Corrigé détaillé des exercices du chapitre. Vérifie tes réponses étape par étape et corrige-toi.
1 Vocabulaire ★★★
a. f(4) = 9 : l’image de 4 par f est 9.
b. f(0) = −2 : 0 est un antécédent de −2 par f. Réponse : 0.
c. « L’image de 0 par la fonction f est −2. »
2 Programme de calcul ★★★
a. On multiplie par 3 : 3x ; puis on soustrait 5 : 3x − 5. Donc f(x) = 3x − 5, ou f : x ↦ 3x − 5.
b. f(4) = 3 × 4 − 5 = 12 − 5 = 7.
f(−2) = 3 × (−2) − 5 = −6 − 5 = −11.
f(0) = 3 × 0 − 5 = −5.
3 Traduire en égalités ★★★
a. g(3) = 8.
b. h(12) = −1,5.
c. 7 est un antécédent de 20 : cela veut dire que l’image de 7 est 20, donc p(7) = 20.
d. k(x) = 2x + 9, ou k : x ↦ 2x + 9.
4 Images avec une formule ★★★
f(3) = 3² + 1 = 9 + 1 = 10.
f(−3) = (−3)² + 1 = 9 + 1 = 10 (le carré d’un nombre négatif est positif).
f(0) = 0 + 1 = 1.
f(5) = 25 + 1 = 26.
On remarque que 3 et −3 ont la même image : 10 a donc (au moins) deux antécédents.
5 Lire un tableau ★★★
a. On lit la seconde ligne sous 1 puis sous −1 : g(1) = 4 et g(−1) = 4.
b. On cherche 7 sur la seconde ligne : il apparaît sous −2 et sous 2. Les antécédents de 7 sont −2 et 2.
c. 3 apparaît une seule fois, sous 0. Son antécédent est 0 (d’après le tableau).
d. Non : 4 ne figure pas dans la première ligne du tableau, on ne peut pas lire son image.
6 Vrai ou faux ? ★★★
a. Faux. Par définition, une fonction associe à chaque nombre un unique nombre : l’image est unique.
b. Vrai. Par exemple avec f(x) = x², les nombres 3 et −3 ont la même image 9, donc 9 a deux antécédents.
c. Faux. f(2) = 5 signifie que 5 est l’image de 2, mais cela ne dit rien sur l’image de 5. Pour f(x) = x + 3, on a f(2) = 5 mais f(5) = 8.
7 Prix des croissants ★★★
a. Chaque croissant coûte 1,20 € : p(x) = 1,2x.
b. p(5) = 1,2 × 5 = 6. Cinq croissants coûtent 6 €.
c. On résout 1,2x = 9,6, donc x = 9,6 ÷ 1,2 = 8. Vérification : 1,2 × 8 = 9,6. L’antécédent de 9,60 est 8 : avec 9,60 €, on achète 8 croissants.
8 Images avec parenthèses ★★★
h(0) = 0 − 0 + 1 = 1.
h(2) = 2 × 4 − 3 × 2 + 1 = 8 − 6 + 1 = 3.
h(−1) = 2 × (−1)² − 3 × (−1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6.
h(0,5) = 2 × 0,25 − 3 × 0,5 + 1 = 0,5 − 1,5 + 1 = 0.
Ainsi 0,5 est un antécédent de 0 par h.
9 Antécédents par le calcul ★★★
Antécédent de 9 : 4x − 7 = 9 ; 4x = 16 ; x = 4. Vérification : f(4) = 16 − 7 = 9.
Antécédent de −7 : 4x − 7 = −7 ; 4x = 0 ; x = 0. Vérification : f(0) = −7.
Antécédent de 0 : 4x − 7 = 0 ; 4x = 7 ; x = 7 ÷ 4 = 1,75. Vérification : 4 × 1,75 − 7 = 0.
10 Antécédents d’un carré ★★★
On cherche les nombres dont le carré vaut 49 : 7² = 49 et (−7)² = 49. Les antécédents de 49 sont 7 et −7.
Le seul nombre de carré 0 est 0. L’antécédent de 0 est 0.
Un carré n’est jamais négatif : aucun nombre n’a pour carré −4. Le nombre −4 n’a aucun antécédent par g.
11 Compléter un tableau ★★★
f(−2) = −2 × (−2) + 5 = 4 + 5 = 9 ; f(−1) = 2 + 5 = 7 ; f(0) = 5 ; f(1) = −2 + 5 = 3 ; f(2) = −4 + 5 = 1 ; f(3) = −6 + 5 = −1.
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 9 | 7 | 5 | 3 | 1 | −1 |
L’antécédent de 1 se lit sur la seconde ligne : c’est 2. Vérification par le calcul : −2x + 5 = 1 donne −2x = −4, donc x = 2.
12 Carré : aire et périmètre ★★★
a. A(x) = x² (en cm²) et P(x) = 4x (en cm).
b.
| x (cm) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| A(x) (cm²) | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 |
| P(x) (cm) | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 |
c. Les deux lignes sont égales pour x = 4 : A(4) = 16 et P(4) = 16. Attention : les unités sont différentes (cm² et cm), on compare seulement les nombres.
13 Degrés Celsius et Fahrenheit ★★★
a. F(0) = 32 ; F(100) = 180 + 32 = 212 ; F(25) = 45 + 32 = 77. Donc 0 °C = 32 °F, 100 °C = 212 °F, 25 °C = 77 °F.
b. On résout 1,8c + 32 = 50 : 1,8c = 18 ; c = 18 ÷ 1,8 = 10. Donc 50 °F correspond à 10 °C.
c. F(−40) = 1,8 × (−40) + 32 = −72 + 32 = −40. L’image de −40 est −40 : −40 °C et −40 °F sont la même température.
14 Lecture sur une courbe ★★★
a. On part de 1 sur l’axe horizontal, on monte jusqu’à la courbe : f(1) = 3. Et f(0) = 4.
b. La courbe coupe l’axe horizontal en −2 et en 2 : antécédents de 0 : −2 et 2.
c. L’horizontale de hauteur 3 coupe la courbe en −1 et en 1 : antécédents de 3 : −1 et 1.
d. Pour −5 : −3 et 3. Pour 5 : l’horizontale de hauteur 5 ne coupe jamais la courbe (le point le plus haut est à 4), donc 5 n’a aucun antécédent. On remarque que la courbe est symétrique par rapport à l’axe vertical : deux nombres opposés ont la même image.
15 Les photocopies ★★★
a. c(x) = 0,15x.
b. c(10) = 1,5 ; c(30) = 4,5 ; c(100) = 15. Ces prix sont en euros.
c. On cherche l’antécédent de 24 : 0,15x = 24, donc x = 24 ÷ 0,15 = 160. Vérification : 0,15 × 160 = 24. Avec 24 €, on peut faire 160 copies.
16 Tracer une courbe point par point ★★★
a. Par exemple : f(−1) = 1 + 4 + 1 = 6 ; f(0) = 1 ; f(1) = 1 − 4 + 1 = −2 ; f(2) = 4 − 8 + 1 = −3 ; f(3) = 9 − 12 + 1 = −2 ; f(4) = 16 − 16 + 1 = 1 ; f(5) = 25 − 20 + 1 = 6.
| x | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 6 | 1 | −2 | −3 | −2 | 1 | 6 |
b. On place les sept points puis on les relie par une courbe régulière :
c. L’horizontale de hauteur 1 coupe la courbe aux points d’abscisses 0 et 4. Les antécédents de 1 sont 0 et 4. Vérification : f(0) = 1 et f(4) = 1.
17 Le rectangle de périmètre 20 m ★★★
a. Le demi-périmètre vaut 10 m : longueur = 10 − x. Aire : A(x) = x(10 − x) en m².
b.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A(x) | 0 | 9 | 16 | 21 | 24 | 25 | 24 | 21 | 16 | 9 | 0 |
Exemple : A(3) = 3 × 7 = 21 ; A(8) = 8 × 2 = 16.
c. On cherche 16 sur la seconde ligne : 2 et 8. Les largeurs sont 2 m et 8 m (un rectangle 2 m × 8 m, ou 8 m × 2 m : c’est le même enclos).
d. La plus grande valeur du tableau est 25, pour x = 5. L’aire maximale semble être 25 m² pour une largeur de 5 m ; la longueur vaut alors 10 − 5 = 5 m : c’est un carré.
18 Deux formules de piscine ★★★
a. f(10) = 5 + 8 = 13 € et g(10) = 15 €.
b. Tarif A : 0,5x + 8 = 20 ; 0,5x = 12 ; x = 24 entrées. Tarif B : 1,5x = 20 ; x = 20 ÷ 1,5 ≈ 13,3 ; on ne peut pas payer une fraction d’entrée : 13 entrées (13 × 1,5 = 19,50 €).
c. Les tarifs sont égaux quand f(x) = g(x) : 0,5x + 8 = 1,5x ; 8 = x. Pour 8 entrées : f(8) = 4 + 8 = 12 et g(8) = 12.
d. Pour 9 entrées : f(9) = 12,5 € et g(9) = 13,5 € : le tarif A est moins cher. Il est donc le plus avantageux à partir de 9 entrées.
19 Deux programmes qui se rejoignent ★★★
a. f(x) = 5x − 2 et g(x) = x + 10.
b. f(1) = 3 ; g(1) = 11 ; f(5) = 23 ; g(5) = 15.
c. On résout 5x − 2 = x + 10 : 5x − x = 10 + 2 ; 4x = 12 ; x = 3. Vérification : f(3) = 15 − 2 = 13 et g(3) = 13. Le nombre est 3 et le résultat commun est 13.
20 Une forme factorisée ★★★
a. f(0) = (−2) × 5 = −10 ; f(1) = (−1) × 6 = −6 ; f(3) = 1 × 8 = 8 ; f(−5) = (−7) × 0 = 0.
b. Un produit est nul si l’un de ses facteurs l’est : x − 2 = 0 donne x = 2 ; x + 5 = 0 donne x = −5. Antécédents de 0 : 2 et −5.
c. f(−3) = (−5) × 2 = −10 : donc −3 est un antécédent de −10. On a aussi f(0) = −10 d’après a. : un autre antécédent de −10 est 0.
21 Le ballon lancé ★★★
a. h(0) = 0 ; h(1) = −5 + 20 = 15 ; h(2) = −20 + 40 = 20 ; h(3) = −45 + 60 = 15 ; h(4) = −80 + 80 = 0 ; h(0,5) = −5 × 0,25 + 10 = 8,75.
b.
c. La hauteur 15 m est atteinte à t = 1 s (le ballon monte) et à t = 3 s (il redescend). La hauteur maximale semble être 20 m, atteinte à t = 2 s.
d. h(5) = −125 + 100 = −25. Une hauteur négative voudrait dire que le ballon est sous le sol : le ballon est retombé à t = 4 s, la formule n’est plus valable après.
22 Courbe des températures ★★★
a. T(12) = 14 °C et T(21) = 11 °C.
b. 17 °C est atteint à 15 h ; 5 °C est atteint à 6 h.
c. Le point le plus bas de la courbe a pour ordonnée 5 : la température la plus basse est 5 °C, relevée à 6 h.
d. À 6 h : 5 °C ; à 15 h : 17 °C. L’augmentation est 17 − 5 = 12 °C.
23 Repérer la bonne représentation ★★★
a. La formule : c(x) = 0,15x donne directement c(137) = 20,55 € (exact), alors qu’un tableau ne contient pas forcément 137 et que la lecture sur un graphique serait approximative.
b. La courbe : le sommet de la courbe se repère d’un coup d’œil, ce qu’un tableau fait moins bien.
c. Le tableau de valeurs : trois valeurs précises à présenter, c’est rapide et lisible.