Fractions et nombres rationnels : corrigé des exercices de maths 4ème

1 Le quotient comme nombre manquant ★★★

1. Le quotient de 5 par 8 : 58, car 58 × 8 = 5.
2. 35 ÷ 5 = 7, car 7 × 5 = 35.
3. 16, car 16 × 6 = 1 (c’est l’inverse de 6).
4. −49 = −49, car −49 × 9 = −4.

2 Fraction partage ★★★

1. Tom : 38 de la pizza ; Léa : 28 = 14.
2. 38 + 28 = 58 : ils ont mangé 58 de la pizza (on additionne les numérateurs, le dénominateur ne change pas).
3. Il reste 8 − 5 = 3 parts, soit 38 de la pizza. Vérification : 1 − 58 = 88 − 58 = 38.

3 Simplifier des fractions ★★★

1. 18 et 24 sont divisibles par 6 : 1824 = 3×64×6 = 34.
2. 35 = 5 × 7 et 42 = 6 × 7 : 3542 = 56.
3. 48 = 3 × 16 et 64 = 4 × 16 : 4864 = 34.
4. 27 = 1 × 27 et 81 = 3 × 27 : 2781 = 13.
5. On divise par 10 : 915, puis par 3 : 35.

Dans chaque cas, le numérateur et le dénominateur obtenus n’ont plus de diviseur commun autre que 1 : la fraction est irréductible.

4 Compléter des égalités de fractions ★★★

1. 7 × 5 = 35, donc ? = 3 × 5 = 15.
2. 45 ÷ 5 = 9, donc ? = 20 ÷ 5 = 4.
3. 8 × 5 = 40, donc ? = −5 × 5 = −25.
4. 3 × 6 = 18, donc ? = 5 × 6 = 30.
5. 6 × 2,5 = 15, donc ? = 2,4 × 2,5 = 6.

5 Ramener le signe au numérateur ★★★

1. Signes contraires : 3−5 = −35 = −35.
2. Même signe : −7−9 = 79.
3. 2−3 = −23, donc −2−3 = −(−23) = 23.
4. −812 : on divise par 4 : −23.
5. 12−16 = −1216 = −34 (on divise par 4).

6 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : 4 × 3 = 12 et 9 × 3 = 27 (on a multiplié par 3 en haut et en bas).
2. Faux : produits en croix 5 × 18 = 90 et 8 × 10 = 80, différents. (On a bien multiplié le numérateur par 2 mais pas le dénominateur par 2 : 8 × 2 = 16 et non 18.)
3. Vrai : (−6) × (−3) = 18 et 9 × 2 = 18, les produits en croix sont égaux. Autre justification : −69 = −23 = 2−3.
4. Faux : on n’additionne pas les dénominateurs. Le bon calcul est 1015 + 615 = 1615.

7 Même dénominateur ★★★

1. 3+511 = 811 (irréductible).
2. 9−47 = 57.
3. 2+49 = 69 = 23 (division par 3 en haut et en bas).
4. 1−56 = −46 = −23.

8 Ranger dans l’ordre croissant ★★★

Le dénominateur commun est 16 : 34 = 1216 ; 58 = 1016 ; 12 = 816 ; 716 reste tel quel.

On range les numérateurs : 7 < 8 < 10 < 12. Donc 716 < 12 < 58 < 34.

9 Comparer des fractions ★★★

1. Dénominateur 18 : 1518 et 1418. 15 > 14, donc 56 > 79.
2. Dénominateur 24 : −924 et −1024. −9 > −10, donc −38 > −512.
3. 2−5 = −25 = −1435 et −37 = −1535. −14 > −15, donc 2−5 > −37.
4. 114 = 2,75. Comme 2,75 > 2,70, on a 114 > 2,7.

10 Additions et soustractions ★★★

1. Dénominateur 12 : 812 + 912 = 1712.
2. Dénominateur 12 : 1012 − 312 = 712.
3. Dénominateur 30 : 2130 + 830 = 2930.
4. Dénominateur 10 : −610 + 510 = −110.
5. 2 = 147, donc 147 − 37 = 117.

11 Produits de fractions ★★★

1. Positif. 3×105×9 = 3×5×25×3×3 = 23.
2. Un facteur négatif : le produit est négatif. 7×812×21 = 56252 = 29 (division par 28). Résultat : −29.
3. Positif. 14×2515×28 = 2×7×5×53×5×4×7 = 2×53×4 = 1012 = 56.
4. 4 × 38 = 128 = 32.
5. Deux facteurs négatifs : produit positif. 4560 = 34 (division par 15).

12 Inverses ★★★

1. 17, car 7 × 17 = 1.
2. 53.
3. −14, car (−4) × (−14) = 1.
4. −92 : −29 × −92 = 1818 = 1.
5. 0,5 = 12, donc l’inverse est 2.
6. 0 n’a pas d’inverse : aucun nombre multiplié par 0 ne donne 1.

13 Divisions de fractions ★★★

1. 34 × 85 = 2420 = 65.
2. 79 × 314 = 21126 = 16 (division par 21).
3. −23 × 94 = −1812 = −32.
4. 6 × 53 = 303 = 10.
5. 58 × 110 = 580 = 116.

14 Un livre en deux jours ★★★

1. 25 + 14 = 820 + 520 = 1320 du livre.
2. 1 − 1320 = 2020 − 1320 = 720.
3. 720 × 280 = 7 × 14 = 98. Il lui reste 98 pages à lire.

15 Fraction d’une quantité ★★★

1. 45 ÷ 5 = 9 puis 9 × 3 = 27 L.
2. 96 ÷ 12 = 8 puis 8 × 7 = 56 €.
3. 37 × 28 = 12 demi-pensionnaires. Les autres : 28 − 12 = 16 élèves.

16 Écritures fractionnaires à virgule ★★★

1. On multiplie par 10 : 2436 = 23.
2. −1545 = −13.
3. On multiplie par 100 : 75225 = 13 (division par 75).
4. 50025 = 20 (on a multiplié par 100).

17 Fractions et décimaux ★★★

1. 0,35 = 35100 = 720.
2. 2,4 = 2410 = 125.
3. −0,06 = −6100 = −350.
4. 1,25 = 125100 = 54.

Ces nombres sont décimaux ; ils sont donc rationnels.

18 Priorités opératoires ★★★

1. La multiplication d’abord : 23 × 34 = 612 = 12. Puis A = 12 + 12 = 1.
2. Parenthèses : 56 − 26 = 36 = 12. Puis B = 12 × 92 = 94.
3. Parenthèses : 106 + 16 = 116. Multiplication : 12 × 116 = 1112. Soustraction : C = 912 − 1112 = −212 = −16.

19 Une tablette de chocolat ★★★

1. 1 − 13 = 23.
2. Les 34 de 23 : 34 × 23 = 612 = 12 de la tablette entière.
3. 13 + 12 = 26 + 36 = 56 de la tablette. Il reste 1 − 56 = 16.

Attention : 34 est une fraction du reste, pas de la tablette entière.

20 Trouver l’inconnue ★★★

1. x est le quotient de 910 par 34 : x = 910 × 43 = 3630 = 65. Vérification : 65 × 34 = 1820 = 910.
2. x = 13 − 25 = 515 − 615 = −115.
3. x = 74 × 27 = 1428 = 12. Vérification : 12 ÷ 27 = 12 × 72 = 74.

21 Vrai ou faux avec justification ★★★

1. Vrai : 34 < 1. Par exemple 34 × 8 = 6 < 8. En général, x × 34 = x − 14 × x < x si x > 0.
2. Vrai : si x > 1, alors 1x < 1. Exemple : l’inverse de 4 est 14.
3. Faux : contre-exemple 12 + 13 = 56 alors que 1+12+3 = 25.
4. Vrai : un nombre non nul divisé par lui-même vaut 1 (deux signes « − » donnent « + »).

22 Un trajet à vélo ★★★

1. 25 + 13 = 615 + 515 = 1115.
2. 1 − 1115 = 415 du trajet.
3. 415 du trajet font 24 km, donc 115 du trajet fait 24 ÷ 4 = 6 km et le trajet complet fait 6 × 15 = 90 km. Vérification : 25 × 90 = 36 km ; 13 × 90 = 30 km ; 36 + 30 + 24 = 90 km.

23 Un rectangle aux dimensions fractionnaires ★★★

1. Aire = longueur × largeur, donc longueur = aire ÷ largeur = 56 ÷ 23 = 56 × 32 = 1512 = 54 m.
2. Périmètre = 2 × (longueur + largeur) = 2 × (54 + 23) = 2 × (1512 + 812) = 2 × 2312 = 236. Le périmètre vaut 236 m (soit environ 3,83 m).

24 Rationnel ou pas ? Un mini-bilan ★★★

Tous sont rationnels sauf π.

• 8 = 81.
• −0,5 = −12.
• 12−18 = −1218 = −23.
• 2,54 = 2540 = 58.
• π n’est pas un quotient de deux entiers : il n’est pas rationnel.