Vecteurs, droites et plans de l’espace : corrigé du contrôle de maths Terminale

1 Vrai ou faux (justifier) / 3 pts

Durée : 55 minutes. Calculatrice non nécessaire.

1. Faux (1 pt). Contre-exemple : dans un cube ABCDEFGH, les droites (AB) et (CG) n’ont aucun point commun et ne sont pas parallèles ; elles sont non coplanaires.
2. Vrai (1 pt). Avec un point A et B, C, D tels que AB⃗ = u⃗, AC⃗ = v⃗, AD⃗ = w⃗, on a AD⃗ = 2AB⃗ − 3AC⃗ : D appartient au plan (ABC) (ou à tout plan contenant A, B, C si ces points sont alignés), donc les vecteurs sont coplanaires.
3. Vrai (1 pt). OA⃗(1 ; 2 ; 3) et OB⃗(−2 ; −4 ; −6) = −2OA⃗ : les vecteurs sont colinéaires, donc O, A, B sont alignés.

2 Décomposition dans un tétraèdre / 4 pts

1. AN⃗ = AC⃗ + CN⃗ = AC⃗ + 23CD⃗ = AC⃗ + 23(AD⃗ − AC⃗) = 13AC⃗ + 23AD⃗. (1 pt)
2. AM⃗ = 12AB⃗, donc MN⃗ = AN⃗ − AM⃗ = −12AB⃗ + 13AC⃗ + 23AD⃗. (1 pt)
3. MP⃗ = AP⃗ − AM⃗ = −AB⃗ + AC⃗ + 2AD⃗ − 12AB⃗ = −32AB⃗ + AC⃗ + 2AD⃗. (1 pt)
4. 3MN⃗ = −32AB⃗ + AC⃗ + 2AD⃗ = MP⃗. Les vecteurs MN⃗ et MP⃗ sont colinéaires : M, N et P sont alignés. (1 pt)

3 Coordonnées dans l’espace / 4 pts

1. AB⃗(2 ; −1 ; 2) et AC⃗(3 ; 1 ; 5). Les coordonnées ne sont pas proportionnelles (2 ÷ 3 ≠ −1 ÷ 1) : non colinéaires. (1 pt)
2. ABCD parallélogramme ⇔ AB⃗ = DC⃗. Avec D(x ; y ; z) : 5 − x = 2, 2 − y = −1, 4 − z = 2, donc D(3 ; 3 ; 2). (1 pt)
3. Milieu de [AC] : (72 ; 32 ; 32). Milieu de [BD] : ((4 + 3) ÷ 2 ; (0 + 3) ÷ 2 ; (1 + 2) ÷ 2) = (72 ; 32 ; 32). Ils sont égaux : le centre du parallélogramme est (72 ; 32 ; 32). (1 pt)
4. AE⃗(1 ; −3 ; −1). On teste AE⃗ = αAB⃗ + βAC⃗ : 2α + 3β = 1 ; −α + β = −3 ; 2α + 5β = −1. Avec α = 2 et β = −1 : 4 − 3 = 1 ✓, −2 − 1 = −3 ✓, 4 − 5 = −1 ✓. Donc AE⃗ = 2AB⃗ − AC⃗ : E appartient au plan (ABC). (1 pt)

4 Droites et représentations paramétriques / 4 pts

1. AB⃗(2 ; −4 ; 1). Une représentation de (AB) est x = 1 + 2t ; y = 2 − 4t ; z = −1 + t (t ∈ ℝ). (1 pt)
2. Pour C : x = −3 donne t = −2 ; alors y = 2 + 8 = 10 et z = −1 − 2 = −3 : C ∈ (AB). Pour D : x = 5 donne t = 2 ; alors y = 2 − 8 = −6 mais z = −1 + 2 = 1 ≠ 2 : D ∉ (AB). (1 pt)
3. Les vecteurs directeurs (2 ; −4 ; 1) et (1 ; 1 ; 1) ne sont pas colinéaires (0,5 pt). On résout 1 + 2t = 4 + s ; 2 − 4t = −7 + s ; −1 + t = s. La troisième équation donne s = t − 1 ; la première devient 1 + 2t = 3 + t, donc t = 2 et s = 1 ; la deuxième est vérifiée : 2 − 8 = −6 = −7 + 1 ✓ (1 pt). Les droites sont sécantes au point de coordonnées (5 ; −6 ; 1) (0,5 pt).

5 Positions relatives dans un cube / 3 pts

1. BDHF est un rectangle, donc (BD) // (FH). Or (FH) est incluse dans le plan (EFG) (c’est une diagonale de la face EFGH) : (BD) est parallèle à (EFG). Comme B n’est pas dans ce plan, la droite est strictement parallèle au plan. (1 pt)
2. ACGE est un rectangle : (AC) // (EG). ABGH est un rectangle : (AH) // (BG). Les droites sécantes (AC) et (AH) de (ACH) sont parallèles aux droites sécantes (EG) et (BG) de (BEG) : les plans sont parallèles. (1 pt)
3. Les deux plans contiennent O (milieu de [AC] et de [BD]) et O′ (milieu de [EG] et de [FH]). Ils sont distincts (B n’est pas dans (ACG)), donc leur intersection est la droite (OO′). (1 pt)

6 Base de l’espace / 2 pts

1. u⃗ et v⃗ ne sont pas colinéaires. Si w⃗ = αu⃗ + βv⃗, alors α + 2β = 1, β = 2 et α = −1. Les deux premières équations donnent α = −3, ce qui contredit α = −1 : aucun couple ne convient. Les vecteurs sont non coplanaires : c’est une base. (1 pt)
2. On cherche a, b, c tels que t⃗ = au⃗ + bv⃗ + cw⃗ : a + 2b + c = 3, b + 2c = 3, a − c = −1. Alors a = c − 1, puis 2b + 2c = 4 donc b = 2 − c ; la deuxième équation donne 2 − c + 2c = 3, soit c = 1, b = 1, a = 0. Donc t⃗ = v⃗ + w⃗, de coordonnées (0 ; 1 ; 1). Vérification : (2 + 1 ; 1 + 2 ; 0 − 1) = (3 ; 3 ; −1) ✓. (1 pt)