La géométrie de la 2de réunit tout ce que tu as appris au collège (Pythagore, Thalès, aires, volumes) et le met au service de raisonnements plus précis : distances, lieux de points, trigonométrie, solides coupés par un plan. Dans ce chapitre, on travaille sans repère : pas de coordonnées, seulement des figures, des propriétés et des calculs. À la fin, tu sauras justifier proprement une construction, calculer une hauteur, un angle ou un volume, et te repérer dans l’espace.
1. Rappels : configurations et théorèmes du collège
Si ABC est rectangle en B, alors AC² = AB² + BC². Réciproquement, si dans un triangle ABC on a AC² = AB² + BC², alors ABC est rectangle en B.
Soit ABC un triangle, M un point de (AB) et N un point de (AC). Si (MN) // (BC), alors AMAB = ANAC = MNBC. Réciproquement, si AMAB = ANAC et si les points M, B, A d’une part, N, C, A d’autre part sont alignés dans le même ordre, alors (MN) // (BC).
Dans le triangle ABC rectangle en B avec AB = 9 cm et BC = 12 cm, on a AC² = 81 + 144 = 225 donc AC = 15 cm. Si M est le point de [AB] tel que AM = 3 cm et N le point de [AC] tel que (MN) // (BC), alors 39 = AN15 = MN12, d’où AN = 5 cm et MN = 4 cm.
Avant d’écrire « d’après le théorème de… », vérifie toujours les hypothèses (angle droit ? droites parallèles ?) et cite-les dans ta rédaction. Un théorème sans ses conditions ne démontre rien.
Rappelle-toi aussi les propriétés de reconnaissance : un quadrilatère est un parallélogramme s’il a ses diagonales de même milieu, ou deux côtés opposés parallèles et de même longueur ; c’est un losange s’il a quatre côtés égaux ; un rectangle s’il a trois angles droits.
2. Projeté orthogonal et distance d’un point à une droite
Soit d une droite et M un point. Le projeté orthogonal de M sur d est le point H de d tel que la droite (MH) soit perpendiculaire à d. Si M est sur d, alors H = M.
La distance du point M à la droite d est la longueur MH, où H est le projeté orthogonal de M sur d.
Pour tout point K de la droite d, on a MK ≥ MH, avec égalité seulement si K = H. Le projeté orthogonal est donc le point de d le plus proche de M.
Démonstration. Prenons K sur d, distinct de H. Le triangle MHK est rectangle en H, donc d’après le théorème de Pythagore MK² = MH² + HK². Comme HK > 0, on a MK² > MH², et comme ces longueurs sont positives, MK > MH. ∎
Dans un triangle ABC, la hauteur issue de A est le segment [AH] où H est le projeté orthogonal de A sur (BC). Son aire vaut 12 × BC × AH. Dans un parallélogramme, l’aire est le produit d’un côté par la hauteur correspondante.
Dans un triangle qui a un angle obtus, le pied de la hauteur issue d’un sommet peut tomber en dehors du côté opposé, sur son prolongement. C’est pourquoi on parle du projeté sur la droite (BC), pas sur le segment [BC].
Soit d une droite et k > 0. L’ensemble des points situés à la distance k de d est formé de deux droites parallèles à d, situées de part et d’autre de d, chacune à la distance k de d.
- Calcule l’aire du triangle avec une base et la hauteur que tu connais.
- Écris la même aire avec la base dont tu veux la hauteur : 12 × base × hauteur inconnue.
- Résous l’équation.
Exemple : ABC rectangle en A, AB = 6 cm, AC = 8 cm, donc BC = 10 cm. L’aire vaut 12 × 6 × 8 = 24 cm². Si H est le projeté de A sur (BC), alors 12 × 10 × AH = 24, donc AH = 4,8 cm.
3. Médiatrice, bissectrice et cercles
La médiatrice d’un segment [AB] est la droite perpendiculaire à (AB) passant par son milieu.
Un point M appartient à la médiatrice de [AB] si et seulement si MA = MB.
Démonstration (sens direct). Soit I le milieu de [AB] et M un point de la médiatrice, distinct de I. Les triangles MIA et MIB sont rectangles en I, avec IA = IB. Par Pythagore, MA² = MI² + IA² = MI² + IB² = MB², donc MA = MB. Si M = I, c’est évident. ∎
La bissectrice d’un angle est la demi-droite issue du sommet qui le partage en deux angles de même mesure. Ses points sont équidistants des deux côtés de l’angle.
Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes en un point O, équidistant des trois sommets. Le cercle de centre O passant par les sommets est le cercle circonscrit au triangle.
Un triangle est rectangle en A si et seulement si A appartient au cercle de diamètre [BC]. Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse, et la médiane issue de l’angle droit vaut la moitié de l’hypoténuse.
Les trois bissectrices d’un triangle se coupent en un point équidistant des trois côtés : c’est le centre du cercle inscrit. Une droite est tangente à un cercle de centre O en un point T si elle est perpendiculaire au rayon [OT] : T est alors le projeté orthogonal de O sur la tangente.
[AB] mesure 10 cm. Un point M de sa médiatrice vérifie MA = 13 cm. Soit I le milieu de [AB] : IA = 5 cm et MIA est rectangle en I, donc MI² = 13² − 5² = 144 et MI = 12 cm. La distance de M à la droite (AB) est donc 12 cm.
4. Trigonométrie dans le triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu α :
- cos α = adjacenthypoténuse
- sin α = opposéhypoténuse
- tan α = opposéadjacent
Pour tout angle aigu α : 0 < cos α < 1, 0 < sin α < 1, tan α = sin α ÷ cos α et (cos α)² + (sin α)² = 1.
Justification. Avec les notations du dessin, cos α = AB/AC et sin α = BC/AC. Donc (cos α)² + (sin α)² = (AB² + BC²) ÷ AC² = AC² ÷ AC² = 1 d’après Pythagore. De plus sin α ÷ cos α = BC ÷ AB = tan α. ∎
| Angle α | 30° | 45° | 60° |
|---|---|---|---|
| cos α | √32 | √22 | 12 |
| sin α | 12 | √22 | √32 |
| tan α | √33 | 1 | √3 |
- Repère l’angle étudié, l’hypoténuse (face à l’angle droit), le côté opposé et le côté adjacent à cet angle.
- Choisis le rapport qui contient la donnée connue et l’inconnue.
- Écris l’égalité, résous-la et arrondis à la précision demandée.
Pour trouver un angle, on utilise la touche cos⁻¹, sin⁻¹ ou tan⁻¹ de la calculatrice, réglée en degrés.
Le triangle ABC est rectangle en B, avec ∠A = 40° et AC = 8 cm. Le côté BC est opposé à A et AC est l’hypoténuse : BC = 8 × sin 40° ≈ 5,1 cm. Le côté AB est adjacent : AB = 8 × cos 40° ≈ 6,1 cm. Enfin ∠C = 90° − 40° = 50°.
Vérifie le mode de ta calculatrice : « DEG » pour des degrés. En mode « RAD », sin 40 donne un résultat tout à fait différent. Et la trigonométrie ne s’applique que dans un triangle rectangle.
La trigonométrie permet aussi de calculer une hauteur : si ABC a un angle B de mesure β et que H est le projeté de A sur (BC), alors AH = AB × sin β.
5. Aires et périmètres usuels
| Figure | Aire | Périmètre |
|---|---|---|
| Rectangle (L, l) | L × l | 2(L + l) |
| Parallélogramme (base b, hauteur h) | b × h | 2(a + b) avec a, b les côtés |
| Triangle (base b, hauteur h) | 12 × b × h | somme des côtés |
| Trapèze (bases B et b, hauteur h) | (B+b)2 × h | somme des côtés |
| Disque de rayon r | π r² | 2π r |
| Secteur angulaire d’angle α° | α360 × π r² | α360 × 2π r + 2r |
Un secteur de disque de rayon 6 cm et d’angle 60° a pour aire 60360 × π × 6² = 6π ≈ 18,8 cm². Son arc mesure 60360 × 2π × 6 = 2π ≈ 6,3 cm.
Pour une figure composée, découpe-la en figures usuelles (rectangle, triangle, demi-disque), calcule chaque aire séparément, puis additionne ou soustrais. Garde les valeurs exactes (avec π ou √) jusqu’à la dernière ligne, puis arrondis une seule fois.
6. Solides usuels : aires et volumes
| Solide | Volume | Aire |
|---|---|---|
| Pavé droit (a, b, c) | a × b × c | 2(ab + bc + ac) |
| Cube d’arête a | a³ | 6a² |
| Cylindre (rayon r, hauteur h) | π r² h | latérale : 2π r h |
| Pyramide (aire de base B, hauteur h) | 13 × B × h | somme des faces |
| Cône (rayon r, hauteur h) | 13 × π r² h | latérale : π r g |
| Boule de rayon R | 43 π R³ | sphère : 4π R² |
Dans un cône de révolution de hauteur h et de rayon de base r, la génératrice g (longueur d’un segment joignant le sommet à un point du cercle de base) vérifie g² = h² + r², car le triangle formé par la hauteur, un rayon et la génératrice est rectangle.
Cône de rayon 6 cm et de hauteur 8 cm. Génératrice : g² = 64 + 36 = 100 donc g = 10 cm. Volume : 13 × π × 36 × 8 = 96π ≈ 301,6 cm³. Aire latérale : π × 6 × 10 = 60π ≈ 188,5 cm².
Le facteur 13 des pyramides et des cônes est souvent oublié, et le rayon d’une boule se met au cube, pas au carré. Vérifie aussi que tes mesures sont dans la même unité avant de calculer un volume.
7. Sections planes, agrandissement et réduction
- Un pavé droit coupé par un plan parallèle à une face : la section est un rectangle identique à cette face.
- Un cylindre coupé par un plan parallèle à sa base : un disque de même rayon ; parallèle à l’axe : un rectangle.
- Une pyramide ou un cône coupé par un plan parallèle à la base : une réduction de la base.
- Une boule coupée par un plan : un disque.
Quand on multiplie toutes les longueurs d’une figure ou d’un solide par k > 0 :
- les longueurs sont multipliées par k ;
- les aires sont multipliées par k² ;
- les volumes sont multipliés par k³.
Les angles ne changent pas.
Si le plan coupe la hauteur à la distance h′ du sommet et que la hauteur totale vaut h, la section est une réduction de la base de rapport k = h′h, et le petit solide obtenu (pyramide ou cône) est une réduction du grand de rapport k.
Pyramide de hauteur 12 cm dont la base est un carré de côté 9 cm. Un plan parallèle à la base passe à 4 cm du sommet : k = 412 = 13. La section est un carré de côté 3 cm, d’aire 9 cm². Le grand volume est 13 × 81 × 12 = 324 cm³ ; le petit vaut 324 × (13)³ = 12 cm³, ce que confirme 13 × 9 × 4 = 12.
Si un plan est à la distance d du centre O d’une boule de rayon R (avec d < R), la section est un disque de centre H (projeté orthogonal de O sur le plan) et de rayon r = √(R² − d²). Si d = R, le plan est tangent à la sphère en un seul point.
8. Droites et plans de l’espace
- Deux droites de l’espace sont soit coplanaires (parallèles ou sécantes), soit non coplanaires : elles n’ont alors aucun point commun et ne sont pas parallèles.
- Une droite et un plan sont sécants en un point, parallèles, ou la droite est contenue dans le plan.
- Deux plans sont parallèles (confondus ou sans point commun) ou sécants suivant une droite.
- Si deux plans parallèles sont coupés par un troisième plan, les deux droites d’intersection sont parallèles.
- Si une droite est parallèle à une droite d’un plan, elle est parallèle à ce plan (si elle n’y est pas contenue).
- Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan ; elle est alors orthogonale à toutes les droites du plan.
Les arêtes (AB) et (CG) ne sont ni parallèles ni sécantes : elles sont non coplanaires. L’arête (CG) est orthogonale au plan (ABC) puisqu’elle est orthogonale à (CB) et à (CD), deux droites sécantes de ce plan. Le plan (BDG) coupe le cube suivant un triangle équilatéral de côté a√2 si a est l’arête.
- Place les trois points qui définissent le plan.
- Relie deux points situés sur une même face : leur segment est une arête de la section.
- Si deux faces sont parallèles, la section y laisse deux segments parallèles (utilise la propriété sur les plans parallèles).
- Termine en repassant en trait plein les parties visibles et en pointillés les parties cachées.
Dans l’espace, dessine toujours les arêtes cachées en pointillés et nomme tes sommets : une figure claire règle déjà la moitié du problème !
À retenir
- Le projeté orthogonal H de M sur d est tel que (MH) ⟂ d ; la distance de M à d est MH, la plus courte distance de M à un point de d.
- Aire d’un triangle : 12 × base × hauteur ; une hauteur peut se calculer avec l’aire.
- Un point est sur la médiatrice de [AB] si et seulement si MA = MB ; les trois médiatrices d’un triangle se coupent au centre du cercle circonscrit.
- Dans un triangle rectangle : cos = adjacent/hypoténuse, sin = opposé/hypoténuse, tan = opposé/adjacent ; (cos α)² + (sin α)² = 1.
- Valeurs remarquables : sin 30° = 12, cos 45° = sin 45° = √22, cos 30° = √32, tan 60° = √3.
- Volumes : pyramide 13 B h ; cône 13 π r² h ; cylindre π r² h ; boule 43 π R³.
- Rapport k : longueurs × k, aires × k², volumes × k³.
- Une section parallèle à la base d’une pyramide ou d’un cône est une réduction de rapport h′h.
- Dans l’espace, deux plans parallèles coupés par un troisième donnent deux droites parallèles.