Vecteurs, droites et plans de l’espace : corrigé des exercices de maths Terminale

1 Vecteurs égaux dans un cube ★★★

1. Faux. EFGH est un carré, donc EF⃗ = HG⃗ ; or GH⃗ est l’opposé de HG⃗, donc GH⃗ = −AB⃗. Les deux vecteurs ont même direction mais des sens contraires.
2. Vrai. ACGE est un rectangle (AE et CG sont parallèles et de même longueur), donc AC⃗ = EG⃗.
3. Faux. BDHF est un rectangle, donc BD⃗ = FH⃗. Comme HF⃗ = −FH⃗, on obtient HF⃗ = −BD⃗ : les vecteurs sont opposés.
4. Vrai. AFGD est un rectangle (AD et FG sont parallèles et de même longueur), donc AF⃗ = DG⃗.
5. Faux. (AG) et (CE) sont deux diagonales différentes du cube : elles se coupent au centre du cube et n’ont pas la même direction, donc AG⃗ ≠ CE⃗.

2 Simplifier des sommes de vecteurs ★★★

1. Par la relation de Chasles : AB⃗ + BC⃗ + CG⃗ = AC⃗ + CG⃗ = AG⃗.
2. Comme EFGH est un carré et ABCD aussi, HG⃗ = DC⃗. Donc AD⃗ + HG⃗ = AD⃗ + DC⃗ = AC⃗.
3. AG⃗ − AC⃗ = AG⃗ + CA⃗ = CA⃗ + AG⃗ = CG⃗.
4. EF⃗ + FG⃗ = EG⃗, puis EG⃗ + GC⃗ = EC⃗.

3 Coordonnées dans le repère du cube ★★★

1. Les coordonnées se lisent avec AC⃗ = AB⃗ + AD⃗, etc. : C(1 ; 1 ; 0), F(1 ; 0 ; 1), G(1 ; 1 ; 1) et H(0 ; 1 ; 1).
2. Un milieu a pour coordonnées les moyennes de celles des extrémités.
   O milieu de [AC] avec A(0 ; 0 ; 0) et C(1 ; 1 ; 0) : O(12 ; 12 ; 0).
   I milieu de [EG] avec E(0 ; 0 ; 1) et G(1 ; 1 ; 1) : I(12 ; 12 ; 1).
   J milieu de [BF] avec B(1 ; 0 ; 0) et F(1 ; 0 ; 1) : J(1 ; 0 ; 12).
   Ω milieu de [AG] : Ω(12 ; 12 ; 12).
3. IJ⃗ a pour coordonnées (1 − 12 ; 0 − 12 ; 12 − 1), soit (12 ; −12 ; −12).

4 Coordonnées de vecteurs et de points ★★★

1. AB⃗(3 − 1 ; −1 − 2 ; 0 − (−1)) = (2 ; −3 ; 1) ; AC⃗(−2 − 1 ; 4 − 2 ; 5 − (−1)) = (−3 ; 2 ; 6) ; BC⃗(−2 − 3 ; 4 − (−1) ; 5 − 0) = (−5 ; 5 ; 5).
2. 2AB⃗ − AC⃗ = (4 − (−3) ; −6 − 2 ; 2 − 6) = (7 ; −8 ; −4).
3. M a pour coordonnées : on calcule (3 + (−2)) ÷ 2 = 12, (−1 + 4) ÷ 2 = 32 et (0 + 5) ÷ 2 = 52. Donc M(12 ; 32 ; 52).
4. ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB⃗ = DC⃗. Avec D(x ; y ; z), DC⃗(−2 − x ; 4 − y ; 5 − z) = (2 ; −3 ; 1). On en tire x = −4, y = 7, z = 4 : D(−4 ; 7 ; 4).

5 Colinéarité et alignement ★★★

1. On cherche si les coordonnées sont proportionnelles. v⃗ = −12u⃗ car (−12 × 2 ; −12 × (−4) ; −12 × 6) = (−1 ; 2 ; −3) : u⃗ et v⃗ sont colinéaires. De même t⃗ = 12u⃗, donc t⃗ est colinéaire à u⃗ et à v⃗. En revanche w⃗ n’est colinéaire à aucun autre : 3 ÷ 2 = 32 mais 1 ÷ (−4) = −14, les rapports sont différents.
2. AB⃗(2 ; 1 ; −1) et AC⃗(6 ; 3 ; −3) = 3AB⃗ : les vecteurs sont colinéaires donc A, B, C sont alignés. Pour D : AD⃗(4 ; 2 ; 1). Les rapports 4 ÷ 2 = 2 et 2 ÷ 1 = 2 sont égaux, mais 1 ÷ (−1) = −1 : AD⃗ et AB⃗ ne sont pas colinéaires, donc A, B, D ne sont pas alignés.

6 Représentations paramétriques ★★★

1. AB⃗(3 ; 2 ; −3) est un vecteur directeur de (AB). Avec le point A : x = 2 + 3t ; y = −1 + 2t ; z = 3 − 3t (t ∈ ℝ).
2. x = t ; y = 4 − 3t ; z = −2 + 2t (t ∈ ℝ).
3. Pour P et (AB) : x = −1 donne 2 + 3t = −1, donc t = −1 ; alors y = −1 − 2 = −3 et z = 3 + 3 = 6 : P ∈ (AB).
   Pour M et d : x = 3 donne t = 3 ; alors y = 4 − 9 = −5 mais z = −2 + 6 = 4 ≠ 2 : M ∉ d.
   Pour N : x = −2 donne t = −2 ; alors y = 4 + 6 = 10 et z = −2 − 4 = −6 : N ∈ d.

7 Positions relatives dans un cube ★★★

1. ABGH est un rectangle : (AB) et (GH) sont dans le plan (ABG) et parallèles. Elles sont strictement parallèles.
2. AD ∥ BC ∥ FG et les droites sont distinctes : strictement parallèles.
3. (AB) est horizontale, (CG) est verticale et elles ne se coupent pas. Il n’existe aucun plan contenant les deux (les vecteurs AB⃗, AC⃗ et CG⃗ ne sont pas coplanaires) : elles sont non coplanaires.
4. (AC) et (BD) sont les diagonales du carré ABCD : elles sont sécantes au centre du carré.
5. (AB) est parallèle à (EF), qui est incluse dans le plan (EFG), et A n’est pas dans ce plan : la droite est strictement parallèle au plan.
6. (EC) coupe le plan (ABC) en C et n’est pas incluse dans ce plan (E n’y est pas) : elles sont sécantes en C.
7. Les faces opposées ABFE et DCGH sont dans deux plans strictement parallèles.
8. Les deux plans contiennent le milieu O de [AC] et [BD], et ne sont pas confondus (B n’est pas dans (ACG)) : ils sont sécants selon la droite (OO′) où O′ est le centre de la face EFGH.

8 Décomposer dans la base du cube ★★★

• AG⃗ = AC⃗ + CG⃗ = AB⃗ + AD⃗ + AE⃗ = u⃗ + v⃗ + w⃗.
• BH⃗ = BA⃗ + AH⃗ = −AB⃗ + (AD⃗ + DH⃗) = −u⃗ + v⃗ + w⃗ car DH⃗ = AE⃗.
• EC⃗ = EA⃗ + AC⃗ = −AE⃗ + AB⃗ + AD⃗ = u⃗ + v⃗ − w⃗.
• DF⃗ = DA⃗ + AF⃗ = −AD⃗ + (AB⃗ + BF⃗) = u⃗ − v⃗ + w⃗ car BF⃗ = AE⃗.
• K est le milieu de [EG] et L celui de [BG], donc KL⃗ = KG⃗ + GL⃗ = 12EG⃗ + 12GB⃗. Or EG⃗ = AC⃗ = u⃗ + v⃗ et GB⃗ = GC⃗ + CB⃗ = −w⃗ − v⃗. Donc KL⃗ = 12(u⃗ + v⃗) + 12(−v⃗ − w⃗) = 12u⃗ − 12w⃗.

Vérification avec les coordonnées dans le repère (A ; u⃗, v⃗, w⃗) : K(12 ; 12 ; 1) et L(1 ; 12 ; 12) donnent KL⃗(12 ; 0 ; −12), ce qui concorde.

9 Milieux et centre d’un tétraèdre ★★★

1. I est le milieu de [AB] : AI⃗ = 12AB⃗. J est le milieu de [CD] : AJ⃗ = 12(AC⃗ + AD⃗), c’est-à-dire AJ⃗ = 12AC⃗ + 12AD⃗.
2. K est le milieu de [IJ] donc AK⃗ = 12(AI⃗ + AJ⃗) = 12(12AB⃗ + 12AC⃗ + 12AD⃗) = 14(AB⃗ + AC⃗ + AD⃗).
3. AM⃗ = 12AC⃗ et AN⃗ = 12(AB⃗ + AD⃗). Soit T le milieu de [MN] : AT⃗ = 12(AM⃗ + AN⃗) = 12(12AB⃗ + 12AC⃗ + 12AD⃗) = 14(AB⃗ + AC⃗ + AD⃗) = AK⃗. Les points T et K ont donc le même vecteur position depuis A : T = K. Les segments [IJ] et [MN] ont le même milieu K.

Remarque : K est le centre de gravité du tétraèdre ; les trois segments joignant les milieux des arêtes opposées s’y croisent.

10 Quatre points sont-ils coplanaires ? ★★★

1. AB⃗(1 ; 1 ; −2) et AC⃗(−1 ; 3 ; −1). Les coordonnées ne sont pas proportionnelles (1 ÷ (−1) = −1 mais 1 ÷ 3 = 13) : A, B, C ne sont pas alignés et définissent un plan.
2. AD⃗(3 ; −1 ; −3). On cherche α et β tels que AD⃗ = αAB⃗ + βAC⃗ : α − β = 3, α + 3β = −1, −2α − β = −3. En soustrayant les deux premières équations : 4β = −4, donc β = −1 et α = 2. Vérification avec la troisième : −2 × 2 − (−1) = −3 ✓. Donc AD⃗ = 2AB⃗ − AC⃗ : A, B, C, D sont coplanaires.
3. AE⃗(−1 ; 0 ; −2). Le système α − β = −1, α + 3β = 0, −2α − β = −2 donne avec les deux premières β = 14 et α = −34. La troisième équation devient −2 × (−34) − 14 = 54 ≠ −2. Le système n’a pas de solution : A, B, C, E ne sont pas coplanaires.

11 Droites parallèles ou confondues ? ★★★

Un vecteur directeur de d est u⃗(1 ; −2 ; 1).

d et d₁. u⃗₁(−2 ; 4 ; −2) = −2u⃗ : les vecteurs directeurs sont colinéaires, donc les droites sont parallèles. Le point (5 ; −5 ; 2) de d₁ (s = 0) est-il sur d ? x = 5 donne t = 3, puis y = 1 − 6 = −5 et z = −1 + 3 = 2 : oui. Les droites ont un point commun et sont parallèles : elles sont confondues.

d et d₂. u⃗₂(2 ; −4 ; 2) = 2u⃗ : droites parallèles. Le point O(0 ; 0 ; 0) de d₂ est-il sur d ? x = 0 donne 2 + t = 0, donc t = −2 ; alors y = 1 + 4 = 5 ≠ 0. Donc O ∉ d : les droites sont strictement parallèles.

12 Droites sécantes : point d’intersection ★★★

Les vecteurs directeurs u⃗₁(1 ; −1 ; 2) et u⃗₂(2 ; −2 ; 2) ne sont pas colinéaires (1 ÷ 2 = 12 mais 2 ÷ 2 = 1), donc les droites ne sont pas parallèles.

On cherche t et s tels que 1 + t = 1 + 2s ; 2 − t = 2 − 2s ; 3 + 2t = 5 + 2s.

La première équation donne t = 2s (la deuxième aussi). La troisième devient 3 + 4s = 5 + 2s, donc s = 1 puis t = 2. Le système a une solution unique : les droites sont sécantes.

Pour t = 2, on obtient (1 + 2 ; 2 − 2 ; 3 + 4) = (3 ; 0 ; 7). Avec s = 1 : (1 + 2 ; 2 − 2 ; 5 + 2) = (3 ; 0 ; 7) ✓. Le point d’intersection est (3 ; 0 ; 7).

13 Deux plans parallèles dans un cube ★★★

Le plan (AFH) est dirigé par AF⃗ et AH⃗, le plan (BDG) par BG⃗ et DG⃗.

ABGH est un rectangle, donc AH⃗ = BG⃗ : (AH) // (BG). De même AFGD est un rectangle, donc AF⃗ = DG⃗ : (AF) // (DG).

Les droites (AF) et (AH) sont sécantes en A et ne sont pas confondues ; elles sont parallèles respectivement à (DG) et (BG), qui sont sécantes en G. Deux droites sécantes de (AFH) sont parallèles à deux droites sécantes de (BDG) : les plans (AFH) et (BDG) sont parallèles. Ils sont de plus distincts, car A n’appartient pas à (BDG).

14 Théorème du toit dans une pyramide ★★★

1. Les plans (SAB) et (SCD) ont en commun le point S. Ils ne sont pas confondus : le point C n’appartient pas au plan (SAB), sinon la pyramide serait aplatie. Ils sont donc sécants selon une droite Δ passant par S.
2. La droite (AB) est incluse dans (SAB) et (CD) dans (SCD). Comme ABCD est un parallélogramme, (AB) // (CD). Par le théorème du toit, la droite Δ est parallèle à (AB) et à (CD). C’est la parallèle à (AB) passant par S.
3. De même, (AD) ⊂ (SAD), (BC) ⊂ (SBC) et (AD) // (BC) : l’intersection de (SAD) et (SBC) est la parallèle à (AD) passant par S.

15 Un parallélogramme caché dans un tétraèdre ★★★

1. IJ⃗ = IA⃗ + AJ⃗ = −12AB⃗ + 12AC⃗ = 12(AC⃗ − AB⃗) = 12(AC⃗ + BA⃗) = 12BC⃗ (car BA⃗ + AC⃗ = BC⃗).
2. KL⃗ = KD⃗ + DL⃗ = 12BD⃗ + 12DC⃗ = 12(BD⃗ + DC⃗) = 12BC⃗.
3. Comme IJ⃗ = KL⃗, IJLK est un parallélogramme (éventuellement aplati, mais ici les points ne sont pas alignés). En particulier I, J, K, L sont coplanaires.
4. IJ⃗ = 12BC⃗ donc (IJ) est parallèle à (BC), qui est incluse dans le plan (BCD). La droite (IJ) n’est pas incluse dans (BCD) car I n’y appartient pas : elle est strictement parallèle au plan (BCD).

16 Une relation dans la pyramide ★★★

1. On écrit SA⃗ + SC⃗ − SB⃗ − SD⃗ = (SA⃗ − SB⃗) + (SC⃗ − SD⃗) = BA⃗ + DC⃗. Or ABCD est un parallélogramme : AB⃗ = DC⃗, donc BA⃗ = −DC⃗. La somme vaut 0⃗ : SA⃗ + SC⃗ = SB⃗ + SD⃗.
2. O est le milieu de la diagonale [AC] : SA⃗ + SC⃗ = 2SO⃗ (relation du milieu, valable pour tout point S). Donc SA⃗ + SC⃗ = 2SO⃗, et par la question précédente, SB⃗ + SD⃗ = 2SO⃗ aussi, ce qui confirme que O est le milieu de [BD].

17 Intersection avec les plans de coordonnées ★★★

AB⃗(2 ; 2 ; −4) donc (AB) : x = 2 + 2t ; y = −1 + 2t ; z = 1 − 4t (t ∈ ℝ).

• Plan (xOy) : z = 0, donc 1 − 4t = 0 et t = 14. Alors x = 52 et y = −12 : le point est (52 ; −12 ; 0).
• Plan (yOz) : x = 0, donc 2 + 2t = 0 et t = −1. Alors y = −3 et z = 5 : le point est (0 ; −3 ; 5).
• Plan (xOz) : y = 0, donc −1 + 2t = 0 et t = 12. Alors x = 3 et z = −1 : le point est (3 ; 0 ; −1).

18 Deux droites non coplanaires ★★★

Les vecteurs directeurs u⃗(1 ; 1 ; −1) et u′⃗(1 ; 2 ; 1) ne sont pas colinéaires (1 ÷ 1 = 1 mais 1 ÷ 2 = 12) : les droites ne sont ni parallèles ni confondues.

Cherchons un éventuel point commun : t = 1 + s ; 1 + t = 2s ; 2 − t = 1 + s. En remplaçant t par 1 + s dans la deuxième équation : 2 + s = 2s, donc s = 2 et t = 3. La troisième équation donne alors 2 − 3 = −1 au premier membre et 1 + 2 = 3 au second : −1 ≠ 3. Le système n’a pas de solution : d et d′ n’ont aucun point commun.

Deux droites sans point commun et non parallèles ne sont pas coplanaires (deux droites coplanaires seraient sécantes, parallèles ou confondues) : d et d′ sont non coplanaires.

19 Droite et plan : intersection ★★★

1. Les coordonnées de u⃗ et v⃗ ne sont pas proportionnelles (la première coordonnée de v⃗ est nulle alors que celle de u⃗ ne l’est pas) : ils ne sont pas colinéaires. M ∈ 𝒫 ⇔ AM⃗ = αu⃗ + βv⃗ ⇔ x − 1 = α ; y = α + β ; z = β.
2. Pour M(−1 + 3t ; 5 − 2t ; 2t) ∈ d : α = 3t − 2, β = 2t et α + β = 5 − 2t. La troisième relation donne 3t − 2 + 2t = 5 − 2t, soit 7t = 7 et t = 1. Alors α = 1 et β = 2 : le système a une solution unique, donc d coupe 𝒫 en un seul point, obtenu pour t = 1 : (2 ; 3 ; 2). Vérification : 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, β = 2 ✓.
3. Le vecteur directeur de d′ est u′⃗(1 ; 2 ; 1) = u⃗ + v⃗ : il est combinaison linéaire des vecteurs directeurs de 𝒫, donc d′ est parallèle à 𝒫. Il reste à voir si d′ est incluse : le point (0 ; 0 ; 2) de d′ (t = 0) est dans 𝒫 si α = −1, β = 2 et α + β = 0. Or α + β = 1 ≠ 0. Ce point n’est pas dans 𝒫 : d′ est strictement parallèle à 𝒫.

20 Quatre milieux sont-ils coplanaires ? ★★★

1. I(1 ; 12 ; 0), J(1 ; 0 ; 12), K(12 ; 0 ; 1), L(0 ; 12 ; 1).
2. IJ⃗(0 ; −12 ; 12), IK⃗(−12 ; −12 ; 1) et IL⃗(−1 ; 0 ; 1). Alors 2IK⃗ − 2IJ⃗ = (−1 − 0 ; −1 + 1 ; 2 − 1) = (−1 ; 0 ; 1) = IL⃗ ✓.
3. IJ⃗ et IK⃗ ne sont pas colinéaires (la première coordonnée de IJ⃗ est nulle alors que celle de IK⃗ ne l’est pas, et IJ⃗ n’est pas le vecteur nul), donc I, J, K définissent un plan, et IL⃗ = 2IK⃗ − 2IJ⃗ est combinaison linéaire de IJ⃗ et IK⃗ : L appartient à (IJK), donc I, J, K, L sont coplanaires.
4. ID⃗(−1 ; 12 ; 0). On cherche α et β avec ID⃗ = αIK⃗ + βIJ⃗ : −12α = −1 donne α = 2 ; −12α − 12β = 12 donne −1 − 12β = 12, donc β = −3 ; troisième équation : α + 12β = 2 − 32 = 12 ≠ 0. Pas de solution : D n’appartient pas au plan (IJK).

21 Le centre de gravité d’un tétraèdre ★★★

1. Par Chasles, A′B⃗ = A′A⃗ + AB⃗, A′C⃗ = A′A⃗ + AC⃗ et A′D⃗ = A′A⃗ + AD⃗. En additionnant : 0⃗ = 3A′A⃗ + AB⃗ + AC⃗ + AD⃗, donc 3AA′⃗ = AB⃗ + AC⃗ + AD⃗, soit AA′⃗ = 13(AB⃗ + AC⃗ + AD⃗).
2. On a AB⃗ + AC⃗ + AD⃗ = 3AA′⃗, donc AG⃗ = 14 × 3AA′⃗ = 34AA′⃗. Les vecteurs sont colinéaires avec un coefficient compris entre 0 et 1 : G est sur le segment [AA′] et AG = 34AA′.
3. De la même manière, BB′⃗ = 13(BA⃗ + BC⃗ + BD⃗). Or BC⃗ = BA⃗ + AC⃗ et BD⃗ = BA⃗ + AD⃗, donc BB′⃗ = 13(3BA⃗ + AC⃗ + AD⃗). D’autre part BG⃗ = BA⃗ + AG⃗ = BA⃗ + 14(AB⃗ + AC⃗ + AD⃗) = BA⃗ − 14BA⃗ + 14AC⃗ + 14AD⃗ = 14(3BA⃗ + AC⃗ + AD⃗). Ainsi BG⃗ = 34BB′⃗ : G est sur [BB′]. Par symétrie, G est aussi sur [CC′] et [DD′]. Les quatre médianes du tétraèdre sont concourantes en G, situé aux 34 de chacune depuis le sommet.

22 Base de l’espace et coordonnées ★★★

1. u⃗ et v⃗ ne sont pas colinéaires. Supposons w⃗ = αu⃗ + βv⃗ : on obtient 1 = α, 0 = 2α + β et 2 = β. La première équation donne α = 1, la deuxième β = −2, ce qui contredit la troisième (β = 2). Le système n’a pas de solution : w⃗ n’est pas combinaison linéaire de u⃗ et v⃗. Les trois vecteurs ne sont pas coplanaires : (u⃗, v⃗, w⃗) est une base.
2. On cherche a, b, c tels que t⃗ = au⃗ + bv⃗ + cw⃗ : a + c = 3, 2a + b = 3, b + 2c = 5. De la première, a = 3 − c. La deuxième devient 6 − 2c + b = 3, soit b = 2c − 3. La troisième : 2c − 3 + 2c = 5, donc c = 2, puis b = 1 et a = 1. Vérification : u⃗ + v⃗ + 2w⃗ = (1 + 0 + 2 ; 2 + 1 + 0 ; 0 + 1 + 4) = (3 ; 3 ; 5) ✓. Donc t⃗ = u⃗ + v⃗ + 2w⃗, de coordonnées (1 ; 1 ; 2) dans la base (u⃗, v⃗, w⃗).

23 Les diagonales d’un parallélépipède ★★★

1. AG⃗ = AB⃗ + AD⃗ + AE⃗ = u⃗ + v⃗ + w⃗.
   BH⃗ = BA⃗ + AD⃗ + DH⃗ = −u⃗ + v⃗ + w⃗ (car DH⃗ = AE⃗).
   CE⃗ = CA⃗ + AE⃗ = −AB⃗ − AD⃗ + AE⃗ = −u⃗ − v⃗ + w⃗ (car CA⃗ = −AC⃗ = −AB⃗ − AD⃗).
   DF⃗ = DA⃗ + AB⃗ + BF⃗ = u⃗ − v⃗ + w⃗.
2. M milieu de [AG] : AM⃗ = 12AG⃗ = 12u⃗ + 12v⃗ + 12w⃗.
   Milieu N de [BH] : AN⃗ = AB⃗ + 12BH⃗ = u⃗ + 12(−u⃗ + v⃗ + w⃗) = 12u⃗ + 12v⃗ + 12w⃗ = AM⃗.
   Milieu P de [CE] : AP⃗ = AC⃗ + 12CE⃗ = u⃗ + v⃗ + 12(−u⃗ − v⃗ + w⃗) = 12u⃗ + 12v⃗ + 12w⃗ = AM⃗.
   Milieu Q de [DF] : AQ⃗ = AD⃗ + 12DF⃗ = v⃗ + 12(u⃗ − v⃗ + w⃗) = 12u⃗ + 12v⃗ + 12w⃗ = AM⃗.
   Les quatre milieux ont le même vecteur position depuis A : les quatre diagonales du parallélépipède se coupent en leur milieu commun M, le centre du solide.

24 Section d’un cube par un plan ★★★

1. I(12 ; 0 ; 1), J(1 ; 12 ; 1), K(1 ; 1 ; 12). IJ⃗(12 ; 12 ; 0) et IK⃗(12 ; 1 ; −12). Ces coordonnées ne sont pas proportionnelles (la troisième de IJ⃗ est nulle, pas celle de IK⃗) : I, J, K ne sont pas alignés, ils définissent bien un plan.
2. On a L(12 ; 1 ; 0), M(0 ; 12 ; 0), N(0 ; 0 ; 12).
   IL⃗(0 ; 1 ; −1) : on cherche IL⃗ = αIJ⃗ + βIK⃗. La troisième coordonnée donne −12β = −1, donc β = 2 ; la première donne 12α + 1 = 0, donc α = −2 ; la deuxième : on vérifie : −2 × 12 + 2 × 1 = 1 ✓. Donc IL⃗ = −2IJ⃗ + 2IK⃗.
   IM⃗(−12 ; 12 ; −1) : β = 2, puis 12α + 1 = −12 donne α = −3 ; deuxième coordonnée : −3 × 12 + 2 × 1 = 12 ✓. Donc IM⃗ = −3IJ⃗ + 2IK⃗.
   IN⃗(−12 ; 0 ; −12) : β = 1, puis 12α + 12 = −12 donne α = −2 ; deuxième coordonnée : −2 × 12 + 1 = 0 ✓. Donc IN⃗ = −2IJ⃗ + IK⃗.
   Dans chaque cas, le vecteur est combinaison linéaire de IJ⃗ et IK⃗ : L, M, N appartiennent à (IJK).
3. Les points I, J, K, L, M, N sont les milieux de six arêtes du cube. Deux d’entre eux sur une même face se joignent par un segment : I et J (face EFGH), J et K (face BCGF), K et L (face CDHG), L et M (face ABCD), M et N (face ADHE), N et I (face ABFE). La section est l’hexagone IJKLMN.