Corrigé des exercices de maths 4ème : Parallélogrammes et translations

1 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : ses côtés opposés sont parallèles.
2. Faux : un trapèze a deux côtés parallèles et n’est pas un parallélogramme. Il faut que les deux paires de côtés opposés soient parallèles.
3. Faux : c’est vrai pour un rectangle seulement. Dans un parallélogramme quelconque, les diagonales ont des longueurs différentes.
4. Vrai : c’est une propriété du losange.
5. Vrai : un carré a quatre côtés égaux, c’est donc un losange (et aussi un rectangle).

2 Longueurs et angles ★★★

Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur : CD = AB = 7 cm et AD = BC = 4 cm.

Les angles opposés sont égaux : angle BCD = angle DAB = 65°.

Deux angles consécutifs sont supplémentaires : angle ABC = 180° − 65° = 115°, et angle ADC = angle ABC = 115° (angles opposés).

Vérification : 65° + 115° + 65° + 115° = 360°.

3 Diagonales qui se coupent ★★★

Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu O.

[EG] a pour milieu O : OE = OG = 10 ÷ 2 = 5 cm.

[FH] a pour milieu O : OF = OH = 6 ÷ 2 = 3 cm.

4 Symétriques sur un quadrillage ★★★

On utilise le fait que O est le milieu de [AA’] : on fait le même déplacement depuis O, mais dans le sens opposé.

• A est à 3 carreaux à droite et 2 vers le haut de O ; A’ est donc à 3 carreaux à gauche et 2 vers le bas de O.
• B est à 1 carreau à gauche et 4 vers le haut de O ; B’ est à 1 carreau à droite et 4 vers le bas.
• C est à 2 carreaux à droite et 3 vers le bas ; C’ est à 2 carreaux à gauche et 3 vers le haut.
• D est à 4 carreaux à gauche et 1 vers le haut ; D’ est à 4 carreaux à droite et 1 vers le bas.

5 Décrire une translation ★★★

1. Pour aller de P à P’, on avance de 4 carreaux vers la droite et de 2 carreaux vers le haut. C’est le même déplacement pour Q vers Q’ et R vers R’.
2. L’image de R est R’. Le point dont l’image est Q’ est Q.
3. [PP’] et [RR’] ont la même longueur, sont parallèles et orientés dans le même sens : ils représentent le même trajet.

6 Quatre points, un parallélogramme ★★★

1. La translation envoie A sur B et C sur D : le trajet de A à B est le même que celui de C à D. Donc ABDC est un parallélogramme (A→B et C→D sont des côtés opposés).
2. Les côtés opposés ont la même longueur : CD = AB = 6 cm.
3. (AB) // (CD) et, dans le parallélogramme ABDC, les autres côtés opposés sont aussi égaux : AC = BD.

7 Quel est le nom le plus précis ? ★★★

1. Quatre angles droits : c’est un rectangle ; comme 5 ≠ 3, ce n’est pas un carré. Rectangle.
2. Quatre côtés égaux : losange (les angles ne sont pas connus, donc on ne peut pas dire carré).
3. Diagonales de même milieu : parallélogramme.
4. Parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur : rectangle.
5. Parallélogramme dont les diagonales sont à la fois égales et perpendiculaires : c’est un rectangle et un losange, donc un carré.

8 Parallélogramme sur quadrillage ★★★

1. De A à B : 5 carreaux vers la droite et 1 vers le haut. De D à C : 5 carreaux vers la droite et 1 vers le haut.
2. De A à D : 2 carreaux vers la droite et 3 vers le haut. De B à C : 2 carreaux vers la droite et 3 vers le haut.
3. Les côtés [AB] et [DC] ont le même déplacement : ils sont parallèles et de même longueur. Un quadrilatère non croisé qui a deux côtés opposés parallèles et de même longueur est un parallélogramme. ABCD est un parallélogramme. (On aurait pu aussi utiliser [AD] et [BC].)

9 Milieux des côtés opposés ★★★

Données : ABCD est un parallélogramme, donc AB = DC, (AB) // (DC), et le sens de A vers B est le même que celui de D vers C. E est le milieu de [AB] et F celui de [CD].

E est sur [AB] : AE = AB ÷ 2. F est sur [CD] : FC = DC ÷ 2. Comme AB = DC, on a AE = FC.

Les points E et F sont sur les droites (AB) et (DC), qui sont parallèles : (AE) // (FC). De plus, A→E et F→C vont dans le même sens que A→B et D→C.

Le quadrilatère AECF a deux côtés opposés [AE] et [FC] parallèles et de même longueur : AECF est un parallélogramme.

10 Calculs d’angles ★★★

1. Deux angles consécutifs sont supplémentaires : angle BAD = 180° − 118° = 62°. Les angles opposés sont égaux : angle BCD = angle BAD = 62° et angle ADC = angle ABC = 118°.
2. Les droites (AB) et (DC) sont parallèles et la droite (BD) est sécante : les angles alternes-internes ABD et CDB sont égaux. Donc angle CDB = 40°. Ensuite, angle DBC = angle ABC − angle ABD = 118° − 40° = 78°.

Contrôle dans le triangle BCD : 62° + 40° + 78° = 180°. ✔

11 Périmètres ★★★

a. Les côtés opposés sont égaux : le périmètre vaut 2 × (a + b). Donc a + b = 34 ÷ 2 = 17 cm. L’autre côté mesure 17 − 9,5 = 7,5 cm. Vérification : 2 × (9,5 + 7,5) = 2 × 17 = 34. ✔

b. Un losange a quatre côtés égaux : 26 ÷ 4 = 6,5 cm.

12 Image d’un triangle ★★★

1. De A à D : 5 carreaux vers la droite et 2 vers le haut. On applique ce déplacement à B et à C : E (9 ; 3) et F (7 ; 5). On relie D, E et F.
2. La translation envoie A sur D et B sur E : ABED est donc un parallélogramme (A→D et B→E sont les mêmes trajets). On vérifie : AB = DE = 3 carreaux, et les deux côtés sont horizontaux, donc parallèles.

13 Un losange à partir de ses diagonales ★★★

Les diagonales d’un losange se coupent en leur milieu O et sont perpendiculaires. Le triangle rectangle formé a pour côtés de l’angle droit 12 ÷ 2 = 6 cm et 16 ÷ 2 = 8 cm.

Pythagore : côté² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, donc le côté mesure √100 = 10 cm.

Périmètre : 4 × 10 = 40 cm.

14 Compléter le parallélogramme ★★★

1. Pour que ABCD soit un parallélogramme, il faut aller de D à C comme on va de A à B : 4 carreaux vers la droite et 1 vers le haut. Donc D est à 4 carreaux à gauche et 1 vers le bas de C : D (2 ; 4). Vérification : de A à D on fait +1 et +3 ; de B à C on fait aussi +1 et +3. ✔
2. O est le milieu de [AC] : abscisse (1 + 6) ÷ 2 = 3,5 ; ordonnée (1 + 5) ÷ 2 = 3. Le milieu de [BD] est ((5 + 2) ÷ 2 ; (2 + 4) ÷ 2) = (3,5 ; 3) : c’est le même point. O (3,5 ; 3).

15 Aire d’un jardin ★★★

1. Aire d’un parallélogramme = base × hauteur = 12 × 6 = 72 m².
2. La même aire s’écrit 8 × h = 72, donc h = 72 ÷ 8 = 9 m.
3. Périmètre : 2 × (12 + 8) = 2 × 20 = 40 m de grillage.

Phrase réponse : le jardin a une aire de 72 m² et il faut 40 m de grillage.

16 Symétrique de D par rapport à C ★★★

Données. ABCD est un parallélogramme : AB = DC et (AB) // (DC), avec le même sens de A vers B que de D vers C.

M est le symétrique de D par rapport à C : C est le milieu de [DM]. Donc D, C et M sont alignés, CM = DC et le sens de C vers M est celui de D vers C.

Conclusion partielle. Les droites (CM) et (DC) sont confondues, donc (CM) // (AB). De plus CM = DC = AB.

Dans le quadrilatère ABMC, les côtés [AB] et [CM] sont parallèles, de même longueur et de même sens : ABMC est un parallélogramme.

17 Quadrilatère de côtés 5, 12 et diagonale 13 ★★★

1. Dans le triangle ABC : AB² + BC² = 25 + 144 = 169 et AC² = 13² = 169. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en B. Un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle : ABCD est un rectangle.
2. Les diagonales d’un rectangle ont la même longueur : BD = AC = 13 cm. Aire = 5 × 12 = 60 cm².

18 Losange et théorème de Pythagore ★★★

1. Un losange est un parallélogramme : O est le milieu de [AC] et de [BD]. De plus ses diagonales sont perpendiculaires : l’angle AOB est droit. Et OA = 8 ÷ 2 = 4 cm.
2. Dans le triangle AOB rectangle en O : AB² = OA² + OB², donc OB² = 25 − 16 = 9 et OB = 3 cm. Comme O est le milieu de [BD], BD = 6 cm.
3. Aire = 12 × 8 × 6 = 24 cm².

19 Une frise ★★★

1. Entre le premier et le sixième motif, il y a 5 translations : 5 × 2,5 = 12,5 cm.
2. Le sixième motif commence à 12,5 cm et mesure 2 cm de large : longueur totale = 12,5 + 2 = 14,5 cm.
3. Avec un 7ème motif, le bord gauche serait à 6 × 2,5 = 15 cm et la frise mesurerait 15 + 2 = 17 cm. Cela rentre juste sur une bande de 17 cm (sans marge).

20 Quelle transformation ? ★★★

De T1 à T2 : chaque sommet avance de 4 carreaux vers la droite et de 2 vers le haut, sans que la figure tourne : c’est une translation de 4 carreaux vers la droite et 2 vers le haut.

De T1 à T3 : le sommet (1 ; 1) a pour image (7 ; 3), et le milieu de ces deux points est ((1 + 7) ÷ 2 ; (1 + 3) ÷ 2) = (4 ; 2) = O. Pour (3 ; 1) → (5 ; 3), le milieu est (4 ; 2) ; pour (1 ; 2) → (7 ; 2), le milieu est (4 ; 2). C’est la symétrie de centre O.

De T2 à T3 : (5 ; 3) → (7 ; 3), (7 ; 3) → (5 ; 3) et (5 ; 4) → (7 ; 2) ont tous pour milieu (6 ; 3) = I. C’est la symétrie de centre I (la figure est retournée « à l’envers »).

21 Doubler un triangle ★★★

1. I est le milieu de [AB] (donnée) et aussi le milieu de [CK] (car K est le symétrique de C par rapport à I). Les diagonales [AB] et [CK] du quadrilatère ACBK ont donc le même milieu I : ACBK est un parallélogramme.
2. Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont égaux : BK = AC = 6,4 cm. Les côtés (AC) et (BK) sont parallèles et la droite (AB) les coupe ; les angles alternes-internes CAB et ABK sont égaux : angle ABK = 47°.

22 Une équation avec un parallélogramme ★★★

1. Les côtés opposés d’un parallélogramme sont égaux : AB = CD, donc 3x + 2 = 5x − 4. On regroupe : 2 + 4 = 5x − 3x, soit 6 = 2x, donc x = 3.
2. AB = 3 × 3 + 2 = 11 cm ; CD = 5 × 3 − 4 = 11 cm ; BC = 3 + 6 = 9 cm (donc AD = 9 cm). Périmètre = 2 × (11 + 9) = 40 cm.