Variations et extremums : exercices de maths 2de

1 Lire les variations sur une courbe ★★★

Voici la courbe d’une fonction q définie sur [−2 ; 4].

1. Donne le sens de variation de q sur [−2 ; 1], puis sur [1 ; 4].
2. Dresse le tableau de variations de q.
3. Quel est le maximum de q sur [−2 ; 4] ? En quelle valeur est-il atteint ?
4. Compare q(−1) et q(0), puis q(2) et q(3).

2 Exploiter un tableau de variations ★★★

Une fonction f est définie sur [−5 ; 6] par le tableau de variations suivant.

1. Donne les intervalles sur lesquels f est croissante, puis ceux sur lesquels elle est décroissante.
2. Donne le maximum et le minimum de f sur [−5 ; 6], et les valeurs où ils sont atteints.
3. Compare f(−4) et f(−2), puis f(0) et f(2).
4. Peut-on comparer f(−3) et f(5) ? Justifie.

3 Comparer des images sans calculer ★★★

Compare, sans calculatrice, en justifiant avec les variations d’une fonction de référence :

1. (−4,2)² et (−3,9)² ;
2. 2,5³ et 2,4³ ;
3. (−1,7)³ et (−1,6)³ ;
4. 0,3² et (−0,4)².

4 Fonctions affines ★★★

Pour chaque fonction, donne le sens de variation sur ℝ : f(x) = −3x + 5 ; g(x) = 0,5x − 2 ; h(x) = 7. Puis :

1. compare f(√2) et f(1,5) ;
2. compare g(−13) et g(−0,3).

5 Vrai ou faux ? (fonctions de référence) ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse et justifie.

1. La fonction carré est croissante sur ℝ.
2. La fonction cube est croissante sur ℝ.
3. La fonction racine carrée est croissante sur ℝ.
4. La fonction inverse est décroissante sur ℝ*.
5. La fonction x ↦ −x est décroissante sur ℝ.
6. Le minimum de la fonction carré sur ℝ est 0.

6 Lire des extremums dans un tableau ★★★

La fonction g est définie sur [0 ; 10] par ce tableau de variations.

1. Quel est le maximum de g ? Pour quelle valeur de x est-il atteint ?
2. Quel est le minimum de g ? Pour quelle valeur ?
3. L’équation g(x) = 7 a-t-elle des solutions ?
4. Combien de solutions a l’équation g(x) = 0 ?

7 Inverse et racine carrée ★★★

Compare, en justifiant :

1. √7 et √11 ;
2. 12,5 et 12,9 ;
3. 1−0,5 et 1−0,3 ;
4. 1−2 et 13.

8 Courbe, minimum et nombre de solutions ★★★

Voici la courbe de la fonction r définie par r(x) = x² − 4x + 1 sur [−1 ; 5].

1. Dresse le tableau de variations de r.
2. Donne le minimum de r et l’endroit où il est atteint.
3. Pour chaque valeur de k, donne le nombre de solutions de r(x) = k : k = −3 ; k = 0 ; k = −4 ; k = 6 ; k = 7.
4. Vérifie par le calcul que r(x) = 6 a bien pour solutions −1 et 5.

9 Encadrer des images ★★★

1. Une fonction f est décroissante sur [−4 ; 1], avec f(−4) = 6 et f(1) = −2. Encadre f(x) lorsque x ∈ [−4 ; 1].

2. On sait aussi que f(−3) = 3 et f(0) = −1. Encadre f(x) lorsque x ∈ [−3 ; 0].

3. Une fonction g est croissante sur [2 ; 8] avec g(4) = 0 et g(6) = 3. Encadre g(x) pour x ∈ [4 ; 6]. Que peux-tu dire de l’équation g(x) = 1 sur [4 ; 6], sachant que g est strictement croissante et sans coupure ?

10 Une parabole décalée ★★★

Soit f(x) = (x − 2)² + 1 pour tout réel x.

1. Montre que f(x) ≥ 1 pour tout x. Quel est le minimum de f ?
2. Donne le sens de variation de f sur ]−∞ ; 2], puis sur [2 ; +∞[.
3. Calcule f(−1) et f(4). Compare-les, puis explique pourquoi on ne peut pas les comparer avec le seul sens de variation.

11 Trouver un maximum avec une écriture 5 − (…)² ★★★

Soit g(x) = 5 − (x + 1)² sur ℝ.

1. Montre que g(x) ≤ 5 pour tout x et indique pour quelle valeur de x on a g(x) = 5.
2. Quel est le maximum de g ?
3. Dresse le tableau de variations de g sur [−4 ; 2]. (Calcule g(−4), g(−1) et g(2).)
4. L’équation g(x) = 6 a-t-elle des solutions ?

12 Démontrer qu’une fonction affine est décroissante ★★★

Soit f(x) = −2x + 7 sur ℝ. Soient a et b deux réels tels que a < b.

1. Calcule f(a) − f(b) et simplifie.
2. Détermine son signe et conclus sur le sens de variation de f.

13 Démontrer les variations de x² + 6x − 1 ★★★

Soit g(x) = x² + 6x − 1 sur ℝ.

1. Vérifie que g(x) = (x + 3)² − 10.
2. Déduis-en le minimum de g et la valeur où il est atteint.
3. Pour a < b : développe et factorise g(a) − g(b) pour montrer que g(a) − g(b) = (a − b)(a + b + 6).
4. Montre que g est croissante sur [−3 ; +∞[ puis décroissante sur ]−∞ ; −3].

14 Rectangle de périmètre donné ★★★

Un jardinier veut un enclos rectangulaire de périmètre 40 m. Il note x la longueur d’un côté (en m).

1. Entre quelles valeurs x peut-il varier ? Exprime l’autre côté puis l’aire A(x).
2. Montre que A(x) = 100 − (x − 10)².
3. Dresse le tableau de variations de A sur [0 ; 20].
4. Quelle forme faut-il choisir pour que l’aire soit maximale ? Donne cette aire.

15 Recette d’un commerçant ★★★

Une boutique modélise sa recette journalière par R(p) = −2p² + 24p, en centaines d’euros, où p est le prix de vente d’un article en euros, avec 1 ≤ p ≤ 10.

1. Vérifie que R(p) = 72 − 2(p − 6)².
2. Dresse le tableau de variations de R sur [1 ; 10].
3. Pour quel prix la recette est-elle maximale ? Quel est son montant ?
4. Quel est le minimum de R sur [1 ; 10] ? Pour quel prix est-il atteint ?
5. Pour quels prix la recette dépasse-t-elle 6 400 € (soit R(p) ≥ 64) ?

16 Étude complète sur une courbe ★★★

Voici la courbe d’une fonction p définie sur [−4 ; 4]. On lit : p(−4) = −2, p(−2) = 2, p(2) = −2 et p(4) = 2.

1. Dresse le tableau de variations de p.
2. Donne ses extremums et les valeurs où ils sont atteints.
3. Compare p(−3) et p(−2,5), puis p(0) et p(1).
4. Combien de solutions ont les équations p(x) = 0, p(x) = 2 et p(x) = 2,5 ?
5. On admet que p(x) = (x³ − 12x) ÷ 8. Calcule p(−3) et p(0) et vérifie la comparaison précédente.

17 Opérations sur les fonctions de référence ★★★

1. Donne le sens de variation de f(x) = 1x − 2 sur ]0 ; +∞[. Compare f(0,5) et f(4).

2. Donne le sens de variation de g(x) = −3√x + 1 sur [0 ; +∞[. Quel est son maximum ? Compare g(2) et g(5), puis dresse son tableau sur [0 ; 9].

3. Donne le sens de variation de h(x) = 2x³ + 4 sur ℝ.

18 Le ballon ★★★

Un ballon est lancé verticalement. Sa hauteur (en m) à l’instant t (en s) est h(t) = −5t² + 20t + 1 pour t ∈ [0 ; 4].

1. Montre que h(t) = 21 − 5(t − 2)².
2. En déduis le maximum de h et l’instant où il est atteint.
3. Dresse le tableau de variations de h sur [0 ; 4].
4. Pendant combien de temps le ballon se trouve-t-il à une hauteur d’au moins 16 m ?

19 Vrai ou faux ? (variations et extremums) ★★★

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie, avec un contre-exemple quand elle est fausse.

1. Si f(−1) < f(2), alors f est croissante sur [−1 ; 2].
2. Si f est croissante sur [0 ; 3] et décroissante sur [3 ; 7], alors le maximum de f sur [0 ; 7] est f(3).
3. Un minimum est toujours atteint à une borne de l’intervalle.
4. Toute fonction décroissante sur ℝ admet un maximum sur ℝ.
5. Deux fonctions qui ont le même tableau de variations sont égales.

20 Image d’un intervalle ★★★

Soit f(x) = x² − 2x sur [−1 ; 3].

1. Vérifie que f(x) = (x − 1)² − 1.
2. Dresse le tableau de variations de f sur [−1 ; 3].
3. Montre que pour tout x ∈ [−1 ; 3], −1 ≤ f(x) ≤ 3.
4. Résous f(x) = 0 sur [−1 ; 3].

21 La fonction x + 1/x ★★★

Soit f(x) = x + 1x sur ]0 ; +∞[.

1. Montre que f(x) − 2 = (x−1)²x. En déduis que f(x) ≥ 2 pour tout x > 0 et que 2 est le minimum de f.
2. Soient 0 < a < b. Montre que f(a) − f(b) = (a−b)(ab−1)ab.
3. Montre que f est décroissante sur ]0 ; 1] et croissante sur [1 ; +∞[.
4. Dresse le tableau de variations sur ]0 ; +∞[. Compare f(2) et f(12).

22 Déterminer une fonction affine ★★★

Soit f(x) = ax + b une fonction affine telle que f(2) = 7 et f(5) = −2.

1. Détermine a et b.
2. Donne le sens de variation de f.
3. Résous f(x) ≥ 0.

23 Ranger sans calculatrice ★★★

Range dans l’ordre croissant, en justifiant à l’aide des variations : A = (−2,3)² ; B = 1,5² ; C = (−1,2)² ; D = (−0,3)².