Intervalles, inégalités et inéquations : exercices de maths 2de

1 Inégalité vers intervalle ★★★

Écris chaque ensemble de réels sous forme d’intervalle.

1. 2 < x ≤ 9
2. x ≥ −4
3. x < 7
4. −1 ≤ x < 3
5. x > 0
6. 5 ≥ x

2 Intervalle vers inégalité ★★★

Traduis chaque intervalle par une inégalité portant sur x.

1. x ∈ [3 ; 8]
2. x ∈ ]−2 ; 5[
3. x ∈ [0 ; +∞[
4. x ∈ ]−∞ ; −6]
5. x ∈ [−5 ; −1[

3 Appartient ou non ? ★★★

Soit I = [−3 ; 2[. Complète par ∈ ou ∉.

1. −3 … I
2. 2 … I
3. 1,99 … I
4. −3,01 … I
5. √5 … I
6. −√2 … I

4 Entiers d’un intervalle ★★★

Donne tous les entiers relatifs appartenant à chaque intervalle.

1. [−2 ; 3]
2. ]1,5 ; 6[
3. ]−4 ; 0]
4. [2,1 ; 5,9]

5 Amplitude ★★★

Calcule l’amplitude de chaque intervalle.

1. [−3 ; 5]
2. ]2,5 ; 7,1[
3. [−10 ; −4,5[

6 Représenter sur la droite ★★★

Trace une droite graduée de −3 à 6 et représente en couleur les intervalles [−2 ; 3[ et ]1 ; +∞[.

7 Valeurs absolues ★★★

Calcule, sans valeur absolue.

1. |−7|
2. |5,2|
3. |4 − 9|
4. |−2| + |−3|
5. |−2 − 3|
6. |π − 4|

8 Distances sur la droite ★★★

Calcule la distance entre les points d’abscisses :

1. −3 et 5
2. 2,5 et −1
3. −7 et −2
4. x et 4 (écris-la avec une valeur absolue)

9 Intersections et réunions ★★★

Détermine I ∩ J et I ∪ J dans chaque cas.

1. I = [−2 ; 4] et J = ]1 ; 7]
2. I = ]−∞ ; 0[ et J = [−3 ; +∞[
3. I = [0 ; 2] et J = ]5 ; 9]
4. I = ]−1 ; 3[ et J = [3 ; 8]

10 Valeur absolue et intervalle ★★★

Écris chaque ensemble de solutions sous forme d’intervalle ou de réunion d’intervalles.

1. |x| ≤ 3
2. |x − 2| < 5
3. |x + 1| ≤ 4
4. |x| > 2
5. |x − 4| ≥ 1

11 Intervalle vers valeur absolue ★★★

Écris chaque intervalle sous la forme |x − a| ≤ r (ou <).

1. x ∈ [1 ; 9]
2. x ∈ ]−3 ; 7[
3. x ∈ [−6 ; −2]

12 Encadrer une expression ★★★

On sait que 2 < x < 5. Encadre :

1. 3x + 1
2. −2x
3. 4 − x
4. x²
5. 1x

13 Somme, différence, produit ★★★

Soit a ∈ [2 ; 3] et b ∈ [1 ; 4]. Encadre a + b, a − b, a × b puis ab.

14 Inéquations du premier degré ★★★

Résous chaque inéquation et donne l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle.

1. 3x − 5 < 7
2. 2x + 9 ≥ 1
3. −5x + 10 > 0
4. 4x − 3 ≤ x + 9

15 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse et justifie (un contre-exemple suffit pour une affirmation fausse).

1. Si x ≤ 3, alors x² ≤ 9.
2. Si 0 < x < y, alors 1x > 1y.
3. Si a < b, alors −a > −b.
4. ]1 ; 3[ ∪ ]2 ; 5[ = ]1 ; 5[.
5. |x − 3| = |3 − x| pour tout réel x.

16 Signe d’une expression affine ★★★

Dresse le tableau de signes de 2x − 6 puis de 8 − 4x. En déduis les solutions de 2x − 6 ≥ 0 et de 8 − 4x > 0.

17 Inéquations avec fractions ★★★

Résous.

1. x-12 ≥ 2x+33
2. 5 − 3(x + 2) < 2x + 4

18 Produit de deux facteurs ★★★

Résous (x + 3)(2 − x) ≥ 0 à l’aide d’un tableau de signes.

19 Un quotient ★★★

Résous x-1x+4 < 0.

20 Abonnement ou tarif libre ★★★

Une salle de sport propose deux formules. Formule A : 12 € d’inscription puis 2,50 € la séance. Formule B : 4,50 € la séance, sans inscription. On note n le nombre de séances.

1. Écris le prix de chaque formule en fonction de n.
2. À partir de combien de séances la formule A est-elle strictement moins chère ?

21 Tolérance d’un thermostat ★★★

Un four est réglé sur 180 °C. Il fonctionne correctement si l’écart entre sa température réelle T et 180 est d’au plus 5 %.

1. Calcule l’écart maximal en °C.
2. Traduis la condition avec une valeur absolue, puis donne l’intervalle des températures acceptables.

22 Un randonneur et son refuge ★★★

Sur un sentier gradué en kilomètres, un refuge est au kilomètre 12. Un randonneur, au kilomètre x, doit se trouver à au plus 3 km du refuge et au moins au kilomètre 10. Dans quel intervalle peut-il être ?

23 Valeur absolue et réunion ★★★

Résous |x − 1| > 3, puis détermine les solutions qui appartiennent à l’intervalle [−5 ; 6].

24 Une preuve sur les carrés ★★★

Soit a et b deux réels tels que 0 < a < b. Démontre que a² < b². Que se passe-t-il si a et b sont négatifs ? Donne un exemple.

25 Signe d’un trinôme factorisé ★★★

Résous (x − 1)(x − 2) ≤ 0, puis en déduis que, pour tout x de [1 ; 2], on a x² + 2 ≤ 3x.

26 Un rectangle à encadrer ★★★

Un rectangle a pour côtés x et x + 3 (en cm), avec 2 ≤ x ≤ 5. Encadre son périmètre puis son aire.

27 Inéquation à réduire ★★★

Résous 3x+1x-1 ≥ 2 pour x ≠ 1.