Algorithmique et programmation Python : corrigé du contrôle de maths Terminale

1 Lecture d’un programme à seuil / 4 pts

Barème : 4 points (1,5 + 1 + 1,5).

1. (1,5 pt) Tableau des valeurs :

   Passage	0 (départ)	1	2	3	4	5
   n	0	1	2	3	4	5
   u	3	7	15	31	63	127

   La condition u < 100 est vraie jusqu’à u = 63 ; après le 5^e passage, u = 127 ≥ 100 : on sort.

2. (1 pt) Le programme affiche 5 127.
3. (1,5 pt) Par récurrence : u₀ = 3 = 2² − 1 (initialisation). Si u_n = 2ⁿ⁺² − 1, alors u_n+1 = 2 × (2ⁿ⁺² − 1) + 1 = 2ⁿ⁺³ − 1 : la propriété est héréditaire. Donc u_n = 2ⁿ⁺² − 1. La sortie signifie que 5 est le plus petit entier n tel que u_n ≥ 100 (2⁷ − 1 = 127 ≥ 100 alors que 2⁶ − 1 = 63 < 100).

2 Fonctions et listes / 4 pts

Barème : 4 points (1,5 + 1,5 + 1).

def moyenne(L):
    return sum(L) / len(L)

def nb_sup(L, s):
    c = 0
    for v in L:
        if v > s:
            c = c + 1
    return c

L = [12, 7, 15, 9, 14]
print(moyenne(L), nb_sup(L, 10), [2 * v for v in L if v % 2 == 0])

Sortie obtenue :

11.4 3 [24, 28]

1. (1,5 pt : 1 pt pour la fonction avec return, 0,5 pt pour la valeur) moyenne(L) = (12 + 7 + 15 + 9 + 14) / 5 = 57 / 5 = 11,4.
2. (1,5 pt) Parmi 12, 7, 15, 9, 14, ceux qui dépassent 10 sont 12, 15, 14 : nb_sup(L, 10) renvoie 3.
3. (1 pt) [2 * v for v in L if v % 2 == 0] : les éléments pairs sont 12 et 14, on obtient [24, 28].

3 Dichotomie / 4 pts

Barème : 4 points (1 + 2 + 1).

1. (1 pt) f est dérivable sur [1 ; 2] avec f′(x) = 3x² + 1 > 0 : f est continue et strictement croissante. f(1) = −1 < 0 et f(2) = 7 > 0. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x) = 0 a une unique solution α dans [1 ; 2].
2. (2 pts : 1,5 pt pour le tableau, 0,5 pt pour l’encadrement)

   Étape	a	b	m	f(m)
   1	1,000	2,000	1,500	1,8750
   2	1,000	1,500	1,250	0,2031
   3	1,000	1,250	1,125	-0,4512

   Au bout de 3 étapes : 1,125 ≤ α ≤ 1,250 (amplitude 0,125).

3. (1 pt) L’amplitude après k étapes est 1 / 2^k. 2⁹ = 512 < 1000 donc 1 / 2⁹ > 10⁻³, alors que 2¹⁰ = 1 024 > 1000 donne 1 / 2¹⁰ < 10⁻³ : il faut 10 étapes.

4 Méthode des rectangles / 4 pts

Barème : 4 points (0,5 + 2 + 0,5 + 1).

1. (0,5 pt) h = (2 − 0) / 4 = 0,5 ; abscisses 0 ; 0,5 ; 1 ; 1,5 ; 2.
2. (2 pts) S_inf (extrémités gauches, la fonction étant croissante) = 0,5 × (0² + 0,5² + 1² + 1,5²) = 0,5 × 3,5 = 1,75. S_sup (extrémités droites) = 0,5 × (0,5² + 1² + 1,5² + 2²) = 0,5 × 7,5 = 3,75.
3. (0,5 pt) 1,75 ≤ I ≤ 3,75, et 8/3 ≈ 2,67 appartient bien à [1,75 ; 3,75].
4. (1 pt) S_sup − S_inf = h × (f(2) − f(0)) = (2 / n) × 4 = 8 / n (pour n = 4 : 2 = 3,75 − 1,75, cohérent). 8 / n < 0,01 équivaut à n > 800 : le plus petit entier est n = 801.

5 Dénombrement et simulation / 4 pts

Barème : 4 points (1,5 + 1 + 1,5).

1. (1,5 pt) Les couples de somme 9 sont (3 ; 6), (4 ; 5), (5 ; 4), (6 ; 3) : 4 cas favorables sur 36 cas équiprobables, donc P(S) = 4/36 = 1/9 ≈ 0,111.
2. (1 pt) Le programme simule 3 000 doubles lancers et calcule la fréquence de S : on obtient 0.103. Cette valeur est proche de 1/9 ≈ 0,1111 mais n’a aucune raison d’être égale à P(S) : une simulation fournit une estimation soumise aux fluctuations d’échantillonnage (de l’ordre de 1 / √3000 ≈ 0,018 au maximum).
3. (1,5 pt) Les 50 doubles lancers sont indépendants, chacun est une épreuve de Bernoulli de paramètre 1/9 : X suit la loi binomiale B(50 ; 1/9) (0,5 pt). E(X) = 50 / 9 ≈ 5,56 (0,5 pt). P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (8/9)⁵⁰ ≈ 0,997 (0,5 pt).