Corrigé détaillé des exercices du chapitre. Vérifie tes réponses étape par étape et corrige-toi.
1 Reconnaître la configuration ★★★
a. H est sur [EF] et I est sur [EG] : ce sont des triangles emboîtés (le petit triangle EHI est rangé dans le grand EFG).
b. Le sommet commun est le point E.
c. Les droites (FH) et (GI) sont sécantes en E et (HI) // (FG). D’après le théorème de Thalès : EHEF = EIEG = HIFG.
2 Papillon : écrire les rapports ★★★
a. O est entre A et D, et entre B et E : c’est une configuration en papillon.
b. Les triangles OAB et ODE.
c. Les droites (AD) et (BE) sont sécantes en O et (AB) // (DE). D’après le théorème de Thalès : ODOA = OEOB = DEAB.
3 Un premier calcul de longueurs ★★★
a. AB = AM + MB = 2 + 3 = 5 cm.
b. M est sur (AB), N est sur (AC) et (MN) // (BC). D’après le théorème de Thalès : AMAB = ANAC = MNBC, soit 25 = 3AC = MN8.
AC = 3 × 5 ÷ 2 = 15 ÷ 2 = 7,5 cm.
c. MN = 8 × 2 ÷ 5 = 16 ÷ 5 = 3,2 cm.
4 Papillon : un calcul direct ★★★
(AD) et (BE) sont sécantes en O et (AB) // (DE). D’après le théorème de Thalès : ODOA = OEOB = DEAB, soit 96 = OE4 = DE5.
Le rapport 96 vaut 1,5. Donc OE = 4 × 1,5 = 6 cm et DE = 5 × 1,5 = 7,5 cm.
5 Vrai ou faux ? ★★★
a. Vrai. C’est directement le théorème de Thalès.
b. Faux. Le côté [MN] correspond à [BC], pas à [AC] : la bonne égalité est AMAB = MNBC.
c. Vrai. C’est la réciproque du théorème de Thalès (M et N sont sur les côtés [AB] et [AC], donc les points sont alignés dans le même ordre).
d. Faux. Si elles étaient parallèles, le théorème de Thalès imposerait l’égalité des deux rapports. Ils sont différents : les droites ne sont pas parallèles.
6 Agrandir un rectangle ★★★
a. Largeur : 4 × 2,5 = 10 cm. Longueur : 6 × 2,5 = 15 cm.
b. Périmètre : 2 × (10 + 15) = 50 cm (l’ancien valait 2 × (4 + 6) = 20 cm). Aire : 10 × 15 = 150 cm² (l’ancienne valait 4 × 6 = 24 cm²).
c. 150 ÷ 24 = 6,25 = 2,5². L’aire est multipliée par k² = 6,25.
7 Réduire une figure ★★★
a. k = 6 ÷ 9 = 23. C’est bien une réduction puisque k est inférieur à 1.
b. 12 × 23 = 8 cm et 15 × 23 = 10 cm. Le triangle réduit a pour côtés 6 cm, 8 cm et 10 cm.
8 Retrouver AM et AN ★★★
M est sur (AB), N est sur (AC) et (MN) // (BC). D’après le théorème de Thalès : AM12 = AN10 = 915.
915 = 0,6. Donc AM = 12 × 0,6 = 7,2 cm et AN = 10 × 0,6 = 6 cm.
Comme M est sur [AB] : MB = AB − AM = 12 − 7,2 = 4,8 cm. Comme N est sur [AC] : NC = 10 − 6 = 4 cm.
9 Papillon avec des décimaux ★★★
a. (BD) et (CE) sont sécantes en A et (BC) // (DE). D’après le théorème de Thalès : ADAB = AEAC = DEBC, soit 5,43,6 = AE4,2 = DE2,8.
5,43,6 = 1,5. Donc AE = 4,2 × 1,5 = 6,3 cm et DE = 2,8 × 1,5 = 4,2 cm.
b. A est entre C et E (configuration en papillon) : CE = CA + AE = 4,2 + 6,3 = 10,5 cm.
10 Parallèles ou pas ? ★★★
a. Les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre. AMAB = 3,69 = 0,4 et ANAC = 410 = 0,4. Les rapports sont égaux : d’après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) // (BC).
b. AMAB = 38 = 0,375 et ANAC = 412 = 13 ≈ 0,333. On vérifie avec les produits en croix : 3 × 12 = 36 et 8 × 4 = 32, différents. Les rapports ne sont pas égaux : si (MN) et (BC) étaient parallèles, le théorème de Thalès donnerait l’égalité. Donc (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.
11 Un triangle et une parallèle ★★★
a. AB = AE + EB = 4 + 2 = 6 cm et AC = AF + FC = 5 + 2,5 = 7,5 cm.
b. Points alignés dans le même ordre. AEAB = 46 = 23 et AFAC = 57,5 = 23 (car 5 × 3 = 15 et 7,5 × 2 = 15). Les rapports sont égaux : d’après la réciproque du théorème de Thalès, (EF) // (BC).
c. Alors AC = 5 + 3 = 8 cm et AFAC = 58 = 0,625, différent de 23 ≈ 0,667 (produits en croix : 4 × 8 = 32 et 6 × 5 = 30). Les droites ne seraient pas parallèles.
12 Réciproque en papillon ★★★
a. Les points D, O, G et E, O, H sont alignés dans le même ordre (O est entre les deux dans chaque cas). OGOD = 64 = 1,5 et OHOE = 7,55 = 1,5. Les rapports sont égaux : d’après la réciproque du théorème de Thalès, (DE) // (GH).
b. OHOE = 85 = 1,6, alors que OGOD = 1,5. Les rapports sont différents : (DE) et (GH) ne sont pas parallèles.
13 L’ombre d’un arbre ★★★
Les rayons du soleil sont parallèles, et le bâton comme l’arbre sont verticaux (perpendiculaires au sol). En faisant glisser le petit triangle le long du sol jusqu’à faire coïncider les bouts des ombres, on obtient deux triangles emboîtés avec deux côtés parallèles (les verticales) : on peut utiliser le théorème de Thalès.
PBRT = PQRS, soit 1,5RT = 29.
RT = 1,5 × 9 ÷ 2 = 13,5 ÷ 2 = 6,75. L’arbre mesure 6,75 m de haut.
14 La largeur de l’étang ★★★
Les droites (AC) et (BD) sont sécantes en O, avec O entre A et C et entre B et D, et (CD) // (AB). D’après le théorème de Thalès :
OCOA = CDAB, soit 1040 = 9,5AB.
AB = 9,5 × 40 ÷ 10 = 380 ÷ 10 = 38 m. La largeur de l’étang est de 38 m.
15 Agrandir une photo ★★★
a. k = 30 ÷ 12 = 2,5.
b. 18 × 2,5 = 45 cm.
c. Aire : 30 × 45 = 1 350 cm². L’aire de départ vaut 12 × 18 = 216 cm² et 216 × 2,5² = 216 × 6,25 = 1 350. L’aire est multipliée par k² = 6,25.
16 Une maquette ★★★
a. 48 m = 4 800 cm. k = 24 ÷ 4 800 = 1200. La maquette est à l’échelle 1/200.
b. 30 m = 3 000 cm et 3 000 ÷ 200 = 15 cm.
c. Les aires sont multipliées par k² = 140000. 600 m² = 6 000 000 cm² et 6 000 000 ÷ 40 000 = 150 cm².
17 Une équation avec Thalès ★★★
a. D’après le théorème de Thalès : AMAB = ANAC, soit x10 = x+115.
b. Produit en croix : 15x = 10 × (x + 1), soit 15x = 10x + 10. On soustrait 10x : 5x = 10, donc x = 2.
c. AM = 2 cm et AN = 2 + 1 = 3 cm. Vérification : 210 = 0,2 et 315 = 0,2.
18 Les diagonales d’un trapèze ★★★
a. O est entre A et C et entre B et D (les diagonales d’un trapèze se coupent à l’intérieur). Les droites (AC) et (BD) sont sécantes en O et (AB) // (CD) : c’est un papillon. D’après le théorème de Thalès : OAOC = OBOD = ABCD.
b. ABCD = 69 = 23. Donc OA = 23 × OC, soit OA : OC = 2 : 3. Comme OA + OC = AC = 15 cm, on partage 15 en 5 parts : une part vaut 3 cm. Ainsi OA = 2 × 3 = 6 cm et OC = 3 × 3 = 9 cm. Vérification : 69 = 23.
c. OBOD = 23, soit 4OD = 23. OD = 4 × 3 ÷ 2 = 6 cm. Puis BD = OB + OD = 4 + 6 = 10 cm.
19 Réciproque puis Pythagore ★★★
a. M est sur [AB] et N est sur [AC] : les points sont alignés dans le même ordre. AMAB = 39 = 13 et ANAC = 412 = 13. Les rapports sont égaux : d’après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) // (BC).
b. Dans le triangle ABC rectangle en A, d’après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC² = 81 + 144 = 225. Donc BC = √225 = 15 cm.
c. Avec Thalès (maintenant que (MN) // (BC)) : MNBC = AMAB = 13, donc MN = 15 ÷ 3 = 5 cm.
Avec Pythagore dans AMN rectangle en A : MN² = AM² + AN² = 9 + 16 = 25, donc MN = √25 = 5 cm. Les deux méthodes donnent le même résultat.
20 Un parallélogramme caché ★★★
a. D est sur [AB], E est sur [AC], (DE) // (BC). D’après le théorème de Thalès : ADAB = DEBC, soit 410 = DE15. DE = 15 × 4 ÷ 10 = 6 cm.
b. BD = AB − AD = 10 − 4 = 6 cm. Dans le triangle ABC, F est sur [BC], D est sur [BA] et (DF) // (AC). D’après le théorème de Thalès : BDBA = BFBC, soit 610 = BF15. BF = 15 × 6 ÷ 10 = 9 cm. Puis FC = BC − BF = 15 − 9 = 6 cm.
c. Les côtés (DE) et (FC) sont parallèles (car (BC) contient F et C), et (DF) et (EC) sont parallèles (car E est sur (AC)). Le quadrilatère DECF a ses côtés opposés parallèles : c’est un parallélogramme. On retrouve DE = FC = 6 cm, ce qui confirme le résultat.
21 Mesurer un arbre avec un bâton ★★★
Hauteur de B au-dessus des yeux : HB = 2,5 − 1,6 = 0,9 m. Les points O, H, K sont alignés, ainsi que O, B, T. Le bâton et l’arbre sont verticaux, donc (HB) // (KT). D’après le théorème de Thalès (triangles emboîtés OHB et OKT) : OHOK = HBKT, soit 315 = 0,9KT.
KT = 0,9 × 15 ÷ 3 = 4,5 m. La hauteur de l’arbre est KT + 1,6 = 4,5 + 1,6 = 6,1 m.
22 Une pyramide coupée ★★★
a. La hauteur passe de 12 cm à 6 cm : k = 6 ÷ 12 = 12.
b. Le côté de la section vaut 6 × 12 = 3 cm, donc son aire est 3 × 3 = 9 cm² (on retrouve 36 × k² = 36 × 14 = 9).
c. Grande pyramide : 13 × 36 × 12 = 144 cm³. Petite pyramide : 13 × 9 × 6 = 18 cm³. On vérifie : 144 × k³ = 144 × 18 = 18.
d. Le tronc a pour volume 144 − 18 = 126 cm³.
23 L’erreur de Léo ★★★
a. On compare AMAB = 4,27 et ANAC = 5,39. Produits en croix : 4,2 × 9 = 37,8 et 7 × 5,3 = 37,1. Les deux produits sont différents.
b. Les points sont alignés dans le même ordre, mais AMAB = 0,6 alors que ANAC = 5,39 ≈ 0,589. Si (MN) et (BC) étaient parallèles, le théorème de Thalès imposerait l’égalité des rapports. Elle n’a pas lieu : Léo a tort, les droites ne sont pas parallèles. « Presque égaux » ne suffit pas en géométrie : il faut une égalité exacte.
c. Il faudrait AN9 = 0,6, soit AN = 9 × 0,6 = 5,4 cm.