Corrigé détaillé des exercices du chapitre. Vérifie tes réponses étape par étape et corrige-toi.
1 Équation ou pas ? ★★★
- C’est une équation, d’inconnue x.
- Il n’y a pas de lettre : c’est une égalité numérique (vraie), pas une équation.
- Il n’y a pas de signe = : c’est une expression, pas une équation.
- C’est une équation d’inconnue y.
- C’est une équation d’inconnue t.
2 Tester une égalité ★★★
- 3 × 4 + 5 = 17 : égalité vraie.
- Gauche : 5 × 2 − 3 = 7. Droite : 2 × 2 + 3 = 7. Vraie.
- Gauche : 2 × (−1) + 7 = 5. Droite : 4 × (−1) + 3 = −1. 5 ≠ −1 : fausse.
- Gauche : 3 × (5 + 2) = 21. Droite : 5 × 5 − 4 = 21. Vraie.
3 Chercher une solution dans un tableau ★★★
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 2x + 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 |
On trouve 11 pour x = 4. La solution est 4. (On peut le confirmer en résolvant : 2x = 8, donc x = 4.)
4 Équations du type x + a = b ★★★
a. x = 12 − 7 = 5. b. x = 9 + 4 = 13. c. y = 8 − 3,5 = 4,5. d. t = −2 + 6 = 4. e. x = 2 − 5 = −3.
5 Équations du type ax = b ★★★
a. x = 28 ÷ 4 = 7. b. y = −18 ÷ 3 = −6. c. z = 14 ÷ (−2) = −7. d. x = 25 = 0,4. e. t = 3 ÷ 0,5 = 6.
6 Équations avec une division ★★★
On multiplie les deux membres par le dénominateur. a. x = 3 × 4 = 12. b. y = −2 × 5 = −10. c. t = 1,5 × 3 = 4,5. d. x = 0,5 × 6 = 3.
7 Traduire puis résoudre ★★★
- 3x + 4 = 19, donc 3x = 15, donc x = 5.
- x − 12 = −3, donc x = −3 + 12 = 9.
- x2 = 8, donc x = 8 × 2 = 16.
8 Vrai ou faux ? Justifie ★★★
- Faux : on divise les deux membres par 2, donc x = 5 (et 2 × 20 = 40 ≠ 10).
- Vrai : 4 × (−3) + 5 = −12 + 5 = −7.
- Vrai : 3 × 0 + 1 = 1.
- Faux : pour x = 1, on obtient 6 à gauche et 8 à droite.
9 Équations du type ax + b = c ★★★
a. 3x = 15, donc x = 5. b. 4x = 16, donc x = 4. c. 2x = 1 − 9 = −8, donc x = −4. d. −2x = 11 − 5 = 6, donc x = −3. e. −x = 2,5 − 6 = −3,5, donc x = 3,5. f. 0,5x = 3, donc x = 3 ÷ 0,5 = 6.
Vérification de d. : 5 − 2 × (−3) = 5 + 6 = 11. ✓
10 L’inconnue des deux côtés ★★★
a. 5x − 2x = 18 − 3, donc 3x = 15, donc x = 5.
b. 7x − 3x = 12 + 4, donc 4x = 16, donc x = 4.
c. 9x − 4x = −14 − 1, donc 5x = −15, donc x = −3.
d. 8 + 7 = 3x + 2x, donc 15 = 5x, donc x = 3.
e. 7 + 5 = 3x − 2x, donc x = 12. (Vérification : 2 × 12 + 7 = 31 et 3 × 12 − 5 = 31.)
11 Avec des parenthèses ★★★
a. 3x + 12 = 2x + 19, donc x = 19 − 12 = 7.
b. 10x − 5 = 4x + 13, donc 6x = 18, donc x = 3.
c. 4x − 8 = 7x + 7, donc −8 − 7 = 7x − 4x, donc −15 = 3x, donc x = −5.
d. 6x + 2 − x + 4 = 21 (le signe − change les signes), donc 5x + 6 = 21, donc 5x = 15, donc x = 3.
Vérification de c. : 4 × (−7) = −28 et 7 × (−4) = −28. ✓
12 Solutions fractionnaires ★★★
a. x = 34.
b. 6x = 1, donc x = 16.
c. 8x − 5x = 8 − 3, donc 3x = 5, donc x = 53.
d. 10x − 4x = −1 + 3, donc 6x = 2, donc x = 26 = 13.
Vérification de d. : 10 × 13 − 3 = 103 − 93 = 13 et 4 × 13 − 1 = 43 − 33 = 13. ✓
13 Trouve l’erreur ★★★
- Pour passer le « −4 » de l’autre côté, il faut ajouter 4 aux deux membres : on obtient 8 + 4 et non 8 − 4.
- 5x − 2x = 8 + 4, donc 3x = 12, donc x = 4. Vérification : 5 × 4 − 4 = 16 et 2 × 4 + 8 = 16. ✓
14 Deux programmes de calcul ★★★
Soit x le nombre choisi. Alice obtient 5x + 4 et Bastien 3x + 10. On résout 5x + 4 = 3x + 10.
5x − 3x = 10 − 4, donc 2x = 6, donc x = 3.
Vérification : 5 × 3 + 4 = 19 et 3 × 3 + 10 = 19. Ils ont choisi le nombre 3.
15 Le périmètre du rectangle ★★★
- Le périmètre est 2 × (longueur + largeur) : 2 × (x + 5 + x) = 38, soit 2(2x + 5) = 38.
- 4x + 10 = 38, donc 4x = 28, donc x = 7.
- La largeur est 7 cm et la longueur 7 + 5 = 12 cm. Vérification : 2 × (12 + 7) = 38. ✓
16 Âge du père et du fils ★★★
Soit x l’âge du fils aujourd’hui (en années). Le père a x + 30 ans. Dans 5 ans : le fils aura x + 5 ans et le père x + 35 ans.
Équation : x + 35 = 3(x + 5), soit x + 35 = 3x + 15. Donc 35 − 15 = 3x − x, 20 = 2x, x = 10.
Vérification : dans 5 ans, le fils aura 15 ans et le père 45 ans, et 45 = 3 × 15. ✓
Le fils a 10 ans et le père a 40 ans.
17 Deux salles de sport ★★★
- Soit x le nombre de séances. Prix en A : 12x. Prix en B : 30 + 6x. On résout 12x = 30 + 6x : 12x − 6x = 30, donc 6x = 30, donc x = 5. Pour 5 séances, les deux salles coûtent 60 €.
- Pour 8 séances : A coûte 12 × 8 = 96 € ; B coûte 30 + 6 × 8 = 78 €. La salle B est la moins chère.
18 Trois entiers consécutifs ★★★
Soit x le plus petit. Les trois nombres sont x, x + 1 et x + 2. Équation : x + (x + 1) + (x + 2) = 126, soit 3x + 3 = 126.
3x = 123, donc x = 41.
Vérification : 41 + 42 + 43 = 126. ✓ Les nombres sont 41, 42 et 43.
19 La tirelire ★★★
Soit x le nombre de pièces de 1 €. Il y a donc 18 − x pièces de 0,50 €.
Équation : 1 × x + 0,5 × (18 − x) = 12,5, soit x + 9 − 0,5x = 12,5. Donc 0,5x = 3,5, donc x = 7.
Vérification : 7 pièces de 1 € (7 €) et 11 pièces de 0,50 € (5,50 €) : 7 + 5,5 = 12,5 €. ✓
Il y a 7 pièces de 1 € et 11 pièces de 0,50 €.
20 La ficelle coupée ★★★
Soit x la longueur du plus court, en cm. Le plus long mesure 2x + 15.
Équation : x + 2x + 15 = 90, donc 3x = 75, donc x = 25.
Le plus long mesure 2 × 25 + 15 = 65 cm. Vérification : 25 + 65 = 90. ✓ Les morceaux mesurent 25 cm et 65 cm.
21 Un nombre mystère ★★★
Soit x le nombre. On résout 4x − 7 = 3x + 2.
4x − 3x = 2 + 7, donc x = 9.
Vérification : 4 × 9 − 7 = 29 et 3 × 9 + 2 = 29. ✓ Le nombre est 9.
22 Le triangle isocèle ★★★
- Périmètre : AB + AC + BC = 41, soit (2x + 1) + (2x + 1) + (x + 4) = 41, donc 5x + 6 = 41.
- 5x = 35, donc x = 7. Alors AB = AC = 2 × 7 + 1 = 15 cm et BC = 7 + 4 = 11 cm. Vérification : 15 + 15 + 11 = 41. ✓