Algorithmique et programmation Python : contrôle de maths Terminale

1 Lecture d’un programme à seuil / 4 pts

Durée de l’épreuve : 55 minutes, calculatrice autorisée, aucun ordinateur : les programmes se lisent « à la main ».

On considère le programme suivant.

u = 3
n = 0
while u < 100:
    u = 2 * u + 1
    n = n + 1
print(n, u)

1. Recopie et complète le tableau des valeurs de n et u à la fin de chaque passage dans la boucle (on part de n = 0 et u = 3). (1,5 pt)
2. Quelle est la sortie du programme ? (1 pt)
3. On définit la suite (u_n) par u₀ = 3 et u_n+1 = 2u_n + 1. Montre que u_n = 2ⁿ⁺² − 1 pour tout n, puis interprète la sortie. (1,5 pt)

2 Fonctions et listes / 4 pts

Soit la liste L = [12, 7, 15, 9, 14] (notes d’un groupe).

1. Écris une fonction moyenne(L) qui renvoie la moyenne des éléments d’une liste non vide. Que renvoie-t-elle pour la liste L ? (1,5 pt)
2. Écris une fonction nb_sup(L, s) qui renvoie le nombre d’éléments de L strictement supérieurs à s. Que renvoie nb_sup(L, 10) ? (1,5 pt)
3. Écris en une ligne l’instruction qui construit la liste des éléments pairs de L, chacun doublé (on rappelle que v % 2 == 0 teste la parité). Quelle liste obtient-on ? (1 pt)

3 Dichotomie / 4 pts

Soit f(x) = x³ + x − 3 définie sur [1 ; 2].

1. Démontre que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans [1 ; 2]. (1 pt)
2. Applique trois étapes de la méthode de dichotomie en présentant un tableau (a, b, m, signe de f(m)) et donne un encadrement de α. (2 pts)
3. Combien d’étapes faut-il pour obtenir un encadrement d’amplitude strictement inférieure à 10⁻³ ? Justifie. (1 pt)

4 Méthode des rectangles / 4 pts

On souhaite encadrer I = ∫ x² dx entre 0 et 2 par la méthode des rectangles avec n = 4 subdivisions de même largeur. La fonction carré est croissante sur [0 ; 2].

1. Donne la largeur h des rectangles et les abscisses des points de la subdivision. (0,5 pt)
2. Calcule la somme S_inf des aires des rectangles situés sous la courbe et la somme S_sup des aires des rectangles situés au-dessus. (2 pts)
3. Écris l’encadrement de I obtenu. Sachant que I = 8/3, vérifie-le. (0,5 pt)
4. Exprime l’écart S_sup − S_inf en fonction de n puis donne le plus petit entier n garantissant un écart strictement inférieur à 0,01. (1 pt)

5 Dénombrement et simulation / 4 pts

On lance deux dés équilibrés à six faces et on s’intéresse à l’événement S : « la somme des deux faces vaut 9 ».

1. Dénombre les couples (a ; b) réalisant S et calcule P(S). (1,5 pt)

On exécute le programme ci-dessous.

import random
random.seed(99)
N = 3000
neuf = 0
for i in range(N):
    if random.randint(1, 6) + random.randint(1, 6) == 9:
        neuf = neuf + 1
print(neuf / N)

2. Que calcule-t-il ? La valeur affichée peut-elle être exactement égale à P(S) ? Justifie. (1 pt)
3. On lance 50 fois les deux dés. X est le nombre de réalisations de S. Quelle est la loi de X, son espérance ? Calcule P(X ≥ 1) à 10⁻³ près. (1,5 pt)