Une somme est paire quand les deux dés ont la même parité : 18 cases, P = 1836 = 12.
La somme 7 est la plus probable (6 chances sur 36).
12 La punaise ★★★
124200 = 0,62 sur 200 lancers ; 6181000 = 0,618 sur 1 000 lancers.
Les fréquences se stabilisent autour de 0,62. On estime la probabilité à environ 0,62. Ce n’est pas une valeur exacte : la punaise n’est pas équilibrée, on ne peut pas la calculer par un simple dénombrement.
500 × 0,62 = 310 : on peut prévoir environ 310 fois (sans certitude).
13 Combien de billes rouges ? ★★★
148400 = 0,37.
0,37 × 50 = 18,5 : il y a probablement 18 ou 19 billes rouges.
Une fréquence est une estimation de la probabilité ; une autre série de tirages donnerait un résultat un peu différent. Le nombre exact de billes ne peut être connu qu’en ouvrant le sac.
Produit 6 : (2 ; 3) et (3 ; 2), donc P = 212 = 16.
Produits 8, 9 et 12 : 3 cases, P = 312 = 14.
15 Tirage avec remise ★★★
À chaque tirage : P(R) = 35 et P(B) = 25.
P(RR) = 35 × 35 = 925 ; P(BB) = 25 × 25 = 425.
RB et BR conviennent : 625 + 625 = 1225 = 1225.
Même couleur : 925 + 425 = 1325. Les deux événements sont contraires : 1325 + 1225 = 1.
16 Tirage sans remise ★★★
Après un premier tirage rouge, il reste 2 R et 2 B (4 boules) : P(R) = 12 et P(B) = 12. Après un premier tirage bleu, il reste 3 R et 1 B : P(R) = 34 et P(B) = 14.
On peut tirer un jeton quand le numéro est impair : 35.
P(gagner) = P(impair) × P(doré) = 35 × 15 = 325.
300 × 325 = 36 : on peut prévoir environ 36 gagnants.
18 Pièces défectueuses ★★★
Premier niveau : A (0,6) et B (0,4). Second niveau : après A, D (0,05) et non D (0,95) ; après B, D (0,1) et non D (0,9).
P(A et D) = 0,6 × 0,05 = 0,03.
P(B et D) = 0,4 × 0,1 = 0,04. Les deux chemins sont incompatibles : P(D) = 0,03 + 0,04 = 0,07.
2 000 × 0,07 = 140 pièces défectueuses environ.
19 Simuler avec un tableur ★★★
La formule renvoie un entier de 1 à 10, avec la même probabilité 110 pour chaque entier. L’événement est « réalisé » quand le résultat est 1, 2 ou 3 : cela fait 3 issues sur 10, donc une probabilité de 310 = 0,3.
Fréquence = 2871000 = 0,287.
Non : c’est une fréquence observée sur une simulation, donc une estimation de la probabilité. Une autre simulation donnerait un nombre voisin mais différent (par exemple 0,31).
On peut utiliser =ALEA.ENTRE.BORNES(1;5) et décider que l’événement est réalisé pour 1 ou 2 : 2 issues sur 5 = 25.
20 Union avec la formule ★★★
P(A ∪ B) = 0,45 + 0,3 − 0,12 = 0,63.
C’est le contraire de A ∪ B : 1 − 0,63 = 0,37.
A sans B : P(A) − P(A ∩ B) = 0,45 − 0,12 = 0,33.
Si A et B étaient incompatibles, P(A ∩ B) = 0 et P(A ∪ B) = 0,45 + 0,3 = 0,75.
21 Le plus grand de deux dés ★★★
Tableau des maximums (36 issues équiprobables).
max
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
2
3
4
5
6
3
3
3
3
4
5
6
4
4
4
4
4
5
6
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
6
6
Le nombre 6 apparaît 11 fois : P = 1136.
Il faut que les deux dés soient 1 ou 2 : 2 × 2 = 4 cases, P = 436 = 19.
Maximum 2 : 3 cases ; 4 : 7 cases ; 6 : 11 cases. Total 21 cases : P = 2136 = 712.
22 Ajouter des jetons ★★★
P(bleu) = 1 − 27 = 57.
Si N est le nombre total de jetons, 57 × N = 15, donc N = 15 × 7 ÷ 5 = 21 jetons. Il y a donc 21 − 15 = 6 jetons rouges (et on retrouve P(rouge) = 621 = 27).
On ajoute x jetons rouges : la probabilité devient 6+x21+x. Elle vaut 12 quand 2 × (6 + x) = 21 + x, soit 12 + 2x = 21 + x, donc x = 9. Vérification : 1530 = 12.
23 Faut-il en conclure que la pièce est truquée ? ★★★
Alice : 710 = 0,7. Léo : 5071000 = 0,507.
Une série de 10 lancers est trop courte : la fréquence varie beaucoup d’une série à l’autre. L’affirmation d’Alice n’est pas justifiée.
Sur 1 000 lancers, la fréquence est très proche de 0,5 : il est raisonnable de penser que la pièce est équilibrée (probabilité proche de 0,5).
Les lancers sont indépendants et le hasard n’a pas de mémoire : la probabilité reste 12.
