Statistiques descriptives : corrigé des exercices de maths 2de

1 Notes de Malik ★★★

1. Somme : 11 + 14 + 9 + 16 + 12 + 14 + 8 + 15 + 13 = 112 ; il y a 9 notes. Moyenne = 112 ÷ 9 ≈ 12,44.
2. Notes rangées : 8 ; 9 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 14 ; 15 ; 16. n = 9 est impair : la médiane est la 5ᵉ valeur, Me = 13.
3. Étendue = 16 − 8 = 8.

2 Températures de janvier ★★★

Somme : −2 + 3 + 0 + 5 + 1 + 4 = 11. Moyenne = 11 ÷ 6 ≈ 1,83 °C.

Rangées : −2 ; 0 ; 1 ; 3 ; 4 ; 5. n = 6 est pair : médiane = (1 + 3) ÷ 2 = 2 °C.

Étendue = 5 − (-2) = 7 °C.

3 Frères et sœurs ★★★

1. 6 + 10 + 7 + 3 + 2 = 28.
2. Moyenne = (6 × 0 + 10 × 1 + 7 × 2 + 3 × 3 + 2 × 4) ÷ 28 = 41 ÷ 28 ≈ 1,46.
3. n = 28 est pair : on cherche les valeurs de rang 14 et 15. Effectifs cumulés : 6 ; 16 ; 23 ; 26 ; 28. Les 14ᵉ et 15ᵉ valeurs valent 1 et 1 (le cumul dépasse 14 pour la valeur 1 et 15 pour la valeur 1). Me = 1.

4 Pièces des appartements ★★★

1. Fréquences : 1 : 4/50 = 8 % ; 2 : 11/50 = 22 % ; 3 : 20/50 = 40 % ; 4 : 9/50 = 18 % ; 5 : 6/50 = 12 %.

2. Pièces	1	2	3	4	5
   Effectif cumulé	4	15	35	44	50
   Fréquence cumulée	8 %	30 %	70 %	88 %	100 %

3. On lit la colonne « 3 » : 70 % des logements ont au plus 3 pièces (35 logements sur 50).

5 Quartiles d’une série brute ★★★

On range : 17 ; 18 ; 19 ; 21 ; 22 ; 23 ; 25 ; 26 ; 27 ; 28 ; 30 ; 31. n = 12.

• 12 ÷ 4 = 3 : Q₁ = 19 (3ᵉ valeur).
• 3 × 12 ÷ 4 = 9 : Q₃ = 27 (9ᵉ valeur).
• n pair : Me = (23 + 25) ÷ 2 = 24.

Écart interquartile : 27 − 19 = 8. Étendue : 31 − 17 = 14.

6 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux. Contre-exemple : 1 ; 2 ; 9 a pour médiane 2 et pour moyenne 4.
2. Vrai. C’est la définition de la médiane (au moins 50 % des valeurs sont ≤ Me, et au moins 50 % sont ≥ Me).
3. Faux. σ est une racine carrée de la variance, qui est une moyenne de carrés : il est positif ou nul.
4. Faux. Avec y = x + 5, on a a = 1 : l’écart-type est |1|·σ = σ, il ne change pas. Translater les valeurs ne change pas leur dispersion.
5. Vrai. Au moins 75 % des valeurs sont ≤ Q₃ et au moins 75 % sont ≥ Q₁ : l’intervalle [Q₁ ; Q₃] en contient au moins 50 %.

7 Lire un diagramme en boîte ★★★

1. Minimum 4 ; Q₁ = 9 ; Me = 12 ; Q₃ = 16 ; maximum 25.
2. Étendue : 25 − 4 = 21. Écart interquartile : 16 − 9 = 7.
3. La boîte contient au moins 50 % des cyclistes.
4. Non : le diagramme ne donne que cinq valeurs de position, pas la somme des valeurs. On ne peut pas en déduire la moyenne.

8 Écart-type d’une petite série ★★★

Moyenne : 30 ÷ 5 = 6.

Écarts : −4 ; −1 ; 0 ; 2 ; 3 ; carrés : 16 ; 1 ; 0 ; 4 ; 9 ; somme 30.

V = 30 ÷ 5 = 6. σ = √6 ≈ 2,45.

9 Variance avec des effectifs ★★★

Moyenne = (2 × 8 + 4 × 10 + 8 × 12 + 4 × 14 + 2 × 16) ÷ 20 = 240 ÷ 20 = 12.

V = [2 × (8 − 12)² + 4 × (10 − 12)² + 8 × (12 − 12)² + 4 × (14 − 12)² + 2 × (16 − 12)²] ÷ 20 = (32 + 16 + 0 + 16 + 32) ÷ 20 = 96 ÷ 20 = 4,8.

σ = √4,8 ≈ 2,19.

10 Deux façons de calculer la variance ★★★

1. Moyenne 4. Carrés des écarts : 9 ; 1 ; 1 ; 1 ; 16 ; somme 28 ; V = 28 ÷ 5 = 5,6.
2. Carrés des valeurs : 1 ; 9 ; 9 ; 25 ; 64, de moyenne 108 ÷ 5 = 21,6. Puis 21,6 − 4² = 21,6 − 16 = 5,6.
3. On trouve le même résultat, c’est la formule de König. Elle évite de calculer tous les écarts quand la moyenne n’est pas ronde.

11 Quartiles avec un tableau ★★★

1. Points	0	1	2	3	4	5
   Effectif cumulé	3	10	22	31	37	40

2. n = 40. 40 ÷ 4 = 10 : Q₁ est la 10ᵉ valeur ; le cumul vaut 10 pour la valeur 1 : Q₁ = 1. Les valeurs de rang 20 et 21 sont dans la classe de cumul 22 : toutes deux valent 2, Me = 2. 3 × 40 ÷ 4 = 30 : la 30ᵉ valeur est 3 (cumul 22 puis 31), Q₃ = 3.
3. Écart interquartile = 3 − 1 = 2. Moyenne = 97 ÷ 40 = 2,425.

12 Tracer un diagramme en boîte ★★★

1. (17 ; 19 ; 24 ; 27 ; 31).
2. Voici le diagramme :
3. Au moins 50 % des matchs (au moins la moitié).

13 Une valeur extrême ★★★

1. n = 7 : Me = 2,1 ; Q₁ : 7 ÷ 4 = 1,75 donc 2ᵉ valeur, 1,9 ; Q₃ : 5,25 donc 6ᵉ valeur, 2,4. Moyenne = 14,9 ÷ 7 ≈ 2,13. σ ≈ 0,24.
2. n = 8 : Me = (2,1 + 2,2) ÷ 2 = 2,15 ; Q₁ (2ᵉ valeur) = 1,9 ; Q₃ (6ᵉ valeur) = 2,4. Moyenne = 26,9 ÷ 8 ≈ 3,36. σ ≈ 3,27.
3. La moyenne passe de 2,13 à 3,36 et l’écart-type de 0,24 à 3,27 : ils sont très sensibles à la valeur extrême. La médiane (2,1 → 2,15) et les quartiles bougent à peine. Pour décrire le salaire « typique », la médiane est plus fidèle.

14 Degrés Celsius et Fahrenheit ★★★

1. Moyenne 18 ; écarts −6 ; −3 ; 0 ; 3 ; 6 ; V = 90 ÷ 5 = 18 ; σ = √18 ≈ 4,24 °C.
2. Avec a = 1,8 et b = 32 : moyenne = 1,8 × 18 + 32 = 64,4 °F ; écart-type = 1,8 × 4,24 ≈ 7,64 °F (le +32 ne joue pas).
3. Valeurs en °F : 53,6 ; 59 ; 64,4 ; 69,8 ; 75,2 ; moyenne 64,4 ; écart-type ≈ 7,64 : on retrouve les mêmes résultats.

15 Deux classes ★★★

1. Groupe A : moyenne ≈ 11,55 ; Me = 12 ; Q₁ = 9 ; Q₃ = 14 ; σ ≈ 3,06.
   Groupe B : moyenne ≈ 11,91 ; Me = 12 ; Q₁ = 10 ; Q₃ = 14 ; σ ≈ 3,87. (Ici n = 11 : Q₁ est la 3ᵉ valeur et Q₃ la 9ᵉ.)
3. Les positions sont très proches (médianes 12 et 12) : les deux groupes ont un niveau comparable. En revanche le groupe B est plus dispersé (écart-type 3,87 contre 3,06, étendue 15 contre 11) : il est plus hétérogène.

16 Moyenne de deux groupes ★★★

1. Somme des notes du premier groupe : 24 × 11,5 = 276 ; du second : 16 × 13,25 = 212. Moyenne = (276 + 212) ÷ 40 = 488 ÷ 40 = 12,2.
2. Non : la médiane dépend de la répartition des notes, pas seulement des moyennes des groupes. La moyenne est « additive », pas la médiane.

17 Données en classes ★★★

1. Centres : 5 ; 15 ; 25 ; 35 ; 50. Moyenne estimée = (8 × 5 + 22 × 15 + 35 × 25 + 25 × 35 + 10 × 50) ÷ 100 = 2620 ÷ 100 = 26,2 min (valeur estimée).
2. Effectifs cumulés : 8 ; 30 ; 65 ; 90 ; 100. Q₁ est la 25ᵉ valeur : classe [10 ; 20[ (cumul 8 puis 30). La médiane (50ᵉ et 51ᵉ valeurs) est dans [20 ; 30[ (30 puis 65). Q₃, 75ᵉ valeur, est dans [30 ; 40[ (65 puis 90).

18 Quel salaire annoncer ? ★★★

1. Somme = 6 × 1600 + 7 × 1800 + 4 × 2000 + 2 × 2500 + 1 × 6000 = 41200 ; moyenne = 41200 ÷ 20 = 2060 €. Cumuls : 6 ; 13 ; 17 ; 19 ; 20. Les valeurs de rang 10 et 11 valent 1800 et 1800 : Me = 1800 €. Q₁ (5ᵉ valeur) = 1600 € ; Q₃ (15ᵉ valeur) = 2000 €. V = 883400 (en €²) donc σ ≈ 940 €.
2. Le chiffre est exact mais trompeur : 17 salariés sur 20 gagnent moins que la moyenne, car un seul salaire de 6 000 € la tire vers le haut. Le syndicat a raison sur le fond : la médiane (1800 €) décrit mieux la situation.
3. La médiane et les quartiles (donc l’écart interquartile 400 €) : ils ne sont pas déformés par le salaire extrême.

19 Valeur manquante ★★★

1. Moyenne = 9 + 12 + x + 14 + 10 + 136 = 58 + x6 = 12, donc 58 + x = 72 et x = 14.
2. Série rangée : 9 ; 10 ; 12 ; 13 ; 14 ; 14. n = 6 : Me = (12 + 13) ÷ 2 = 12,5 ; 6 ÷ 4 = 1,5 donc Q₁ est la 2ᵉ valeur : 10 ; 3 × 6 ÷ 4 = 4,5 donc Q₃ est la 5ᵉ valeur : 14. Écarts à 12 : −3 ; −2 ; 0 ; 1 ; 2 ; 2 ; carrés : 9 ; 4 ; 0 ; 1 ; 4 ; 4 ; V = 22 ÷ 6 ≈ 3,67 ; σ ≈ 1,91.

20 Ajouter une valeur ★★★

1. Moyenne = 50 ÷ 5 = 10. Écarts : −4 ; −2 ; 0 ; 2 ; 4 ; carrés : 16 ; 4 ; 0 ; 4 ; 16 ; V = 40 ÷ 5 = 8.
2. Moyenne = (50 + 10) ÷ 6 = 10 : inchangée, car on ajoute une valeur égale à la moyenne. L’écart de la nouvelle valeur est 0 : la somme des carrés reste 40 mais elle est divisée par 6 : V = 40 ÷ 6 ≈ 6,67 : la variance diminue.
3. Moyenne = (50 + 20) ÷ 6 = 70 ÷ 6 ≈ 11,67. En calculant V = (moyenne des carrés) − (moyenne)² = 156,67 − 136,11 ≈ 20,56, donc σ ≈ 4,53 : la valeur éloignée augmente fortement la dispersion.

21 Polygone des fréquences cumulées ★★★

Les points ont pour ordonnées 12 ; 40 ; 70 ; 90 ; 100 % (effectifs 6 ; 14 ; 15 ; 10 ; 5, cumulés 6 ; 20 ; 35 ; 45 ; 50).

1. Entre 4 min (40 %) et 6 min (70 %), la courbe est un segment. Pour 50 % : 4 + 2 × (10 ÷ 30) ≈ 4,67 min. Graphiquement : un peu moins de 5 min.
2. Q₁ (25 %) : entre 2 min (12 %) et 4 min (40 %) : 2 + 2 × (13 ÷ 28) ≈ 2,93 min. Q₃ (75 %) : entre 6 min (70 %) et 8 min (90 %) : 6 + 2 × (5 ÷ 20) = 6,5 min.
3. Pour 5 min : entre 40 % et 70 %, au milieu : 40 + 30 ÷ 2 = 55 % environ.

22 Deux lanceurs de javelot ★★★

1. A : 378 ÷ 6 = 63 ; B : 378 ÷ 6 = 63. Même moyenne : 63 m.
2. A : carrés des écarts 1 ; 1 ; 0 ; 4 ; 4 ; 0, V = 10 ÷ 6 ≈ 1,67, σ_A ≈ 1,29 m. B : carrés 64 ; 49 ; 1 ; 25 ; 9 ; 16, V = 164 ÷ 6 ≈ 27,33, σ_B ≈ 5,23 m.
3. À moyennes égales, A est beaucoup plus régulier (σ_A ≈ 1,29 contre 5,23). Tous ses lancers dépassent 60 m, alors que B a deux lancers sous 60 m. On choisit A.

23 Démonstrations ★★★

1. Σ(x_i − x̄) = Σx_i − n·x̄ = n·x̄ − n·x̄ = 0, car Σx_i = n·x̄.
2. Σy_i = aΣx_i + n·b donc, en divisant par n : ȳ = a·x̄ + b.
3. y_i − ȳ = a·x_i + b − a·x̄ − b = a(x_i − x̄). Donc (y_i − ȳ)² = a²(x_i − x̄)². En faisant la moyenne : V(y) = a²·V(x). Enfin σ(y) = √(a²·V(x)) = |a|·σ.