Corrigé des exercices de maths 4ème : Théorème de Pythagore

1 Calculer des carrés ★★★

7² = 7 × 7 = 49 ; 12² = 144 ; 15² = 225 ; 1,1² = 1,1 × 1,1 = 1,21 ; 0,5² = 0,25 ; 20² = 400.

2 Reconnaître les carrés parfaits ★★★

64 = 8², 121 = 11² et 196 = 14² sont des carrés parfaits : √64 = 8, √121 = 11, √196 = 14. Les autres ne le sont pas : 50 est entre 7² = 49 et 8² = 64 ; 90 est entre 9² = 81 et 10² = 100 ; 150 est entre 12² = 144 et 13² = 169.

3 Racines carrées simples ★★★

√36 = 6 car 6² = 36 ; √100 = 10 ; √0,09 = 0,3 car 0,3² = 0,09 ; √(5²) = 5 ; (√7)² = 7 ; √1 = 1.

4 Encadrer une racine carrée ★★★

16 < 20 < 25 donc 4 < √20 < 5. 49 < 50 < 64 donc 7 < √50 < 8. 81 < 90 < 100 donc 9 < √90 < 10. 121 < 130 < 144 donc 11 < √130 < 12.

5 Utiliser la calculatrice ★★★

√3 ≈ 1,73 (entre 1 et 2) ; √10 ≈ 3,16 (entre 3 et 4) ; √21 ≈ 4,58 (entre 4 et 5) ; √67 ≈ 8,19 (entre 8 et 9, car 64 < 67 < 81).

6 Nommer l’hypoténuse ★★★

L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. a. [EG] ; b. [RT] ; c. [MN] ; d. [YZ].

7 Écrire l’égalité de Pythagore ★★★

a. L’hypoténuse est [BC] : BC² = AB² + AC². b. L’hypoténuse est [DF] : DF² = DE² + EF². c. L’hypoténuse est [GH] : GH² = GI² + HI².

8 Longueur de l’hypoténuse ★★★

a. BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, BC = 10 cm.

b. BC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169, BC = 13 cm.

c. BC² = 81 + 144 = 225, BC = 15 cm.

9 Longueur d’un côté de l’angle droit ★★★

a. 17² − 8² = 289 − 64 = 225, le côté vaut √225 = 15 cm.

b. 25² − 24² = 625 − 576 = 49, le côté vaut 7 cm.

c. 10² − 6² = 100 − 36 = 64, le côté vaut 8 cm.

10 Résultats non entiers ★★★

a. h² = 9 + 25 = 34, h = √34 ≈ 5,83 cm.

b. h² = 16 + 49 = 65, h = √65 ≈ 8,06 cm.

c. c² = 49 − 25 = 24, c = √24 ≈ 4,90 cm.

11 Diagonale d’un carré ★★★

Le triangle formé par deux côtés consécutifs et la diagonale est rectangle (le carré a des angles droits). D² = 6² + 6² = 36 + 36 = 72, donc D = √72 ≈ 8,49 cm.

12 Diagonale d’un rectangle ★★★

EFG est rectangle en F, donc d’après le théorème de Pythagore EG² = EF² + FG² = 81 + 16 = 97. Donc EG = √97 ≈ 9,85 cm.

13 L’échelle et le mur ★★★

Le mur est vertical et le sol horizontal : le triangle est rectangle, l’échelle est l’hypoténuse. D’après le théorème de Pythagore : h² = 5² − 1,4² = 25 − 1,96 = 23,04. Donc h = √23,04 = 4,8. L’échelle touche le mur à 4,8 m de hauteur.

14 Une randonnée ★★★

Les directions est et sud sont perpendiculaires : le triangle DEA est rectangle en E. DA² = DE² + EA² = 144 + 25 = 169, donc DA = √169 = 13. Il est à 13 km de son point de départ.

15 Un triangle est-il rectangle ? ★★★

Le plus grand côté mesure 7,5 cm. 7,5² = 56,25. 4,5² + 6² = 20,25 + 36 = 56,25. Les deux résultats sont égaux : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle. L’angle droit est opposé au côté de 7,5 cm, c’est-à-dire au sommet commun aux côtés de 4,5 cm et 6 cm.

16 Un triangle non rectangle ★★★

Le plus grand côté est [BC] : BC² = 64. AB² + AC² = 25 + 36 = 61. Comme 64 ≠ 61, d’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ABC n’est pas rectangle.

17 Réciproque avec de grands nombres ★★★

Le plus grand côté est [BC]. BC² = 29² = 841. AB² + AC² = 400 + 441 = 841. Les deux résultats sont égaux : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A (sommet opposé à [BC]).

18 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai. 17² = 289 et 8² + 15² = 64 + 225 = 289 : la réciproque s’applique.
2. Faux. 6² = 36 mais 3² + 4² = 9 + 16 = 25 ≠ 36.
3. Faux. L’hypoténuse est le plus grand côté (elle est opposée à l’angle droit).
4. Faux. L’hypoténuse est [AC] : la bonne égalité est AC² = AB² + BC².

19 Hauteur d’un triangle isocèle ★★★

1. H est le milieu de [BC] : BH = 8 cm. Le triangle ABH est rectangle en H, donc AH² = AB² − BH² = 289 − 64 = 225 et AH = √225 = 15 cm.
2. Aire = base × hauteur ÷ 2 = 16 × 15 ÷ 2 = 120 cm².

20 Hauteur et périmètre ★★★

1. ABH est rectangle en H : BH² = 13² − 12² = 169 − 144 = 25, donc BH = 5 cm. AHC est rectangle en H : HC² = 20² − 12² = 400 − 144 = 256, donc HC = 16 cm.
2. BC = BH + HC = 5 + 16 = 21 cm. Périmètre = 13 + 20 + 21 = 54 cm.
3. Le plus grand côté est [BC] : BC² = 441. AB² + AC² = 169 + 400 = 569. Comme 441 ≠ 569, ABC n’est pas rectangle en A.

21 Le câble du mât ★★★

Le mât est vertical, le sol horizontal : le triangle est rectangle au pied du mât. L² = 6² + 4,5² = 36 + 20,25 = 56,25 donc L = √56,25 = 7,5 m.

Pour un câble de 7,5 m fixé à 4,5 m du pied : h² = 7,5² − 4,5² = 56,25 − 20,25 = 36, donc h = 6 m : on retrouve la même hauteur.

22 Le cadre du charpentier ★★★

Considère le triangle formé par deux côtés consécutifs et la diagonale. Le plus grand côté est la diagonale : 2,6² = 6,76. 2,4² + 1² = 5,76 + 1 = 6,76. Les deux résultats sont égaux : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle, donc l’angle du cadre est droit. (Un quadrilatère à côtés opposés de même longueur est un parallélogramme ; avec un angle droit, c’est un rectangle.)

23 Dans un repère ★★★

1. A et C ont la même abscisse : AC = 9 − 1 = 8 cm. C et B ont la même ordonnée : BC = 7 − 1 = 6 cm.
2. (AC) est verticale et (CB) est horizontale : elles sont perpendiculaires, donc ABC est rectangle en C.
3. AB² = AC² + BC² = 64 + 36 = 100, donc AB = 10 cm.

24 Triplets pythagoriciens ★★★

1. 9² + 40² = 81 + 1 600 = 1 681 = 41². C’est un triplet pythagoricien.
2. (6 ; 8 ; 10) : 36 + 64 = 100 = 10². (9 ; 12 ; 15) : 81 + 144 = 225 = 15². Oui, dans les deux cas.
3. Le plus grand côté est 150 : 150² = 22 500 et 90² + 120² = 8 100 + 14 400 = 22 500. D’après la réciproque, le triangle est rectangle (l’angle droit est opposé au côté de 150 cm).