Corrigé des exercices de maths 3ème : Trigonométrie dans le triangle rectangle

1 Vocabulaire du triangle ★★★

1. L’angle droit est en F, donc l’hypoténuse est le côté en face : [EG].
2. Le côté opposé à ∠EGF est celui qui ne touche pas G : [EF].
3. Le côté adjacent à ∠EGF est le côté de l’angle droit qui touche G : [FG].
4. Pour ∠FEG, le côté opposé est [FG] et le côté adjacent est [EF] : les rôles sont échangés.

2 Écrire les relations ★★★

Le triangle RST est rectangle en S : son hypoténuse est [RT].

Pour ∠SRT : le côté adjacent est [RS] et le côté opposé est [ST].
cos ∠SRT = RSRT ; sin ∠SRT = STRT ; tan ∠SRT = STRS.

Pour ∠RTS : le côté adjacent est [ST] et le côté opposé est [RS].
cos ∠RTS = STRT ; sin ∠RTS = RSRT ; tan ∠RTS = RSST.

3 Vrai ou faux ? ★★★

L’hypoténuse est [MP].

1. Vrai : pour ∠MPN, le côté opposé est [MN] et l’hypoténuse est [MP].
2. Vrai : pour ∠NMP, le côté opposé est [NP] et le côté adjacent est [MN].
3. Faux : [MN] est le côté opposé à ∠MPN, pas l’adjacent. Le cosinus vaut NP ÷ MP.
4. Vrai : pour ∠MPN, le côté opposé est [MN] et le côté adjacent est [NP].
5. Faux : pour ∠NMP, le côté adjacent est [MN], donc cos ∠NMP = MN ÷ MP.

4 Premiers pas avec la calculatrice ★★★

1. sin 20° ≈ 0,34
2. cos 70° ≈ 0,34
3. tan 35° ≈ 0,70
4. cos 48° ≈ 0,67

Remarque : sin 20° et cos 70° sont égaux. C’est normal : 20° et 70° sont des angles complémentaires (20 + 70 = 90), et le côté opposé à l’un est le côté adjacent à l’autre.

5 Retrouver un angle ★★★

1. x = sin⁻¹(0,5) = 30°.
2. x = cos⁻¹(0,8) ≈ 36,87°, soit 37°.
3. x = tan⁻¹(2) ≈ 63,43°, soit 63°.
4. x = sin⁻¹(0,9) ≈ 64,16°, soit 64°.

6 Quel rapport choisir ? ★★★

1. Opposé et hypoténuse : le sinus. sin α = opposéhypoténuse.
2. Adjacent et hypoténuse : le cosinus. cos α = adjacenthypoténuse.
3. Opposé et adjacent : la tangente. tan α = opposéadjacent.
4. Opposé et hypoténuse : le sinus, puis la touche sin⁻¹ : α = sin⁻¹(opposéhypoténuse).

7 Une longueur avec la tangente ★★★

Dans le triangle ABC rectangle en A, pour l’angle ∠ABC : [AC] est le côté opposé et [AB] est le côté adjacent. On utilise la tangente.

tan ∠ABC = ACAB, soit tan 40° = AC6.

AC = 6 × tan 40° ≈ 5,035.

AC ≈ 5,0 cm.

8 Une hypoténuse avec le sinus ★★★

Dans le triangle DEF rectangle en E, [EF] est le côté opposé à ∠EDF et [DF] est l’hypoténuse. On utilise le sinus.

sin ∠EDF = EFDF, soit sin 35° = 8DF.

DF = 8 ÷ sin 35° ≈ 13,948.

DF ≈ 13,9 cm.

Contrôle : l’hypoténuse doit être plus longue que 8 cm, c’est bien le cas.

9 Un angle avec la tangente ★★★

Dans le triangle GHI rectangle en H, pour l’angle ∠HGI : [HI] est le côté opposé et [GH] est le côté adjacent. On utilise la tangente.

tan ∠HGI = HIGH = 74 = 1,75.

∠HGI = tan⁻¹(1,75) ≈ 60,26°, soit 60°.

Les deux angles aigus sont complémentaires : ∠HIG = 90° − 60° = 30°.

10 Adjacent connu, deux inconnues ★★★

Dans JKL rectangle en K, pour l’angle ∠KJL : [JK] est le côté adjacent, [KL] est le côté opposé et [JL] est l’hypoténuse.

Calcul de KL (opposé et adjacent : tangente) : tan 62° = KL5,4, donc KL = 5,4 × tan 62° ≈ 10,156, soit KL ≈ 10,2 cm.

Calcul de JL (adjacent et hypoténuse : cosinus) : cos 62° = 5,4JL, donc JL = 5,4 ÷ cos 62° ≈ 11,502, soit JL ≈ 11,5 cm.

Vérification avec Pythagore : 132,30 ≈ 132,30, c’est cohérent.

11 Triangle entièrement résolu ★★★

1. ABC est rectangle en B : AC² = AB² + BC² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225, donc AC = √225 = 15 cm.
2. Pour ∠BAC, [BC] est opposé et [AB] est adjacent : tan ∠BAC = 129, donc ∠BAC = tan⁻¹(129) ≈ 53,13°, soit 53°.
   Pour ∠BCA, on peut utiliser le sinus : sin ∠BCA = ABAC = 915 = 0,6, donc ∠BCA ≈ 36,87°, soit 37°.
3. 53° + 37° + 90° = 180°. Les arrondis tombent juste : la somme fait bien 180°.

12 L’échelle du peintre ★★★

Le mur et le sol forment un angle droit : l’échelle est l’hypoténuse d’un triangle rectangle.

1. La hauteur est le côté opposé à l’angle de 72°, l’échelle est l’hypoténuse : sin 72° = hauteur4,2. Donc hauteur = 4,2 × sin 72° ≈ 3,994. L’échelle touche le mur à environ 3,99 m du sol.
2. La distance est le côté adjacent : cos 72° = distance4,2. Donc distance = 4,2 × cos 72° ≈ 1,298. Le pied de l’échelle est à environ 1,30 m du mur.

Vérification : 17,64 ≈ 4,2² = 17,64.

13 Une rampe pour fauteuil roulant ★★★

1. Le schéma est un triangle rectangle : la rampe (5,5 m) est l’hypoténuse, la marche (0,45 m) est le côté vertical opposé à l’angle α, et le sol est le côté adjacent.
2. sin α = 0,455,5 ≈ 0,0818, donc α = sin⁻¹(0,0818) ≈ 4,7°.
3. 4,7° est inférieur à 5° : la rampe convient.

14 Hauteur d’un clocher ★★★

Le clocher est vertical : le triangle formé par le clocher, l’ombre et le rayon est rectangle au pied du clocher. La hauteur est le côté opposé à l’angle de 41° et l’ombre est le côté adjacent : on utilise la tangente.

tan 41° = hauteur14,5, donc hauteur = 14,5 × tan 41° ≈ 12,605.

Le clocher mesure environ 12,6 m.

15 Chasse à l’erreur ★★★

1. Non : BC est l’hypoténuse, donc BC doit être plus longue que AB = 7 cm. Or 4,5 cm est plus court que 7 cm.
2. Lucas a inversé le quotient. Le cosinus est « adjacent ÷ hypoténuse » : ici l’adjacent est AB et l’hypoténuse est BC. La bonne relation est cos 50° = ABBC = 7BC.
   D’où BC = 7 ÷ cos 50° ≈ 10,890, soit BC ≈ 10,9 cm.

16 Triangle isocèle ★★★

1. Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est aussi une hauteur. Donc (CH) est perpendiculaire à (AB) et AHC est rectangle en H, avec AH = 10 ÷ 2 = 5 cm.
2. Pour ∠CAH, [CH] est le côté opposé et [AH] le côté adjacent : tan 50° = CH5, donc CH = 5 × tan 50° ≈ 5,959, soit CH ≈ 6,0 cm.
3. [AC] est l’hypoténuse : cos 50° = AHAC = 5AC, donc AC = 5 ÷ cos 50° ≈ 7,779, soit AC ≈ 7,8 cm.
4. Aire = base × hauteur2 = 10 × 5,9592 ≈ 29,79, soit environ 30 cm².

17 Dimensions d’un rectangle ★★★

1. ABC est rectangle en B (c’est un angle du rectangle). Pour ∠CAB, [AB] est le côté adjacent, [BC] le côté opposé, [AC] l’hypoténuse.
   cos 25° = AB13, donc AB = 13 × cos 25° ≈ 11,782, soit AB ≈ 11,8 cm.
   sin 25° = BC13, donc BC = 13 × sin 25° ≈ 5,494, soit BC ≈ 5,5 cm.
2. Périmètre = 2 × (AB + BC) ≈ 2 × (11,8 + 5,5) = 34,6, soit environ 35 cm.
3. AB² + BC² ≈ 138,82 + 30,18 = 169,00 et 13² = 169. Les résultats sont cohérents.

18 Le toit d’un garage ★★★

1. AH = 8 ÷ 2 = 4 m et AHS est rectangle en H. Pour ∠SAH : [SH] est opposé, [AH] est adjacent. tan 30° = SH4, donc SH = 4 × tan 30° ≈ 2,309. SH ≈ 2,31 m.
2. [AS] est l’hypoténuse : cos 30° = 4AS, donc AS = 4 ÷ cos 30° ≈ 4,619. AS ≈ 4,62 m.
3. Un versant est un rectangle de 4,62 m sur 6 m, soit 27,71 m². Il y a deux versants : 55,43 m², soit environ 55 m².

19 Hauteur d’une tour : deux observations ★★★

1. Dans le triangle SHA rectangle en H : tan 30° = hAH, donc AH = htan 30° ≈ 1,732 × h.
   Dans le triangle SHB rectangle en H : tan 45° = hBH = 1, donc BH = h.
2. A, B et H sont alignés avec B entre A et H : AH − BH = AB = 50. On obtient 1,732 × h − h = 50, soit 0,732 × h = 50.
3. h = 50 ÷ 0,732 ≈ 68,30. La tour mesure environ 68 m.

Remarque : on n’a arrondi qu’à la fin, en gardant la valeur de la calculatrice : avec les valeurs arrondies à trois décimales, on trouve le même résultat au mètre près.

20 Deux bateaux devant un phare ★★★

1. Dans SHB1 rectangle en H : [SH] est opposé à l’angle de 40°, [HB1] est adjacent : tan 40° = 60HB1, donc HB1 = 60 ÷ tan 40° ≈ 71,505, soit 71,5 m.
   Dans SHB2 rectangle en H : tan 65° = 60HB2, donc HB2 = 60 ÷ tan 65° ≈ 27,978, soit 28,0 m.
2. Les trois points étant alignés avec B2 entre B1 et H : B1B2 = HB1 − HB2 ≈ 43,53. Les bateaux sont distants d’environ 44 m.

21 Un cône de révolution ★★★

1. (SO) est perpendiculaire au plan de la base, donc à (OM) : SOM est rectangle en O. SM² = SO² + OM² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169, donc SM = 13 cm.
2. Pour ∠OSM, [OM] est opposé et [SO] adjacent : tan ∠OSM = 512. Donc ∠OSM = tan⁻¹(512) ≈ 22,62°, soit 23°.
3. sin ∠OSM = OMSM = 513, donc ∠OSM = sin⁻¹(513) ≈ 22,62°. cos ∠OSM = SOSM = 1213, donc ∠OSM = cos⁻¹(1213) ≈ 22,62°. Les trois méthodes donnent le même angle, environ 23°.
4. La hauteur coupe l’angle d’ouverture en deux angles égaux : 2 × 22,62° ≈ 45,24°, soit environ 45°.

22 Démontrer des relations ★★★

1. Pour α en B : adjacent = c, opposé = b, hypoténuse = a. Donc cos α = ca, sin α = ba, tan α = bc.
2. cos² α + sin² α = c²a² + b²a² = b² + c²a². D’après le théorème de Pythagore dans ABC rectangle en A, a² = b² + c². Donc le quotient vaut a²a² = 1.
3. sin αcos α = ba ÷ ca = ba × ac = bc = tan α.
4. cos² α = 0,36, donc sin² α = 1 − 0,36 = 0,64. Comme α est aigu, sin α est positif : sin α = √0,64 = 0,8. On a alors tan α = 0,8 ÷ 0,6 = 43.

23 Descente d’un avion ★★★

1. Le schéma est un triangle rectangle : le côté vertical (altitude 1 000 m) est opposé à l’angle de 3°, le sol est le côté adjacent, la trajectoire est l’hypoténuse.
2. tan 3° = 1000d, donc d = 1000 ÷ tan 3° ≈ 19081,1 m, soit environ 19,1 km.
3. sin 3° = 1000L, donc L = 1000 ÷ sin 3° ≈ 19107,3 m, soit environ 19,1 km. Pour un angle aussi petit, la trajectoire est à peine plus longue que la distance au sol.

24 Un triangle qui n’est pas rectangle ★★★

1. Dans ABH rectangle en H : tan 40° = AHBH = 6BH, donc BH = 6 ÷ tan 40° ≈ 7,151, soit 7,15 m.
   Dans ACH rectangle en H : tan 55° = 6HC, donc HC = 6 ÷ tan 55° ≈ 4,201, soit 4,20 m.
2. H est entre B et C, donc BC = BH + HC ≈ 7,151 + 4,201 = 11,352, soit BC ≈ 11,35 m.
3. sin 40° = 6AB, donc AB = 6 ÷ sin 40° ≈ 9,334, soit AB ≈ 9,33 m.
   sin 55° = 6AC, donc AC = 6 ÷ sin 55° ≈ 7,325, soit AC ≈ 7,32 m.