Mesurer la hauteur d’un arbre sans y grimper, calculer la pente d’une rampe, régler l’inclinaison d’un toit : la trigonométrie sert à tout cela. Dans ce chapitre, tu découvres trois rapports de longueurs, le cosinus, le sinus et la tangente, qui relient les angles et les côtés d’un triangle rectangle. Avec ta calculatrice, tu sauras trouver une longueur ou un angle manquant.
1. Rappels : le triangle rectangle et Pythagore
Hypoténuse
Dans un triangle rectangle, le côté situé en face de l’angle droit s’appelle l’hypoténuse. C’est toujours le plus long des trois côtés. Les deux autres côtés sont les côtés de l’angle droit.
Dans un triangle rectangle, le côté situé en face de l’angle droit s’appelle l’hypoténuse. C’est toujours le plus long des trois côtés. Les deux autres côtés sont les côtés de l’angle droit.
Théorème de Pythagore
Si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC². On additionne les carrés des côtés de l’angle droit pour obtenir le carré de l’hypoténuse.
Si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC². On additionne les carrés des côtés de l’angle droit pour obtenir le carré de l’hypoténuse.
Exemple
Le triangle ABC est rectangle en A avec AB = 8 cm et AC = 15 cm.
D’après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289.
Donc BC = √289 = 17 cm.
Le triangle ABC est rectangle en A avec AB = 8 cm et AC = 15 cm.
D’après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289.
Donc BC = √289 = 17 cm.
Pourquoi un nouvel outil ?
Pythagore ne fonctionne que si tu connais deux côtés. Si on te donne un seul côté et un angle, il ne suffit plus : c’est la trigonométrie qui prend le relais.
Pythagore ne fonctionne que si tu connais deux côtés. Si on te donne un seul côté et un angle, il ne suffit plus : c’est la trigonométrie qui prend le relais.
2. Côté opposé, côté adjacent, hypoténuse
Dans un triangle rectangle, on choisit un des deux angles aigus (ni l’angle droit, ni un autre). Les noms des deux côtés de l’angle droit dépendent alors de l’angle choisi.
Vocabulaire
Pour un angle aigu donné :
• le côté opposé est le côté qui est en face de cet angle (il ne touche pas son sommet) ;
• le côté adjacent est le côté de l’angle droit qui touche cet angle (« adjacent » veut dire « qui touche ») ;
• l’hypoténuse est le côté en face de l’angle droit.
Pour un angle aigu donné :
• le côté opposé est le côté qui est en face de cet angle (il ne touche pas son sommet) ;
• le côté adjacent est le côté de l’angle droit qui touche cet angle (« adjacent » veut dire « qui touche ») ;
• l’hypoténuse est le côté en face de l’angle droit.
Dans le triangle ABC rectangle en A, voici les trois côtés vus depuis l’angle B (hypoténuse en rouge, côté opposé en vert, côté adjacent en bleu).
Maintenant, on regarde le même triangle depuis l’angle C. L’hypoténuse ne change pas, mais les deux autres côtés échangent leurs rôles.
Piège
Ne dis jamais « le côté opposé » tout court : il faut toujours préciser « opposé à quel angle ». Avant de commencer un exercice, repère l’angle utilisé et colorie les trois côtés.
Ne dis jamais « le côté opposé » tout court : il faut toujours préciser « opposé à quel angle ». Avant de commencer un exercice, repère l’angle utilisé et colorie les trois côtés.
3. Cosinus, sinus et tangente
Définitions
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu α :
cos α = longueur du côté adjacentlongueur de l’hypoténuse
sin α = longueur du côté opposélongueur de l’hypoténuse
tan α = longueur du côté opposélongueur du côté adjacent
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu α :
cos α = longueur du côté adjacentlongueur de l’hypoténuse
sin α = longueur du côté opposélongueur de l’hypoténuse
tan α = longueur du côté opposélongueur du côté adjacent
Dans le triangle MNP rectangle en N
Pour l’angle α placé en M : cos α = MNMP ; sin α = NPMP ; tan α = NPMN.
Pour l’angle placé en P, tout change : cos P = NPMP ; sin P = MNMP ; tan P = MNNP.
Pour l’angle α placé en M : cos α = MNMP ; sin α = NPMP ; tan α = NPMN.
Pour l’angle placé en P, tout change : cos P = NPMP ; sin P = MNMP ; tan P = MNNP.
Un moyen de retenir
Pense à la phrase « CAH – SOH – TOA » : Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse ; Sinus = Opposé sur Hypoténuse ; Tangente = Opposé sur Adjacent.
Pense à la phrase « CAH – SOH – TOA » : Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse ; Sinus = Opposé sur Hypoténuse ; Tangente = Opposé sur Adjacent.
Ces rapports ne dépendent que de l’angle, pas de la taille du triangle : si tu agrandis ou réduis un triangle, les longueurs changent mais pas leur quotient. C’est pour cela qu’on peut les calculer avec une calculatrice.
À savoir
Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1, car un côté de l’angle droit est plus court que l’hypoténuse. La tangente, elle, peut être plus grande que 1. Enfin : tan α = sin αcos α.
Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1, car un côté de l’angle droit est plus court que l’hypoténuse. La tangente, elle, peut être plus grande que 1. Enfin : tan α = sin αcos α.
4. Utiliser la calculatrice
Régler et utiliser sa calculatrice
1. Vérifie que la calculatrice est en mode degrés (on voit « D » ou « DEG » à l’écran). C’est l’erreur numéro un !
2. Pour le cosinus, le sinus ou la tangente d’un angle, utilise les touches cos, sin, tan : par exemple tan 35° ≈ 0,700.
3. Pour retrouver un angle à partir d’un rapport, utilise les touches cos−1, sin−1, tan−1 (souvent obtenues avec la touche « seconde » ou « shift »).
1. Vérifie que la calculatrice est en mode degrés (on voit « D » ou « DEG » à l’écran). C’est l’erreur numéro un !
2. Pour le cosinus, le sinus ou la tangente d’un angle, utilise les touches cos, sin, tan : par exemple tan 35° ≈ 0,700.
3. Pour retrouver un angle à partir d’un rapport, utilise les touches cos−1, sin−1, tan−1 (souvent obtenues avec la touche « seconde » ou « shift »).
Exemples
sin 40° ≈ 0,643 ; cos 40° ≈ 0,766.
Si cos α = 0,6, alors α = cos−1(0,6) ≈ 53,1°, soit environ 53° au degré près.
sin 40° ≈ 0,643 ; cos 40° ≈ 0,766.
Si cos α = 0,6, alors α = cos−1(0,6) ≈ 53,1°, soit environ 53° au degré près.
Arrondis
On n’arrondit qu’à la fin du calcul. Si tu arrondis le sinus ou la tangente avant de calculer, ton résultat final peut être faux d’un millimètre ou d’un degré.
On n’arrondit qu’à la fin du calcul. Si tu arrondis le sinus ou la tangente avant de calculer, ton résultat final peut être faux d’un millimètre ou d’un degré.
5. Calculer une longueur
Méthode
1. Repère l’angle connu et colorie : hypoténuse, côté opposé, côté adjacent.
2. Choisis le rapport qui contient la longueur cherchée et la longueur connue : si on parle d’opposé et d’hypoténuse, c’est le sinus ; d’adjacent et d’hypoténuse, le cosinus ; d’opposé et d’adjacent, la tangente.
3. Écris la relation, remplace par les valeurs, puis résous l’équation.
4. Termine par une phrase avec l’unité.
1. Repère l’angle connu et colorie : hypoténuse, côté opposé, côté adjacent.
2. Choisis le rapport qui contient la longueur cherchée et la longueur connue : si on parle d’opposé et d’hypoténuse, c’est le sinus ; d’adjacent et d’hypoténuse, le cosinus ; d’opposé et d’adjacent, la tangente.
3. Écris la relation, remplace par les valeurs, puis résous l’équation.
4. Termine par une phrase avec l’unité.
Exemple 1 : le côté cherché est le numérateur
ABC est rectangle en B, AB = 9 cm et ∠BAC = 35°. On cherche BC.
Pour l’angle A, BC est le côté opposé et AB est le côté adjacent. On utilise la tangente.
tan 35° = BCAB = BC9, donc BC = 9 × tan 35° ≈ 6,30.
BC ≈ 6,3 cm (arrondi au mm).
ABC est rectangle en B, AB = 9 cm et ∠BAC = 35°. On cherche BC.
Pour l’angle A, BC est le côté opposé et AB est le côté adjacent. On utilise la tangente.
tan 35° = BCAB = BC9, donc BC = 9 × tan 35° ≈ 6,30.
BC ≈ 6,3 cm (arrondi au mm).
Exemple 2 : le côté cherché est le dénominateur
Même triangle : on cherche maintenant l’hypoténuse AC. Elle touche l’angle connu avec le côté adjacent AB : cosinus.
cos 35° = ABAC = 9AC, donc AC = 9cos 35° ≈ 10,99.
AC ≈ 11,0 cm.
Même triangle : on cherche maintenant l’hypoténuse AC. Elle touche l’angle connu avec le côté adjacent AB : cosinus.
cos 35° = ABAC = 9AC, donc AC = 9cos 35° ≈ 10,99.
AC ≈ 11,0 cm.
Pas de panique avec l’inconnue en bas
Quand l’inconnue est au dénominateur, on fait « l’inverse » : dans 9AC = cos 35°, on a AC = 9 ÷ cos 35°. On peut aussi vérifier avec Pythagore : AC² = AB² + BC², ce qui donne bien le même résultat.
Quand l’inconnue est au dénominateur, on fait « l’inverse » : dans 9AC = cos 35°, on a AC = 9 ÷ cos 35°. On peut aussi vérifier avec Pythagore : AC² = AB² + BC², ce qui donne bien le même résultat.
6. Calculer un angle
Méthode
1. Repère les deux côtés connus par rapport à l’angle cherché.
2. Choisis cosinus, sinus ou tangente selon ces deux côtés.
3. Écris par exemple tan x = opposéadjacent avec les valeurs.
4. Utilise la touche tan−1 (ou sin−1, cos−1) pour obtenir l’angle, puis arrondis.
1. Repère les deux côtés connus par rapport à l’angle cherché.
2. Choisis cosinus, sinus ou tangente selon ces deux côtés.
3. Écris par exemple tan x = opposéadjacent avec les valeurs.
4. Utilise la touche tan−1 (ou sin−1, cos−1) pour obtenir l’angle, puis arrondis.
Exemple
DEF est rectangle en E, EF = 5 cm et DF = 8 cm. On cherche l’angle x = ∠EDF.
EF est le côté opposé à x et DF est l’hypoténuse : on utilise le sinus.
sin x = EFDF = 58 = 0,625, donc x = sin−1(0,625) ≈ 38,7°.
∠EDF ≈ 39° au degré près.
L’autre angle aigu vaut 90° − 39° = 51°, car la somme des angles d’un triangle est 180° et il y a déjà un angle droit.
DEF est rectangle en E, EF = 5 cm et DF = 8 cm. On cherche l’angle x = ∠EDF.
EF est le côté opposé à x et DF est l’hypoténuse : on utilise le sinus.
sin x = EFDF = 58 = 0,625, donc x = sin−1(0,625) ≈ 38,7°.
∠EDF ≈ 39° au degré près.
L’autre angle aigu vaut 90° − 39° = 51°, car la somme des angles d’un triangle est 180° et il y a déjà un angle droit.
Ne confonds pas
« sin 30° » et « sin−1(0,5) » ne sont pas la même chose. La touche sin sert à passer de l’angle au rapport ; la touche sin−1 fait le chemin inverse, du rapport à l’angle. Et sin−1(x) n’est pas égal à 1sin x.
« sin 30° » et « sin−1(0,5) » ne sont pas la même chose. La touche sin sert à passer de l’angle au rapport ; la touche sin−1 fait le chemin inverse, du rapport à l’angle. Et sin−1(x) n’est pas égal à 1sin x.
7. Quelques valeurs et relations à connaître
| Angle | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 30° | 0,5 | ≈ 0,87 | ≈ 0,58 |
| 45° | ≈ 0,71 | ≈ 0,71 | 1 |
| 60° | ≈ 0,87 | 0,5 | ≈ 1,73 |
Deux relations
Pour un angle aigu α d’un triangle rectangle :
• cos² α + sin² α = 1 (ce résultat vient du théorème de Pythagore) ;
• tan α = sin αcos α.
Pour un angle aigu α d’un triangle rectangle :
• cos² α + sin² α = 1 (ce résultat vient du théorème de Pythagore) ;
• tan α = sin αcos α.
Vérification
Dans un triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5, l’angle α opposé au côté 3 vérifie sin α = 35 = 0,6 et cos α = 45 = 0,8. On a bien 0,6² + 0,8² = 0,36 + 0,64 = 1 et 0,60,8 = 0,75 = 34 = tan α.
Dans un triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5, l’angle α opposé au côté 3 vérifie sin α = 35 = 0,6 et cos α = 45 = 0,8. On a bien 0,6² + 0,8² = 0,36 + 0,64 = 1 et 0,60,8 = 0,75 = 34 = tan α.
Autres faits utiles : deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires (leur somme vaut 90°), et le sinus de l’un est le cosinus de l’autre : sin 20° = cos 70°.
8. Problèmes concrets
En situation réelle, on commence toujours par faire un schéma et y repérer un triangle rectangle. Voici trois grands classiques.
La rampe d’accès
Une rampe de 6 m de long monte de 0,5 m. Quel angle fait-elle avec le sol ?
La rampe est l’hypoténuse, la hauteur 0,5 m est le côté opposé : sin α = 0,56 ≈ 0,083, donc α = sin−1(0,083) ≈ 4,8°.
Une rampe de 6 m de long monte de 0,5 m. Quel angle fait-elle avec le sol ?
La rampe est l’hypoténuse, la hauteur 0,5 m est le côté opposé : sin α = 0,56 ≈ 0,083, donc α = sin−1(0,083) ≈ 4,8°.
La hauteur d’un arbre grâce à son ombre
Au moment où les rayons du soleil font un angle de 38° avec le sol, l’ombre d’un arbre mesure 12 m. L’arbre est vertical, donc le triangle est rectangle au pied de l’arbre. La hauteur est le côté opposé à l’angle, l’ombre est le côté adjacent : tan 38° = hauteur12.
hauteur = 12 × tan 38° ≈ 9,38 : l’arbre mesure environ 9,4 m.
Au moment où les rayons du soleil font un angle de 38° avec le sol, l’ombre d’un arbre mesure 12 m. L’arbre est vertical, donc le triangle est rectangle au pied de l’arbre. La hauteur est le côté opposé à l’angle, l’ombre est le côté adjacent : tan 38° = hauteur12.
hauteur = 12 × tan 38° ≈ 9,38 : l’arbre mesure environ 9,4 m.
Le toit d’une maison
La charpente a un triangle isocèle SAB de base AB = 10 m. Chaque pente du toit fait 35° avec l’horizontale. On trace la hauteur [SH] : H est le milieu de [AB], donc AH = 5 m.
Hauteur du faîtage : SH = 5 × tan 35° ≈ 3,50 m. Longueur d’un versant : AS = 5cos 35° ≈ 6,10 m.
La charpente a un triangle isocèle SAB de base AB = 10 m. Chaque pente du toit fait 35° avec l’horizontale. On trace la hauteur [SH] : H est le milieu de [AB], donc AH = 5 m.
Hauteur du faîtage : SH = 5 × tan 35° ≈ 3,50 m. Longueur d’un versant : AS = 5cos 35° ≈ 6,10 m.
Mathbot te conseille
« Dans un triangle qui n’est pas rectangle, trace une hauteur pour t’en fabriquer un ! Les deux triangles rectangles obtenus te permettent d’utiliser cosinus, sinus ou tangente. »
« Dans un triangle qui n’est pas rectangle, trace une hauteur pour t’en fabriquer un ! Les deux triangles rectangles obtenus te permettent d’utiliser cosinus, sinus ou tangente. »
À retenir
- Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu : hypoténuse (en face de l’angle droit), côté opposé (en face de l’angle) et côté adjacent (qui touche l’angle).
- cos α = adjacent ÷ hypoténuse ; sin α = opposé ÷ hypoténuse ; tan α = opposé ÷ adjacent (« CAH – SOH – TOA »).
- Calculatrice en mode degrés : touches cos, sin, tan pour un angle, et cos−1, sin−1, tan−1 pour retrouver un angle.
- Pour une longueur : choisis le rapport qui contient la longueur connue et la longueur cherchée, puis résous l’équation.
- Pour un angle : calcule le rapport des deux côtés connus, puis utilise la touche « moins un ».
- cos α et sin α sont compris entre 0 et 1 ; cos² α + sin² α = 1 ; tan α = sin α ÷ cos α.
- Les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires (somme 90°).
- On n’arrondit qu’à la fin, et on termine par une phrase réponse avec l’unité.