Corrigé des exercices de maths 4ème : Triangles et proportionnalité

1 Trouver un coefficient ★★★

1. 15 ÷ 6 = 2,5 et 10 ÷ 4 = 2,5.
2. Les deux quotients sont égaux : les longueurs sont proportionnelles, donc le rectangle de 15 cm sur 10 cm est un agrandissement du petit, de coefficient 2,5.
3. 18 ÷ 6 = 3 mais 11 ÷ 4 = 2,75. Les quotients sont différents : ce n’est pas un agrandissement (les deux figures n’ont pas la même forme).

2 Agrandir et réduire ★★★

1. On multiplie chaque côté par 3 : 2 × 3 = 6 ; 3,5 × 3 = 10,5 ; 4 × 3 = 12. Les côtés mesurent 6 cm ; 10,5 cm et 12 cm.
2. On multiplie chaque côté par 0,5 (c’est diviser par 2) : 12 × 0,5 = 6 ; 9 × 0,5 = 4,5 ; 7 × 0,5 = 3,5. Les côtés mesurent 6 cm ; 4,5 cm et 3,5 cm.

3 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux. 0,8 est inférieur à 1 : les longueurs diminuent, c’est une réduction.
2. Faux. Les angles ne changent pas ; seules les longueurs sont multipliées.
3. Vrai. Multiplier par 1 ne change aucune longueur.
4. Vrai. 4 ÷ 10 = 0,4 et 6 ÷ 15 = 0,4 : les quotients sont égaux et inférieurs à 1, c’est une réduction de coefficient 0,4.

4 Maquette à l’échelle ★★★

1. 4,5 m = 450 cm. La maquette est 50 fois plus petite : 450 ÷ 50 = 9 cm.
2. 3 × 50 = 150 cm = 1,5 m.

5 Compléter un tableau ★★★

On multiplie chaque longueur par 0,4.

• EF = 5 × 0,4 = 2 cm
• FG = 7 × 0,4 = 2,8 cm
• GE = 9 × 0,4 = 3,6 cm

6 Un premier triangle emboîté ★★★

(MN) // (BC), M ∈ [AB], N ∈ [AC] : AMN est une réduction de ABC.

1. k = AMAB = 39 = 13.
2. ANAC = 13, donc AC = 3 × AN = 3 × 4 = 12 cm. De même MNBC = 13, donc BC = 3 × 2,5 = 7,5 cm.

7 Triangles semblables ou non ? ★★★

1. Triangle 1 : 180 − 40 − 65 = 75°. Triangle 2 : 180 − 65 − 75 = 40°. Triangle 3 : 180 − 40 − 80 = 60°.
2. Les triangles 1 et 2 ont les mêmes angles (40°, 65°, 75°) : ils sont semblables. Le triangle 3 (40°, 80°, 60°) a des angles différents : il n’est semblable à aucun des deux.

8 Longueurs dans des triangles emboîtés ★★★

AMN est une réduction de ABC de coefficient k = AMAB = 410 = 0,4.

ANAC = 0,4, donc AC = 3 ÷ 0,4 = 7,5 cm.

MNBC = 0,4, donc BC = 3,2 ÷ 0,4 = 8 cm.

9 Avec un segment restant ★★★

M est sur [AB] : AB = AM + MB = 3 + 5 = 8 cm.

AMN est une réduction de ABC : AMAB = ANAC = MNBC, soit 38 = AN12 = MN10.

AN = 12 × 38 = 4,5 cm. MN = 10 × 38 = 308 = 3,75 cm.

10 Un papillon ★★★

(AC) // (BD) : les triangles OAC et OBD sont semblables (angles opposés par le sommet, angles alternes-internes), donc OBOA = ODOC = BDAC.

k = 52 = 2,5, donc OD = 3 × 2,5 = 7,5 cm et BD = 4 × 2,5 = 10 cm.

11 La hauteur d’un arbre ★★★

Au même moment, les rayons du soleil sont parallèles : les triangles « bâton – ombre » et « arbre – ombre » ont les mêmes angles, ils sont semblables.

Coefficient : 6 ÷ 0,8 = 7,5. Hauteur de l’arbre : 1,2 × 7,5 = 9.

L’arbre mesure 9 m de haut.

12 Triangles semblables : côtés homologues ★★★

1. La correspondance A → D, B → E, C → F donne : [AB] et [DE], [BC] et [EF], [CA] et [FD].
2. k = DEAB = 128 = 1,5. Alors EF = 6 × 1,5 = 9 cm et FD = 10 × 1,5 = 15 cm.

13 Reconnaître des triangles semblables par leurs côtés ★★★

On range les côtés dans l’ordre croissant et on calcule les quotients.

1. 6 ÷ 4 = 1,5 ; 9 ÷ 6 = 1,5 ; 12 ÷ 8 = 1,5. Les côtés sont proportionnels : Q est un agrandissement de P de coefficient 1,5, donc les triangles sont semblables.
2. 7 ÷ 4 = 1,75 ; 10 ÷ 6 ≈ 1,67 ; 13 ÷ 8 = 1,625. Les quotients sont différents : R n’est pas semblable à P.

14 Plan d’un terrain ★★★

1/400 : 1 cm sur le plan représente 400 cm, soit 4 m. On divise donc les longueurs réelles par 400 (en cm).

1. 48 m = 4 800 cm, 4 800 ÷ 400 = 12 ; 36 m = 3 600 cm, 3 600 ÷ 400 = 9. Le rectangle mesure 12 cm sur 9 cm.
2. 60 m = 6 000 cm, 6 000 ÷ 400 = 15 cm.

15 Périmètres et réduction ★★★

1. k = AMAB = 3,69 = 0,4. AN = 6 × 0,4 = 2,4 cm et MN = 7,5 × 0,4 = 3 cm.
2. Périmètre de ABC : 9 + 6 + 7,5 = 22,5 cm. Périmètre de AMN : 3,6 + 2,4 + 3 = 9 cm.
3. 9 ÷ 22,5 = 0,4. Le quotient des périmètres est égal au coefficient de réduction : le périmètre est une longueur, il est lui aussi multiplié par k.

16 Un trapèze dans un triangle ★★★

AB = AM + MB = 5 + 3 = 8 cm. AMN est une réduction de ABC de coefficient k = 58.

AN = 12 × 58 = 7,5 cm donc NC = 12 − 7,5 = 4,5 cm. MN = 16 × 58 = 10 cm.

Périmètre de MBCN = MB + BC + CN + NM = 3 + 16 + 4,5 + 10 = 33,5 cm.

17 Largeur d’une rivière ★★★

1. Les points A, C, B sont alignés, ainsi que T, C, D. Les angles en C sont opposés par le sommet, donc égaux. Les droites (AT) et (BD) sont parallèles : les angles en A et B (alternes-internes) sont égaux, ce sont même deux angles droits. Les deux triangles ont deux angles égaux : ils sont semblables.
2. Dans le papillon de sommet C : CACB = ATBD. Le coefficient est 15 ÷ 5 = 3, donc AT = 8 × 3 = 24 m. La rivière mesure 24 m de large.

18 Repérer l’erreur ★★★

1. 6 ÷ 3 = 2 ; 7 ÷ 4 = 1,75 ; 8 ÷ 5 = 1,6.
2. Les quotients sont différents : les longueurs ne sont pas proportionnelles. Nina a tort : pour agrandir, on multiplie toutes les longueurs par le même nombre, on n’ajoute pas.
3. Le plus petit côté passe de 3 à 6 cm : k = 2. Les côtés sont 6 cm, 8 cm et 10 cm.

19 Angles et triangles semblables ★★★

1. C = 180 − 52 − 71 = 57°. D = 180 − 57 − 52 = 71°.
2. ABC a pour angles 52°, 71° et 57° ; DEF a pour angles 71°, 57° et 52°. Les angles sont égaux deux à deux : les triangles sont semblables, avec A ↔ F (52°), B ↔ D (71°) et C ↔ E (57°).
3. [AB] a pour homologue [FD] et [BC] a pour homologue [DE]. Le coefficient est k = FDAB = 10,57 = 1,5. Donc DE = 9 × 1,5 = 13,5 cm.

20 Photo et affiche ★★★

1. Coefficient d’agrandissement : 60 ÷ 24 = 2,5. Hauteur : 16 × 2,5 = 40 cm.
2. Il faut passer de 40 cm à 25 cm de hauteur : k = 25 ÷ 40 = 0,625. Largeur : 60 × 0,625 = 37,5 cm.

21 Charpente d’un toit ★★★

1. AMN est une réduction de ABC de coefficient k = AMAB = 25 = 0,4. MN = 8 × 0,4 = 3,2 m.
2. MB = AB − AM = 5 − 2 = 3 m. Comme AC = 5 m et AN = 2 m (même rapport), CN = 3 m.
3. Périmètre = MB + BC + CN + NM = 3 + 8 + 3 + 3,2 = 17,2 m.

22 Défi : le carré dans le triangle ★★★

1. MN est un côté du carré, il est parallèle au côté opposé posé sur [BC] : (MN) // (BC).
2. La hauteur du petit triangle AMN est 8 − c (on retire la hauteur du carré). Les hauteurs sont des longueurs, elles sont multipliées par le même coefficient : k = (8 − c) ÷ 8.
3. MN = c = 12 × k = 12 × (8 − c) ÷ 8, soit 8c = 12 × (8 − c) = 96 − 12c. Alors 20c = 96 et c = 4,8. Le côté du carré mesure 4,8 cm. Vérification : k = (8 − 4,8) ÷ 8 = 0,4 et 12 × 0,4 = 4,8.