 − Q(x) − 0 + || − - (1 pt) Q(x) ≥ 0 ⇔ x ∈ [−5 ; 3[ (−5 inclus car Q(−5) = 0 ; 3 exclu, valeur interdite).
- (0,5 pt) −6 < −5, donc −6 est dans l’intervalle où Q est négative : Q(−6) < 0. (Vérification : Q(−6) = −1/9.)
Barème : 0,5 + 2 + 1 + 0,5 = 4 points.
5 Problème : le caillou et la falaise / 5 pts
- (1 pt) −5(t − 4)(t + 1) = −5(t² + t − 4t − 4) = −5(t² − 3t − 4) = −5t² + 15t + 20 = h(t). ✓
- (1,5 pt) Pour t ≥ 0, t + 1 > 0. Le facteur −5(t − 4) = −5t + 20 est positif pour t < 4 et négatif pour t > 4.
x 0 4 +∞ −5(t − 4) + 0 − t + 1 + + h(t) + 0 − - (0,5 pt) Le caillou touche l’eau quand h(t) = 0, c’est-à-dire à t = 4 secondes.
- (2 pts) h(t) − 20 = −5t² + 15t = 5t(3 − t) (0,5 pt). Pour t ≥ 0 : 5t ≥ 0 et 3 − t est positif jusqu’à 3.
x 0 3 4 5t + + 3 − t + 0 − h(t) − 20 + 0 − h(t) ≥ 20 ⇔ t ∈ [0 ; 3] (1 pt). Le caillou reste à au moins 20 m pendant 3 secondes (0,5 pt).
Barème : 1 + 1,5 + 0,5 + 2 = 5 points.