Dans ce chapitre, tu apprends à calculer dans le bon ordre, à utiliser la distributivité pour calculer malin, à manipuler multiples, diviseurs et critères de divisibilité, à reconnaître les nombres premiers et à diviser par un nombre décimal. Ce sont les outils de base de toute l’année de 5ème : prends le temps de bien les maîtriser.
1. Le vocabulaire des opérations
Somme, différence, produit, quotient
Le résultat d’une addition est une somme, ses nombres sont les termes. Le résultat d’une soustraction est une différence. Le résultat d’une multiplication est un produit, ses nombres sont les facteurs. Le résultat d’une division est un quotient.
Le résultat d’une addition est une somme, ses nombres sont les termes. Le résultat d’une soustraction est une différence. Le résultat d’une multiplication est un produit, ses nombres sont les facteurs. Le résultat d’une division est un quotient.
Exemple
Dans 6 + 15 = 21, la somme est 21 et les termes sont 6 et 15. Dans 4 × 7 = 28, le produit est 28 et les facteurs sont 4 et 7.
Dans 6 + 15 = 21, la somme est 21 et les termes sont 6 et 15. Dans 4 × 7 = 28, le produit est 28 et les facteurs sont 4 et 7.
Reconnaître une somme ou un produit
Une expression est une somme si la dernière opération à effectuer est une addition. Elle est un produit si la dernière opération à effectuer est une multiplication.
Une expression est une somme si la dernière opération à effectuer est une addition. Elle est un produit si la dernière opération à effectuer est une multiplication.
Exemple
3 × 5 + 2 est une somme (on calcule 3 × 5, puis on ajoute 2). En revanche 3 × (5 + 2) est un produit : la dernière opération est la multiplication par 3.
3 × 5 + 2 est une somme (on calcule 3 × 5, puis on ajoute 2). En revanche 3 × (5 + 2) est un produit : la dernière opération est la multiplication par 3.
2. Les priorités opératoires
Ordre des calculs
Dans une expression sans autre indication, on effectue :
1) d’abord les calculs entre parenthèses (en commençant par les plus intérieures) ;
2) puis les multiplications et les divisions, de gauche à droite ;
3) enfin les additions et les soustractions, de gauche à droite.
Dans une expression sans autre indication, on effectue :
1) d’abord les calculs entre parenthèses (en commençant par les plus intérieures) ;
2) puis les multiplications et les divisions, de gauche à droite ;
3) enfin les additions et les soustractions, de gauche à droite.
Exemple résolu
A = 20 − 3 × (4 + 2) + 18 ÷ 6
A = 20 − 3 × 6 + 18 ÷ 6 (parenthèses)
A = 20 − 18 + 3 (multiplication et division)
A = 2 + 3 = 5 (soustraction puis addition, de gauche à droite)
Piège
Avec 40 ÷ 8 × 5, on calcule de gauche à droite : 40 ÷ 8 = 5 puis 5 × 5 = 25, et non 40 ÷ 40 = 1. De même 30 − 12 + 5 = 18 + 5 = 23 (et pas 30 − 17 = 13).
Avec 40 ÷ 8 × 5, on calcule de gauche à droite : 40 ÷ 8 = 5 puis 5 × 5 = 25, et non 40 ÷ 40 = 1. De même 30 − 12 + 5 = 18 + 5 = 23 (et pas 30 − 17 = 13).
Écrire un calcul en une seule expression
Pour un problème en plusieurs étapes, on traduit chaque étape, puis on les assemble en respectant les priorités. Exemple : j’achète 3 livres à 8,50 € et un jeu à 12 €, je paye avec 50 €. Je dois rendre 50 − (3 × 8,5 + 12) = 50 − (25,5 + 12) = 50 − 37,5 = 12,5 €.
Pour un problème en plusieurs étapes, on traduit chaque étape, puis on les assemble en respectant les priorités. Exemple : j’achète 3 livres à 8,50 € et un jeu à 12 €, je paye avec 50 €. Je dois rendre 50 − (3 × 8,5 + 12) = 50 − (25,5 + 12) = 50 − 37,5 = 12,5 €.
Mathbot te conseille
Recopie l’expression à chaque étape en ne changeant que la partie que tu viens de calculer : tu évites les oublis et tu retrouves ton erreur plus facilement.
Recopie l’expression à chaque étape en ne changeant que la partie que tu viens de calculer : tu évites les oublis et tu retrouves ton erreur plus facilement.
3. La distributivité numérique
Un rectangle de 9 cm de large est coupé en deux bandes de 5 cm et de 3 cm de hauteur. Son aire se calcule de deux façons.
Aire totale : 9 × (5 + 3) = 9 × 8 = 72 cm². Aire des deux morceaux : 9 × 5 + 9 × 3 = 45 + 27 = 72 cm². Les deux résultats sont égaux.
Distributivité de la multiplication sur l’addition et la soustraction
Quels que soient les nombres k, a et b :
k × (a + b) = k × a + k × b
k × (a − b) = k × a − k × b (avec a ≥ b)
Quels que soient les nombres k, a et b :
k × (a + b) = k × a + k × b
k × (a − b) = k × a − k × b (avec a ≥ b)
Développer, factoriser
Passer de k × (a + b) à k × a + k × b, c’est développer : un produit devient une somme. Faire l’inverse, c’est factoriser : une somme devient un produit. Le nombre k est le facteur commun.
Passer de k × (a + b) à k × a + k × b, c’est développer : un produit devient une somme. Faire l’inverse, c’est factoriser : une somme devient un produit. Le nombre k est le facteur commun.
Calculer malin en développant
On écrit un des nombres comme une somme ou une différence de nombres faciles.
13 × 102 = 13 × (100 + 2) = 1 300 + 26 = 1 326
19 × 49 = 19 × (50 − 1) = 950 − 19 = 931
12 × 7,5 = 12 × (7 + 0,5) = 84 + 6 = 90
On écrit un des nombres comme une somme ou une différence de nombres faciles.
13 × 102 = 13 × (100 + 2) = 1 300 + 26 = 1 326
19 × 49 = 19 × (50 − 1) = 950 − 19 = 931
12 × 7,5 = 12 × (7 + 0,5) = 84 + 6 = 90
Calculer malin en factorisant
On repère le facteur commun, puis on regroupe.
4,6 × 8 + 4,6 × 2 = 4,6 × (8 + 2) = 4,6 × 10 = 46
35 × 17 − 35 × 7 = 35 × (17 − 7) = 35 × 10 = 350
On repère le facteur commun, puis on regroupe.
4,6 × 8 + 4,6 × 2 = 4,6 × (8 + 2) = 4,6 × 10 = 46
35 × 17 − 35 × 7 = 35 × (17 − 7) = 35 × 10 = 350
Attention
Dans 6 × 7 + 4, il n’y a pas de parenthèses : on ne peut pas « distribuer » le 6 sur le 4. Et 6 × (7 + 4) = 66 est différent de 6 × 7 + 4 = 46.
Dans 6 × 7 + 4, il n’y a pas de parenthèses : on ne peut pas « distribuer » le 6 sur le 4. Et 6 × (7 + 4) = 66 est différent de 6 × 7 + 4 = 46.
4. Calcul réfléchi et ordres de grandeur
Multiplier ou diviser par 10, 100, 1 000
On décale la virgule de 1, 2 ou 3 rangs vers la droite pour multiplier, vers la gauche pour diviser (en ajoutant des zéros si besoin). Exemples : 3,72 × 100 = 372 ; 0,045 × 10 = 0,45 ; 56 ÷ 1 000 = 0,056.
On décale la virgule de 1, 2 ou 3 rangs vers la droite pour multiplier, vers la gauche pour diviser (en ajoutant des zéros si besoin). Exemples : 3,72 × 100 = 372 ; 0,045 × 10 = 0,45 ; 56 ÷ 1 000 = 0,056.
Doubles, moitiés, décompositions
Multiplier par 5, c’est multiplier par 10 puis prendre la moitié : 36 × 5 = 360 ÷ 2 = 180. Multiplier par 25, c’est multiplier par 100 puis diviser par 4 : 48 × 25 = 4 800 ÷ 4 = 1 200.
Multiplier par 5, c’est multiplier par 10 puis prendre la moitié : 36 × 5 = 360 ÷ 2 = 180. Multiplier par 25, c’est multiplier par 100 puis diviser par 4 : 48 × 25 = 4 800 ÷ 4 = 1 200.
Ordre de grandeur
C’est un résultat approché, obtenu en remplaçant les nombres par des nombres proches et simples. Il sert à vérifier la vraisemblance d’un résultat.
C’est un résultat approché, obtenu en remplaçant les nombres par des nombres proches et simples. Il sert à vérifier la vraisemblance d’un résultat.
Exemple
Pour 4,9 × 20,2 : 4,9 est proche de 5 et 20,2 de 20, donc le produit est proche de 5 × 20 = 100. Un résultat de 9,898 ou de 989,8 est forcément faux ; le bon résultat est 98,98.
Pour 4,9 × 20,2 : 4,9 est proche de 5 et 20,2 de 20, donc le produit est proche de 5 × 20 = 100. Un résultat de 9,898 ou de 989,8 est forcément faux ; le bon résultat est 98,98.
5. Multiples, diviseurs et division euclidienne
Division euclidienne
Effectuer la division euclidienne d’un entier a (le dividende) par un entier b non nul (le diviseur), c’est trouver deux entiers q (le quotient) et r (le reste) tels que : a = b × q + r avec r < b.
Effectuer la division euclidienne d’un entier a (le dividende) par un entier b non nul (le diviseur), c’est trouver deux entiers q (le quotient) et r (le reste) tels que : a = b × q + r avec r < b.
Exemple
Division euclidienne de 200 par 7 : 7 × 28 = 196 et 200 − 196 = 4. Donc 200 = 7 × 28 + 4, le quotient est 28 et le reste est 4 (bien inférieur à 7).
Division euclidienne de 200 par 7 : 7 × 28 = 196 et 200 − 196 = 4. Donc 200 = 7 × 28 + 4, le quotient est 28 et le reste est 4 (bien inférieur à 7).
Multiple, diviseur, divisible
Si le reste de la division euclidienne de a par b est 0, c’est-à-dire si a = b × q avec q entier, on dit que :
• a est un multiple de b et de q ;
• b et q sont des diviseurs de a ;
• a est divisible par b et par q.
Si le reste de la division euclidienne de a par b est 0, c’est-à-dire si a = b × q avec q entier, on dit que :
• a est un multiple de b et de q ;
• b et q sont des diviseurs de a ;
• a est divisible par b et par q.
Exemple
45 = 5 × 9. Donc 45 est un multiple de 5 et de 9 ; 5 et 9 sont des diviseurs de 45 ; 45 est divisible par 5 et par 9.
45 = 5 × 9. Donc 45 est un multiple de 5 et de 9 ; 5 et 9 sont des diviseurs de 45 ; 45 est divisible par 5 et par 9.
Trouver tous les diviseurs d’un nombre
On essaie les entiers 1, 2, 3, 4… et on note chaque fois la paire de diviseurs trouvée. On s’arrête dès que le diviseur essayé est plus grand que le quotient obtenu : on a alors déjà tout trouvé. Pour 36 : 1 × 36 ; 2 × 18 ; 3 × 12 ; 4 × 9 ; 6 × 6 (on s’arrête ici). Les diviseurs de 36 sont 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36.
On essaie les entiers 1, 2, 3, 4… et on note chaque fois la paire de diviseurs trouvée. On s’arrête dès que le diviseur essayé est plus grand que le quotient obtenu : on a alors déjà tout trouvé. Pour 36 : 1 × 36 ; 2 × 18 ; 3 × 12 ; 4 × 9 ; 6 × 6 (on s’arrête ici). Les diviseurs de 36 sont 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36.
Chaque flèche relie deux diviseurs dont le produit est 36. Le diviseur 6 est seul au milieu car 6 × 6 = 36.
Multiples et diviseurs communs
Un multiple commun à deux nombres est un nombre qui est multiple de chacun. Pour 4 et 6 : les multiples de 4 sont 4, 8, 12, 16, 20, 24… ; ceux de 6 sont 6, 12, 18, 24… Les multiples communs sont 12, 24, 36… et le plus petit (non nul) est 12. De la même façon, 1, 2, 3 et 6 sont les diviseurs communs de 12 et de 18.
Un multiple commun à deux nombres est un nombre qui est multiple de chacun. Pour 4 et 6 : les multiples de 4 sont 4, 8, 12, 16, 20, 24… ; ceux de 6 sont 6, 12, 18, 24… Les multiples communs sont 12, 24, 36… et le plus petit (non nul) est 12. De la même façon, 1, 2, 3 et 6 sont les diviseurs communs de 12 et de 18.
Quotient ou reste ?
Dans un problème de partage, on se demande ce que représente la réponse. « Combien de cars de 50 places pour 230 personnes ? » : 230 = 50 × 4 + 30, il y a un reste, donc il faut 5 cars, pas 4.
Dans un problème de partage, on se demande ce que représente la réponse. « Combien de cars de 50 places pour 230 personnes ? » : 230 = 50 × 4 + 30, il y a un reste, donc il faut 5 cars, pas 4.
6. Les critères de divisibilité
Critères à connaître
Un nombre entier est divisible :
• par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 ;
• par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5 ;
• par 10 si son chiffre des unités est 0 ;
• par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3 ;
• par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
Un nombre entier est divisible :
• par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 ;
• par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5 ;
• par 10 si son chiffre des unités est 0 ;
• par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3 ;
• par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
Exemples
4 572 : 4 + 5 + 7 + 2 = 18, qui est multiple de 3 et de 9 ; le nombre est pair. Il est donc divisible par 2, par 3 et par 9, mais pas par 5 ni par 10.
1 385 : 1 + 3 + 8 + 5 = 17, pas multiple de 3 ; il se termine par 5 donc il est divisible par 5, mais pas par 2, 3, 9 ou 10.
4 572 : 4 + 5 + 7 + 2 = 18, qui est multiple de 3 et de 9 ; le nombre est pair. Il est donc divisible par 2, par 3 et par 9, mais pas par 5 ni par 10.
1 385 : 1 + 3 + 8 + 5 = 17, pas multiple de 3 ; il se termine par 5 donc il est divisible par 5, mais pas par 2, 3, 9 ou 10.
Astuce
Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3 (mais l’inverse est faux : 12 est divisible par 3, pas par 9). Un nombre divisible à la fois par 2 et par 3 est divisible par 6.
Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3 (mais l’inverse est faux : 12 est divisible par 3, pas par 9). Un nombre divisible à la fois par 2 et par 3 est divisible par 6.
7. Les nombres premiers
Nombre premier
Un nombre entier est premier s’il possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Un nombre entier est premier s’il possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Cas particuliers
1 n’est pas premier : il n’a qu’un seul diviseur. 2 est le seul nombre premier pair, car tout autre nombre pair est aussi divisible par 2. Un nombre comme 15 = 3 × 5 n’est pas premier : on dit qu’il est composé.
1 n’est pas premier : il n’a qu’un seul diviseur. 2 est le seul nombre premier pair, car tout autre nombre pair est aussi divisible par 2. Un nombre comme 15 = 3 × 5 n’est pas premier : on dit qu’il est composé.
Voici le tableau des nombres de 1 à 50 ; les nombres premiers sont en gras. Pour le construire (c’est le « crible d’Ératosthène »), on barre 1, puis tous les multiples de 2 sauf 2, de 3 sauf 3, de 5 sauf 5, de 7 sauf 7 : ce qui reste est premier.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
| 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |
| 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 |
Les nombres premiers inférieurs à 50 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
Savoir si un nombre est premier
On teste s’il est divisible par 2, 3, 5, 7, 11… à l’aide des critères ou d’une calculatrice, en s’arrêtant quand le diviseur essayé dépasse le quotient. Dès qu’on trouve un diviseur autre que 1 et le nombre, il n’est pas premier.
Exemple : 91 n’est divisible ni par 2, ni par 3 (9 + 1 = 10), ni par 5, mais 91 = 7 × 13 : il n’est pas premier. Pour 83 : pas divisible par 2, 3, 5, 7 (7 × 11 = 77 et 7 × 12 = 84) ; avec 11, le quotient (7) est plus petit que le diviseur : 83 est premier.
On teste s’il est divisible par 2, 3, 5, 7, 11… à l’aide des critères ou d’une calculatrice, en s’arrêtant quand le diviseur essayé dépasse le quotient. Dès qu’on trouve un diviseur autre que 1 et le nombre, il n’est pas premier.
Exemple : 91 n’est divisible ni par 2, ni par 3 (9 + 1 = 10), ni par 5, mais 91 = 7 × 13 : il n’est pas premier. Pour 83 : pas divisible par 2, 3, 5, 7 (7 × 11 = 77 et 7 × 12 = 84) ; avec 11, le quotient (7) est plus petit que le diviseur : 83 est premier.
8. Algorithme de recherche des diviseurs
Pour ne rien oublier, on peut écrire la méthode de la partie 5 sous forme d’algorithme. La voici pour un nombre N :
Algorithme
1. Choisir un entier N.
2. Pour chaque entier d en partant de 1, tant que d × d ≤ N :
si le reste de la division euclidienne de N par d est 0, alors afficher d et le quotient N ÷ d.
3. Fin.
1. Choisir un entier N.
2. Pour chaque entier d en partant de 1, tant que d × d ≤ N :
si le reste de la division euclidienne de N par d est 0, alors afficher d et le quotient N ÷ d.
3. Fin.
Exemple avec N = 20
d = 1 : reste 0, on affiche 1 et 20. d = 2 : reste 0, on affiche 2 et 10. d = 3 : reste 2, rien. d = 4 : reste 0, on affiche 4 et 5. d = 5 : 5 × 5 = 25 est plus grand que 20, on s’arrête. Les diviseurs de 20 sont 1, 2, 4, 5, 10 et 20. Si l’algorithme affiche seulement 1 et N, le nombre est premier.
d = 1 : reste 0, on affiche 1 et 20. d = 2 : reste 0, on affiche 2 et 10. d = 3 : reste 2, rien. d = 4 : reste 0, on affiche 4 et 5. d = 5 : 5 × 5 = 25 est plus grand que 20, on s’arrête. Les diviseurs de 20 sont 1, 2, 4, 5, 10 et 20. Si l’algorithme affiche seulement 1 et N, le nombre est premier.
Avec une calculatrice ou un tableur, on peut obtenir le quotient et le reste d’une division euclidienne, ce qui accélère les essais.
9. Diviser par un nombre décimal
On ne change pas un quotient en multipliant ses deux nombres par un même nombre non nul
Par exemple 6 ÷ 3 = 60 ÷ 30 = 600 ÷ 300 = 2. Pour que le diviseur devienne entier, on multiplie donc le dividende et le diviseur par 10, par 100 ou par 1 000.
Par exemple 6 ÷ 3 = 60 ÷ 30 = 600 ÷ 300 = 2. Pour que le diviseur devienne entier, on multiplie donc le dividende et le diviseur par 10, par 100 ou par 1 000.
Diviser par un décimal non entier
1) On multiplie le diviseur par 10, 100… pour obtenir un entier. 2) On multiplie le dividende par le même nombre. 3) On effectue la division obtenue.
1) On multiplie le diviseur par 10, 100… pour obtenir un entier. 2) On multiplie le dividende par le même nombre. 3) On effectue la division obtenue.
Exemples résolus
7,2 ÷ 0,4 = 72 ÷ 4 = 18 (on multiplie par 10).
0,63 ÷ 0,09 = 63 ÷ 9 = 7 (on multiplie par 100).
9 ÷ 0,25 = 900 ÷ 25 = 36 (on multiplie par 100).
7,2 ÷ 0,4 = 72 ÷ 4 = 18 (on multiplie par 10).
0,63 ÷ 0,09 = 63 ÷ 9 = 7 (on multiplie par 100).
9 ÷ 0,25 = 900 ÷ 25 = 36 (on multiplie par 100).
À ne pas oublier
Il faut multiplier les deux nombres par la même puissance de 10. Et diviser par 0,5 n’est pas diviser par 5 : 3 ÷ 0,5 = 30 ÷ 5 = 6, qui est le double de 3 (il y a six moitiés dans 3).
Il faut multiplier les deux nombres par la même puissance de 10. Et diviser par 0,5 n’est pas diviser par 5 : 3 ÷ 0,5 = 30 ÷ 5 = 6, qui est le double de 3 (il y a six moitiés dans 3).
Un problème
Avec 4,8 L de sirop, on remplit des verres de 0,16 L. Nombre de verres : 4,8 ÷ 0,16 = 480 ÷ 16 = 30. On remplit 30 verres.
Avec 4,8 L de sirop, on remplit des verres de 0,16 L. Nombre de verres : 4,8 ÷ 0,16 = 480 ÷ 16 = 30. On remplit 30 verres.
À retenir
- Somme = résultat d’une addition ; produit = résultat d’une multiplication ; une expression est une somme ou un produit selon sa dernière opération.
- Priorités : parenthèses, puis × et ÷ de gauche à droite, puis + et − de gauche à droite.
- Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b ; on s’en sert pour développer, factoriser et calculer malin.
- a = b × q + r avec r < b : division euclidienne ; si r = 0, a est un multiple de b et b est un diviseur de a.
- Critères : par 2 (unités paires), 5 (0 ou 5), 10 (0), 3 et 9 (somme des chiffres multiple de 3 ou de 9).
- Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. 1 n’est pas premier, 2 est le seul premier pair.
- Pour diviser par un décimal, on multiplie dividende et diviseur par 10, 100… pour que le diviseur devienne entier.