Symétrie axiale, médiatrice et bissectrice : corrigé des exercices de maths 6ème

1 Symétriques sur quadrillage ★★★

L’axe est la droite verticale située à 5 carreaux du bord gauche. A est à 3 carreaux à gauche de l’axe, donc A′ est à 3 carreaux à droite, en (8 ; 3). B est à 1 carreau à gauche : B′ est à 1 carreau à droite, en (6 ; 1). D est à 3 carreaux à droite : D′ est à 3 carreaux à gauche, en (2 ; 2). Le point C est sur l’axe : il est son propre symétrique.

2 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : un point de l’axe est à distance 0 de l’axe, son symétrique est lui-même.
2. Vrai : la symétrie conserve les longueurs.
3. Faux : elle conserve les angles, le symétrique mesure 40°.
4. Vrai : le rayon est une longueur, elle est conservée.
5. Faux : la symétrie axiale conserve les aires.

3 Distances à l’axe ★★★

1. M′ est à la même distance de l’axe que M : 3,5 cm.
2. (d) coupe [MM′] en son milieu : MM′ = 3,5 + 3,5 = 7 cm.
3. N est à la moitié de 9 cm de l’axe : 9 ÷ 2 = 4,5 cm.

4 Compter les axes ★★★

1. 2 axes (le rectangle n’est pas un carré) : les deux droites qui joignent les milieux des côtés opposés.
2. 4 axes : 2 médiatrices des côtés et 2 diagonales.
3. 3 axes : un par sommet.
4. 0 axe : aucun côté n’est égal à un autre.
5. 2 axes : un vertical et un horizontal.
6. 6 axes : un polygone régulier à n côtés a n axes.

5 Angle et longueur ★★★

1. M est sur l’axe, la symétrie conserve les longueurs : MA′ = MA = 4,2 cm.
2. Elle conserve les angles : yMA′ = yMA = 52°.
3. A et A′ sont de part et d’autre de l’axe, donc AMA′ = 52° + 52° = 104°.

6 Symétrique d’un triangle ★★★

On compte les carreaux entre chaque sommet et l’axe. A est à 1 carreau au-dessus : A′ est 1 carreau en dessous. B est à 3 carreaux au-dessus : B′ est 3 carreaux en dessous. C est sur l’axe : C′ = C. On relie A′, B′ et C′.

Le point C est sur l’axe, c’est donc son propre symétrique.

7 Bissectrices et calculs ★★★

1. xOz = 64 ÷ 2 = 32°.
2. zOy = 130 ÷ 2 = 65°.
3. xOy = 27 × 2 = 54°.

8 Symétrie par une diagonale ★★★

La droite (d) passe par les sommets (0 ; 0) et (7 ; 7). Le symétrique d’un point par rapport à cette diagonale s’obtient en échangeant les deux nombres. A (1 ; 4) a pour symétrique A′ (4 ; 1). B (2 ; 6) a pour symétrique B′ (6 ; 2). C (3 ; 4) a pour symétrique C′ (4 ; 3).

9 Le cerf-volant ★★★

1. Il a un seul axe de symétrie. Les deux axes d’un losange n’existent pas ici car les côtés ne sont pas tous égaux.
2. L’axe est la droite (AC) : A et C sont à égale distance de B et de D.
3. Le symétrique de B par rapport à (AC) est D. Donc (AC) est la médiatrice du segment [BD].

10 Périmètres et médiatrice ★★★

1. M est à égale distance de A et de B : MB = 5 cm. Périmètre = 5 + 5 + 8 = 18 cm.
2. NA = NB. Les deux côtés égaux mesurent ensemble 20 − 8 = 12 cm, donc NA = 12 ÷ 2 = 6 cm.

11 Peut-on construire ? ★★★

La moitié de [AB] mesure 7 ÷ 2 = 3,5 cm.

• 2 cm : c’est plus petit que 3,5 cm. Les deux arcs ne se croisent pas : impossible.
• 3,5 cm : les deux arcs se touchent seulement au milieu de [AB] ; on obtient un seul point, on ne peut pas tracer la droite.
• 5 cm : 5 est plus grand que 3,5. Les arcs se coupent en deux points : possible.

12 Médiatrice : vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : c’est la propriété caractéristique.
2. Faux : elle passe par le milieu de [AB], pas par les extrémités.
3. Vrai : c’est la réciproque de la propriété.
4. Vrai : par définition elle est perpendiculaire à (AB) en son milieu.
5. Faux : une seule médiatrice.

13 Nature d’un triangle ★★★

1. Deux angles égaux : ABC est isocèle en C. De plus C = 180 − 48 − 48 = 84°.
2. F = 180 − 50 − 65 = 65°. E = F = 65° : DEF est isocèle en D.
3. I = 180 − 60 − 60 = 60° : trois angles de 60°, GHI est équilatéral.

14 Angles d’un triangle isocèle ★★★

1. Le triangle est isocèle en A : les angles à la base sont égaux, donc ACB = 65°.
2. BAC = 180 − 65 − 65 = 50°.
3. L’axe passe par A : c’est la bissectrice de BAC. Chaque angle mesure 50 ÷ 2 = 25°.

15 Bissectrices : calculs ★★★

1. 124 ÷ 2 = 62°.
2. 28 × 2 = 56°.
3. 83 ÷ 2 = 41,5°.

16 Deux bissectrices ★★★

1. 50 + 130 = 180° : les deux angles forment un angle plat.
2. tAy = 50 ÷ 2 = 25° ; yAv = 130 ÷ 2 = 65°.
3. tAv = tAy + yAv = 25 + 65 = 90°. L’angle tAv est un angle droit : les bissectrices de deux angles adjacents supplémentaires sont perpendiculaires.

17 Bissectrice dans un rectangle ★★★

1. L’angle ABC est droit (90°). Sa bissectrice le partage en deux angles de 45° : EBC = 45°.
2. Le triangle BCE est rectangle en C avec un angle de 45° : son troisième angle vaut 180 − 90 − 45 = 45°. Il a deux angles égaux, il est rectangle isocèle en C.
3. CE = CB = 3 cm. DE = DC − CE = 7 − 3 = 4 cm.

18 Programme de construction ★★★

1. L’ordre est C, D, B, A.
2. M et N sont sur le même arc de cercle de centre O : OM = ON (rayon).
3. On a gardé le même écartement du compas pour les deux arcs de centres M et N : PM = PN.

Ainsi la figure OMPN est symétrique par rapport à (OP), donc [OP) partage l’angle en deux angles égaux.

19 Polygones réguliers ★★★

1. Un polygone régulier à n côtés a n axes : 5 axes pour le pentagone, 12 pour le polygone à 12 côtés.
2. 9 côtés.
3. Non : ses angles sont égaux mais pas ses côtés (8 cm et 3 cm par exemple). Il a seulement 2 axes alors qu’un polygone régulier à 4 côtés (le carré) en a 4.

20 Du triangle au losange ★★★

1. B et C sont sur l’axe (BC) : ils sont leurs propres symétriques. La symétrie conserve les longueurs : DB = AB = 5 cm et DC = AC = 5 cm.
2. Les quatre côtés AB, BD, DC, CA mesurent 5 cm : ABDC est un losange.
3. Périmètre = 4 × 5 = 20 cm.

21 Trois points, un cercle ★★★

1. O est sur la médiatrice de [AB], donc OB = OA = 4,5 cm. O est sur la médiatrice de [BC], donc OC = OB = 4,5 cm.
2. OA = OC : O est à égale distance de A et de C, donc O est aussi sur la médiatrice de [AC]. Les trois médiatrices du triangle se coupent en O.
3. C’est un cercle de centre O et de rayon 4,5 cm. Il passe par A, B et C. Son diamètre est 2 × 4,5 = 9 cm.

22 Où placer la fontaine ? ★★★

1. F est équidistante de A et de B : elle est sur la médiatrice du segment [AB].
2. La médiatrice coupe [AB] en son milieu : F est au milieu, à 800 ÷ 2 = 400 m de chaque camping.
3. FA = 500 m donc FB = 500 m aussi. Périmètre = 500 + 500 + 800 = 1 800 m.