Corrigé des exercices de maths 3ème : Racines carrées

1 Carrés parfaits ★★★

On cherche à chaque fois le nombre positif dont le carré est le nombre sous la racine.

1. 7² = 49 donc √49 = 7.
2. 8² = 64 donc √64 = 8.
3. 11² = 121 donc √121 = 11.
4. √0 = 0.
5. 12² = 144 donc √144 = 12.
6. 15² = 225 donc √225 = 15.
7. 0,3² = 0,09 donc √(0,09) = 0,3.

2 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : 5² = 25 et 5 est positif.
2. Faux : on ne peut pas calculer la racine carrée d’un nombre négatif.
3. Vrai : (√a)² = a.
4. Faux : √9 + √16 = 3 + 4 = 7, alors que √25 = 5.
5. Vrai : √(a²) = a pour a positif.
6. Faux : une racine carrée est toujours positive, √36 = 6 (seulement).

3 Encadrer une racine ★★★

On repère les deux carrés parfaits qui encadrent le nombre.

1. 16 < 20 < 25 donc 4 < √20 < 5.
2. 49 < 50 < 64 donc 7 < √50 < 8.
3. 81 < 91 < 100 donc 9 < √91 < 10.
4. 4 < 5 < 9 donc 2 < √5 < 3.
5. 121 < 140 < 144 donc 11 < √140 < 12.

4 Carré d’une racine ★★★

1. (√13)² = 13.
2. √(9²) = 9.
3. (√3)² × (√5)² = 3 × 5 = 15.
4. (2√3)² = 2² × (√3)² = 4 × 3 = 12.
5. (3√2)² = 3² × (√2)² = 9 × 2 = 18.

5 Produit de racines ★★★

1. √2 × √8 = √16 = 4.
2. √3 × √12 = √36 = 6.
3. √5 × √20 = √100 = 10.
4. √7 × √7 = √49 = 7.
5. √6 × √24 = √144 = 12.
6. √10 × √40 = √400 = 20.

6 Quotient de racines ★★★

1. √81 ÷ √9 = 9 ÷ 3 = 3.
2. √50 ÷ √2 = √(50 ÷ 2) = √25 = 5.
3. √48 ÷ √3 = √16 = 4.
4. √(925) = √9 ÷ √25 = 35.
5. √(494) = 7 ÷ 2 = 72 = 3,5.
6. √(1100) = 1 ÷ 10 = 110 = 0,1.

7 Avec la calculatrice ★★★

Avec la touche √ de la calculatrice, puis on arrondit au centième.

1. √7 ≈ 2,6457… donc √7 ≈ 2,65.
2. √30 ≈ 5,4772… donc ≈ 5,48.
3. √123 ≈ 11,0905… donc ≈ 11,09.
4. √(0,5) ≈ 0,7071… donc ≈ 0,71.
5. 3√5 ≈ 3 × 2,2360… ≈ 6,7082… donc ≈ 6,71. (On calcule 3 × √5 sans arrondir √5 avant.)

8 Simplifier des racines ★★★

On cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre.

1. √12 = √(4 × 3) = 2√3.
2. √18 = √(9 × 2) = 3√2.
3. √45 = √(9 × 5) = 3√5.
4. √75 = √(25 × 3) = 5√3.
5. √98 = √(49 × 2) = 7√2.
6. √200 = √(100 × 2) = 10√2.
7. √72 = √(36 × 2) = 6√2.
8. √180 = √(36 × 5) = 6√5.

9 Rentrer sous la racine ★★★

On utilise a = √(a²).

1. 3√2 = √9 × √2 = √18.
2. 5√3 = √25 × √3 = √75.
3. 2√10 = √4 × √10 = √40.
4. 4√5 = √16 × √5 = √80.

10 Additionner des racines identiques ★★★

On factorise la racine commune.

1. 3√5 + 2√5 = (3 + 2)√5 = 5√5.
2. 7√3 − 4√3 = (7 − 4)√3 = 3√3.
3. √2 + 5√2 − 2√2 = (1 + 5 − 2)√2 = 4√2.
4. 4√7 − √7 + 2√7 = (4 − 1 + 2)√7 = 5√7.

11 Simplifier avant d’additionner ★★★

1. √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2.
2. √27 + √12 = 3√3 + 2√3 = 5√3.
3. √50 − √32 = 5√2 − 4√2 = √2.
4. √45 + √20 − √5 = 3√5 + 2√5 − √5 = 4√5.

12 Développer ★★★

1. (√3 + 1)(√3 − 1) = (√3)² − 1² = 3 − 1 = 2.
2. (2 + √5)² = 4 + 4√5 + 5 = 9 + 4√5.
3. (√7 − 2)² = 7 − 4√7 + 4 = 11 − 4√7.
4. √2(3 + √2) = 3√2 + 2 = 2 + 3√2.
5. (3 − √2)(3 + √2) = 9 − 2 = 7.

13 Le carré du jardin ★★★

1. Le côté c vérifie c² = 75, donc c = √75 = √(25 × 3) = 5√3 m (≈ 8,66 m).
2. Périmètre = 4 × 5√3 = 20√3 m. Avec la calculatrice : 20 × 1,7320… ≈ 34,64.
   Réponse : le périmètre est exactement 20√3 m, soit environ 34,64 m.

14 Hypoténuse ★★★

Le triangle ABC est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore :
BC² = AB² + AC² = 6² + 4² = 36 + 16 = 52.
Donc BC = √52 = √(4 × 13) = 2√13 cm ≈ 7,21 cm.

15 Équations x² = a ★★★

1. 36 > 0 : deux solutions, 6 et −6.
2. 17 > 0 : deux solutions, √17 et −√17.
3. −4 < 0 : aucune solution, un carré n’est jamais négatif.
4. 3x² = 75 donc x² = 25 ; solutions 5 et −5.
5. x² = 39 + 10 = 49 ; solutions 7 et −7.

16 Comparer sans calculatrice ★★★

1. 3√5 = √45 et 4√3 = √48. Comme 45 < 48, 3√5 < 4√3.
2. (5√2)² = 25 × 2 = 50 et 7² = 49. Les deux nombres sont positifs et 50 > 49, donc 5√2 > 7.
3. 2√7 = √28 et 3√3 = √27. Comme 28 > 27, 2√7 > 3√3.
4. (√3 + √5)² = 3 + 2√15 + 5 = 8 + 2√15 et (√8)² = 8. Comme 2√15 > 0, le premier carré est plus grand, donc √3 + √5 > √8. (On vérifie : 1,73 + 2,24 = 3,97 > 2,83.)

17 Diagonales d’un cube ★★★

1. La face est un carré de côté 5 cm. Par Pythagore, d² = 5² + 5² = 50, donc d = √50 = 5√2 cm.
2. Le triangle formé par une arête verticale (5 cm), la diagonale de la face (5√2 cm) et la diagonale du cube est rectangle. D² = 5² + (5√2)² = 25 + 50 = 75. Donc D = √75 = 5√3 cm.
3. D ≈ 5 × 1,7320… ≈ 8,66 cm.

18 Rationnel ou irrationnel ? ★★★

Un nombre est rationnel s’il s’écrit comme une fraction d’entiers.

• √16 = 4 = 41 : rationnel.
• √2 : 2 n’est pas un carré parfait, irrationnel.
• 0,25 = 14 : rationnel.
• 13 : rationnel (son écriture décimale 0,333… se répète).
• π : irrationnel.
• √(0,49) = 0,7 = 710 : rationnel.
• √12 = 2√3 : irrationnel (12 n’est pas un carré parfait).

19 Un inverse étonnant ★★★

1. (√2 + 1)(√2 − 1) = (√2)² − 1² = 2 − 1 = 1.
2. Deux nombres dont le produit vaut 1 sont inverses l’un de l’autre. L’inverse de √2 + 1 est donc √2 − 1.
3. (1 + √2)² = 1 + 2√2 + (√2)² = 1 + 2√2 + 2 = 3 + 2√2.

20 Supprimer le radical du dénominateur ★★★

On multiplie le numérateur et le dénominateur par la racine du dénominateur : cela ne change pas la valeur du quotient.

1. 6 ÷ √3 = (6 × √3) ÷ (√3 × √3) = 6√3 ÷ 3 = 2√3.
2. 10 ÷ √5 = 10√5 ÷ 5 = 2√5.
3. 1 ÷ √2 = √2 ÷ 2 = 12√2 ≈ 0,71.

21 Expressions à simplifier ★★★

A = 5√3 − 2 × 2√3 + √3 = 5√3 − 4√3 + √3 = 2√3.

B = (√5)² − 2² + 2√5 = 5 − 4 + 2√5 = 1 + 2√5.

C = 9 × 2 − 4 × 3 = 18 − 12 = 6.

22 Un rectangle à racines ★★★

Aire = 3√3 × 2√3 = 6 × (√3)² = 6 × 3 = 18 m².

Périmètre = 2 × (3√3 + 2√3) = 2 × 5√3 = 10√3 m ≈ 17,32 m.

Diagonale d : d² = (3√3)² + (2√3)² = 27 + 12 = 39 (Pythagore), donc d = √39 m ≈ 6,24 m.

23 Le cercle du carré ★★★

La diagonale du carré est un diamètre du cercle circonscrit. Par Pythagore, AC² = 6² + 6² = 72, donc AC = √72 = 6√2 cm.

Le rayon est la moitié : 3√2 cm ≈ 4,24 cm.

Aire du disque = π × (3√2)² = π × 18 = 18π cm² ≈ 56,55 cm².