Corrigé des exercices de maths 3ème : Transformations du plan

1 Quelle transformation ? ★★★

1. Le tiroir glisse sans tourner : translation.
2. L’aiguille tourne autour de son axe : rotation (quart de tour, 90°, sens horaire).
3. Le reflet est retourné : symétrie axiale.
4. La forme est conservée, la taille est multipliée par 3 : homothétie de rapport 3.
5. La carte à jouer a un demi-tour : symétrie centrale (ou rotation de 180°) ; les valets sont dessinés ainsi.
6. La cabine glisse sans tourner : translation.

2 Translation et coordonnées ★★★

1. De A à A’ : on ajoute 3 à l’abscisse (5 − 2) et 3 à l’ordonnée (4 − 1). Le déplacement est « 3 vers la droite, 3 vers le haut ».
2. B'(0 + 3 ; 3 + 3) = B'(3 ; 6). C'(−2 + 3 ; −1 + 3) = C'(1 ; 2).
3. On fait le déplacement inverse : D(7 − 3 ; 0 − 3) = D(4 ; −3). Vérification : (4 + 3 ; −3 + 3) = (7 ; 0).

3 Symétrie centrale et coordonnées ★★★

O est le milieu de [AA’] : x_A’ = 2 × 3 − x_A et y_A’ = 2 × 2 − y_A.

• A'(6 − 1 ; 4 − 1) = A'(5 ; 3).
• B'(6 − 4 ; 4 − 5) = B'(2 ; −1).
• C'(6 − (−1) ; 4 − 2) = C'(7 ; 2).

Contrôle : le milieu de [CC’] est ((−1 + 7)/2 ; (2 + 2)/2) = (3 ; 2) = O. ✓.

4 Construire une image par translation ★★★

De E(1 ; 5) à E'(7 ; 2) : 6 carreaux vers la droite et 3 vers le bas. On refait ce déplacement pour F et G : F'(10 ; 2) et G'(7 ; 4).

[EE’] et [FF’] sont parallèles et de même longueur : EE’F’F est un parallélogramme.

5 Longueurs et homothétie ★★★

1. OA’ = 3 × OA = 3 × 4 = 12 cm.
2. OB’ = 3 × OB, donc OB = 15 ÷ 3 = 5 cm.
3. A’B’ = 3 × AB = 3 × 2,5 = 7,5 cm.
4. L’homothétie conserve les angles : 40°.

6 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai. Rotation, translation et symétries conservent les longueurs.
2. Faux. Les aires sont multipliées par 2² = 4.
3. Vrai. La translation garde le parallélisme.
4. Vrai. M’ est de l’autre côté de O, à la même distance : O est le milieu de [MM’].
5. Vrai. Les symétries conservent les angles (leur sens change, pas leur mesure).

7 L’horloge ★★★

Une minute correspond à 360° ÷ 60 = 6°.

1. 25 − 10 = 15 minutes : 15 × 6° = 90°.
2. 12 × 6° = 72°.
3. De 35 à 65 minutes (5 minutes de l’heure suivante) : 30 minutes : 30 × 6° = 180° (c’est un demi-tour).

8 Un quart de tour ★★★

Pour un quart de tour horaire autour de O, un déplacement (a droite, b haut) de O vers le point devient (b à droite, a vers le bas).

• P est à 2 à droite, 0 en haut de O : P’ est à 0 à droite, 2 vers le bas : P'(4 ; 3).
• Q : (4 ; 0) devient 0 à droite et 4 vers le bas : Q'(4 ; 1).
• R : (2 ; 3) devient 3 à droite et 2 vers le bas : R'(7 ; 3).

Comme pour toute rotation de centre O, OP’ = OP = 2 carreaux et l’angle POP’ = 90°.

9 Agrandir un triangle ★★★

Depuis O(1 ; 1), A est à (1 ; 2) : A’ est à (2 ; 4), donc A'(3 ; 5). B est à (3 ; 2) : B’ à (6 ; 4), donc B'(7 ; 5). C est à (2 ; 3) : C’ à (4 ; 6), donc C'(5 ; 7).

AB = 2 carreaux et A’B’ = 4 carreaux : A’B’ = 2 × AB. L’aire de ABC est (2 × 1) ÷ 2 = 1 carreau² ; celle de A’B’C’ est (4 × 2) ÷ 2 = 4 carreaux² = 1 × 2². L’aire est multipliée par 4.

10 Un rapport négatif ★★★

Rapport −12 : le point image est de l’autre côté de O, deux fois plus près. Depuis O(6 ; 5) : A est à (−4 ; −2), A’ à (+2 ; +1) : A'(8 ; 6). B est à (−4 ; +2), B’ à (+2 ; −1) : B'(8 ; 4). C est à (−2 ; +2), C’ à (+1 ; −1) : C'(7 ; 4).

Oui, A, O et A’ sont alignés (et O est entre A et A’ puisque k < 0). L’image est une réduction de rapport 12, retournée.

11 Aires et périmètres ★★★

1. 12 m = 1 200 cm et 8 m = 800 cm. Plan : 1 200 ÷ 200 = 6 cm et 800 ÷ 200 = 4 cm.
2. Jardin : 12 × 8 = 96 m². Plan : 6 × 4 = 24 cm².
3. 96 m² = 960 000 cm². (1/200)² = 1/40 000. 960 000 ÷ 40 000 = 24 cm². ✓.

12 Affiche et photo ★★★

1. 15 × 2,4 = 36 cm et 10 × 2,4 = 24 cm.
2. L’aire est multipliée par 2,4² = 5,76. Photo : 15 × 10 = 150 cm². Poster : 36 × 24 = 864 cm². Vérification : 150 × 5,76 = 864 ✓.

13 Homothétie et coordonnées ★★★

On multiplie les deux coordonnées par k.

1. A'(6 ; 9).
2. B'(−4 × (−1,5) ; 2 × (−1,5)) = B'(6 ; −3).
3. C'(2 ; −1).
4. D'(−2 ; 4).

14 Trouver le rapport ★★★

Le rapport vaut k = (abscisse de A’) ÷ (abscisse de A) = x ÷ 4.

1. 10 ÷ 4 = 2,5 (agrandissement).
2. −6 ÷ 4 = −1,5 (A’ de l’autre côté de O).
3. 1 ÷ 4 = 0,25 (réduction).
4. −1 ÷ 4 = −0,25.

15 Deux symétries centrales ★★★

1. M₁ = (2 × 2 − 0 ; 2 × 1 − 3) = (4 ; −1). M₂ = (2 × 5 − 4 ; 2 × 4 − (−1)) = (6 ; 9).
2. De M(0 ; 3) à M₂(6 ; 9), on ajoute (6 ; 6). C’est une translation de 6 vers la droite et 6 vers le haut. Le déplacement de O₁ à O₂ est (3 ; 3) et 6 = 2 × 3 : on retrouve le double.

16 Une frise ★★★

1. De 4 carreaux vers la droite, soit 4 cm.
2. Il y a 8 pas entre le motif 1 et le motif 9 : 8 × 4 = 32 cm.
3. Du motif 5 au motif 2, il y a 3 pas vers la gauche : 3 × 4 = 12 cm vers la gauche.
4. Non : chaque motif est un triangle rectangle avec l’angle droit à gauche. Si on le retourne dans un miroir vertical, l’angle droit passerait à droite, et la frise ne serait pas la même.

17 Pavages réguliers ★★★

1. 360 ÷ 60 = 6 triangles.
2. Carré : 360 ÷ 90 = 4 carrés. Hexagone : 360 ÷ 120 = 3 hexagones.
3. 360 ÷ 108 n’est pas un nombre entier (3,33…). 3 pentagones laisseraient un trou de 360 − 324 = 36°, et 4 se chevaucheraient (432° > 360°). Non, on ne peut pas.
4. Chaque triangle est l’image du précédent par une rotation de 60° autour de O. De T1 à T3 : 2 × 60° = 120° ; de T1 à T4 : 3 × 60° = 180° (c’est alors la symétrie de centre O).

18 Les rotations du carré ★★★

1. Un quart de tour antihoraire envoie A sur B, B sur C, D sur A. A → B ; B → C ; D → A.
2. [AB] a pour image [BC]. De même le carré est envoyé sur lui-même : ABCD → BCDA (le carré est globalement invariant).
3. La rotation de 180° autour de O (ou deux quarts de tour).
4. La rotation envoie A sur B et B sur C : OA = OB = OC (conservation des longueurs), donc AC = BD = 2 × OA. L’angle AOB = 90° : (AC) ⟂ (BD).

19 Homothétie et Thalès ★★★

1. M est sur [AB] du même côté que B : le rapport est positif. k = AM ÷ AB = 3 ÷ 5 = 35 = 0,6.
2. L’homothétie de rapport 0,6 transforme la droite (BC) en une droite parallèle passant par M, c’est (MN) : C a pour image N. Donc MN = 0,6 × BC = 0,6 × 10 = 6 cm.
3. Aire de AMN = 50 × 0,6² = 50 × 0,36 = 18 cm².

20 Un cône réduit ★★★

1. k = 4 ÷ 12 = 13.
2. r’ = 6 × 13 = 2 cm.
3. Grand : V = 13 × π × 6² × 12 = 13 × π × 432 = 144π cm³. Petit, par la formule : 13 × π × 2² × 4 = 163π cm³. Par k³ : 144π × (1/3)³ = 144π ÷ 27 = 163π cm³ ✓. Soit environ 16,8 cm³.

21 Parallélogramme et symétrie centrale ★★★

1. Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu O. O est le milieu de [AC] et de [BD] : l’image de A est C et celle de B est D.
2. L’image du segment [AB] est le segment [CD].
3. La symétrie centrale conserve les longueurs : CD = AB. Elle transforme une droite en une droite parallèle : (CD) // (AB).

22 Passer d’un triangle à un autre ★★★

1. On applique x’ = 10 − x, y’ = 10 − y : A → (9 ; 5), B → (7 ; 5), C → (9 ; 2). T2 a pour sommets (9 ; 5), (7 ; 5) et (9 ; 2).
2. A est le centre : il reste en (1 ; 5). B est à 2 à droite de A, son image est à 2 vers le bas : (1 ; 3). C est à 3 vers le haut de A, son image est à 3 vers la droite : (4 ; 5). T3 a pour sommets (1 ; 5), (1 ; 3) et (4 ; 5).
3. Non. Une translation ne tourne pas : le côté horizontal de longueur 2 de T2 (de (7 ; 5) à (9 ; 5)) deviendrait un côté horizontal. Dans T3, le côté de longueur 2 est vertical ((1 ; 5) à (1 ; 3)) : les deux triangles ne sont pas orientés pareil.