Intervalles, inégalités et inéquations : corrigé des exercices de maths 2de

1 Inégalité vers intervalle ★★★

1. ]2 ; 9] (2 exclu, 9 inclus).
2. [−4 ; +∞[ (−4 inclus ; crochet ouvert en +∞).
3. ]−∞ ; 7[.
4. [−1 ; 3[.
5. ]0 ; +∞[.
6. 5 ≥ x se lit x ≤ 5 : ]−∞ ; 5].

2 Intervalle vers inégalité ★★★

1. 3 ≤ x ≤ 8.
2. −2 < x < 5.
3. x ≥ 0.
4. x ≤ −6.
5. −5 ≤ x < −1.

3 Appartient ou non ? ★★★

1. −3 ∈ I : la borne −3 est incluse.
2. 2 ∉ I : la borne 2 est exclue.
3. 1,99 ∈ I car −3 ≤ 1,99 < 2.
4. −3,01 ∉ I car −3,01 < −3.
5. √5 ≈ 2,236 > 2, donc √5 ∉ I.
6. −√2 ≈ −1,414, et −3 ≤ −1,414 < 2 : −√2 ∈ I.

4 Entiers d’un intervalle ★★★

1. −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 (six entiers, bornes incluses).
2. 2 ; 3 ; 4 ; 5 (6 est exclu, 1,5 n’est pas entier et 2 > 1,5).
3. −3 ; −2 ; −1 ; 0 (−4 est exclu, 0 est inclus).
4. 3 ; 4 ; 5 (2 < 2,1 donc 2 n’en fait pas partie ; 6 > 5,9).

5 Amplitude ★★★

1. 5 − (−3) = 8.
2. 7,1 − 2,5 = 4,6.
3. −4,5 − (−10) = −4,5 + 10 = 5,5.

L’amplitude ne dépend pas du fait que les bornes soient incluses ou non.

6 Représenter sur la droite ★★★

On place un point plein en −2 (inclus) et un point creux en 3 (exclu), avec un trait épais entre les deux. Pour ]1 ; +∞[, point creux en 1 et trait vers la droite.

7 Valeurs absolues ★★★

1. |−7| = 7.
2. |5,2| = 5,2.
3. |4 − 9| = |−5| = 5.
4. |−2| + |−3| = 2 + 3 = 5.
5. |−2 − 3| = |−5| = 5. (Ici le résultat coïncide avec le précédent, mais en général |a + b| ≠ |a| + |b|.)
6. π ≈ 3,14 < 4, donc π − 4 est négatif : |π − 4| = 4 − π.

8 Distances sur la droite ★★★

1. d = |−3 − 5| = |−8| = 8.
2. d = |2,5 − (−1)| = |3,5| = 3,5.
3. d = |−7 − (−2)| = |−5| = 5.
4. d = |x − 4|.

9 Intersections et réunions ★★★

1. I ∩ J = ]1 ; 4] (1 exclu car 1 ∉ J ; 4 inclus dans les deux) ; I ∪ J = [−2 ; 7].
2. I ∩ J = [−3 ; 0[ ; I ∪ J = ]−∞ ; +∞[ = ℝ.
3. Les deux intervalles ne se rencontrent pas : I ∩ J = ∅ ; I ∪ J = [0 ; 2] ∪ ]5 ; 9] (pas de simplification possible).
4. 3 ∉ I donc I ∩ J = ∅ ; mais 3 ∈ J, et ]−1 ; 3[ ∪ [3 ; 8] = ]−1 ; 8].

10 Valeur absolue et intervalle ★★★

1. Centre 0, rayon 3 : [−3 ; 3].
2. Centre 2, rayon 5 : ]2 − 5 ; 2 + 5[ = ]−3 ; 7[.
3. |x + 1| = |x − (−1)| : centre −1, rayon 4 : [−5 ; 3].
4. Distance à 0 strictement supérieure à 2 : ]−∞ ; −2[ ∪ ]2 ; +∞[.
5. Distance à 4 au moins égale à 1 : ]−∞ ; 3] ∪ [5 ; +∞[.

11 Intervalle vers valeur absolue ★★★

1. Centre (1 + 9)/2 = 5, rayon (9 − 1)/2 = 4 : |x − 5| ≤ 4.
2. Centre (−3 + 7)/2 = 2, rayon (7 − (−3))/2 = 5 : |x − 2| < 5.
3. Centre (−6 − 2)/2 = −4, rayon (−2 − (−6))/2 = 2 : |x + 4| ≤ 2.

12 Encadrer une expression ★★★

1. 6 < 3x < 15 puis 7 < 3x + 1 < 16.
2. On multiplie par −2 (ordre inversé) : −10 < −2x < −4.
3. −5 < −x < −2 puis −1 < 4 − x < 2.
4. x est positif : 2² < x² < 5², soit 4 < x² < 25.
5. x est strictement positif : la fonction inverse inverse l’ordre, donc 15 < 1x < 12.

13 Somme, différence, produit ★★★

• a + b : 2 + 1 ≤ a + b ≤ 3 + 4, donc 3 ≤ a + b ≤ 7.
• a − b : on a −4 ≤ −b ≤ −1 ; en additionnant, 2 − 4 ≤ a − b ≤ 3 − 1, donc −2 ≤ a − b ≤ 2.
• a × b : tous les nombres sont positifs, on multiplie les bornes : 2 × 1 ≤ ab ≤ 3 × 4, soit 2 ≤ ab ≤ 12.
• ab : on a 14 ≤ 1b ≤ 1 ; en multipliant par a ∈ [2 ; 3] (positif), 24 ≤ ab ≤ 3, soit 0,5 ≤ ab ≤ 3.

14 Inéquations du premier degré ★★★

1. 3x < 12 ⇔ x < 4. S = ]−∞ ; 4[.
2. 2x ≥ −8 ⇔ x ≥ −4. S = [−4 ; +∞[.
3. −5x > −10 ⇔ x < 2 (division par −5 : le sens change). S = ]−∞ ; 2[.
4. 4x − x ≤ 9 + 3 ⇔ 3x ≤ 12 ⇔ x ≤ 4. S = ]−∞ ; 4].

15 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux. Contre-exemple : x = −5 vérifie −5 ≤ 3 mais (−5)² = 25 > 9.
2. Vrai. La fonction inverse inverse l’ordre sur les réels strictement positifs.
3. Vrai. Multiplier par −1 inverse l’ordre.
4. Vrai. Les deux intervalles se chevauchent sur ]2 ; 3[ ; l’union recouvre tout de 1 (exclu) à 5 (exclu).
5. Vrai. Les nombres x − 3 et 3 − x sont opposés et deux opposés ont la même valeur absolue (la distance entre x et 3 est la même dans les deux sens).

16 Signe d’une expression affine ★★★

2x − 6 s’annule en 3 (car 2 × 3 = 6) ; a = 2 > 0.

Donc 2x − 6 ≥ 0 sur [3 ; +∞[.

8 − 4x s’annule en 2 ; a = −4 < 0 : positif avant 2, négatif après.

Donc 8 − 4x > 0 sur ]−∞ ; 2[.

17 Inéquations avec fractions ★★★

1. On multiplie par 6 (positif) : 3(x − 1) ≥ 2(2x + 3), soit 3x − 3 ≥ 4x + 6. Alors −x ≥ 9, donc x ≤ −9. S = ]−∞ ; −9]. Contrôle avec x = −9 : les deux membres valent −5 (égalité, borne incluse).
2. 5 − 3x − 6 < 2x + 4 ⇔ −3x − 1 < 2x + 4 ⇔ −5 < 5x ⇔ x > −1. S = ]−1 ; +∞[.

18 Produit de deux facteurs ★★★

x + 3 s’annule en −3 (a = 1 > 0) ; 2 − x s’annule en 2 (a = −1 < 0).

Le produit est positif ou nul sur [−3 ; 2] (zéros inclus). S = [−3 ; 2].

19 Un quotient ★★★

Le dénominateur s’annule en −4 : cette valeur est interdite. Le numérateur s’annule en 1.

Le quotient est strictement négatif pour −4 < x < 1. S = ]−4 ; 1[. Contrôle : pour x = 0, le quotient vaut −0,25 < 0.

20 Abonnement ou tarif libre ★★★

1. Prix A = 12 + 2,5n ; prix B = 4,5n.
2. On cherche 12 + 2,5n < 4,5n ⇔ 12 < 2n ⇔ n > 6. Pour n = 6 les prix sont égaux (27 €). Réponse : la formule A est plus avantageuse à partir de 7 séances.

21 Tolérance d’un thermostat ★★★

1. 5 % de 180 = 0,05 × 180 = 9 °C.
2. Condition : |T − 180| ≤ 9, soit T ∈ [180 − 9 ; 180 + 9] = [171 ; 189]. Le four est correct entre 171 °C et 189 °C.

22 Un randonneur et son refuge ★★★

« À au plus 3 km du refuge » : |x − 12| ≤ 3, soit x ∈ [9 ; 15]. « Au moins au kilomètre 10 » : x ∈ [10 ; +∞[. Les deux conditions doivent être réalisées : on prend l’intersection [9 ; 15] ∩ [10 ; +∞[ = [10 ; 15].

23 Valeur absolue et réunion ★★★

|x − 1| > 3 signifie que x est à une distance de 1 strictement supérieure à 3 : x < 1 − 3 ou x > 1 + 3. Donc S = ]−∞ ; −2[ ∪ ]4 ; +∞[.

Intersection avec [−5 ; 6] : [−5 ; −2[ ∪ ]4 ; 6].

24 Une preuve sur les carrés ★★★

Comme a > 0, on multiplie a < b par a : a² < ab. Comme b > 0, on multiplie a < b par b : ab < b². Donc a² < ab < b², d’où a² < b².

Pour des négatifs, l’ordre est inversé : −5 < −2 mais (−5)² = 25 > (−2)² = 4.

25 Signe d’un trinôme factorisé ★★★

Les facteurs s’annulent en 1 et en 2.

Le produit est négatif ou nul sur [1 ; 2] : S = [1 ; 2]. Or (x − 1)(x − 2) = x² − 3x + 2, donc x² − 3x + 2 ≤ 0, soit x² + 2 ≤ 3x pour x ∈ [1 ; 2].

26 Un rectangle à encadrer ★★★

Périmètre : P = 2(x + x + 3) = 4x + 6. De 2 ≤ x ≤ 5 on tire 8 ≤ 4x ≤ 20 puis 14 ≤ P ≤ 26 : le périmètre est compris entre 14 cm et 26 cm.

Aire : A = x(x + 3). Les deux facteurs sont positifs et croissants avec x : le minimum est pour x = 2, soit 2 × 5 = 10, le maximum pour x = 5, soit 5 × 8 = 40. Donc 10 ≤ A ≤ 40 : l’aire est comprise entre 10 cm² et 40 cm².

27 Inéquation à réduire ★★★

3x+1x-1 − 2 ≥ 0 ⇔ 3x+1-2(x-1)x-1 ≥ 0 ⇔ x+3x-1 ≥ 0. Le numérateur x + 3 s’annule en −3, le dénominateur x − 1 en 1.

Le quotient est positif ou nul sur ]−∞ ; −3] et sur ]1 ; +∞[. S = ]−∞ ; −3] ∪ ]1 ; +∞[. Contrôle : x = 3 donne 102 = 5 ≥ 2.