Vecteurs et repère : exercices de maths 2de

1 Parallélogramme : vrai ou faux ? ★★★

ABCD est un parallélogramme. Dis, en justifiant, si chaque égalité est vraie ou fausse.

1. AB⃗ = DC⃗
2. AD⃗ = CB⃗
3. AB⃗ = CD⃗
4. AC⃗ = BD⃗
5. AB⃗ + AD⃗ = AC⃗

2 Lire des coordonnées ★★★

Dans le repère orthonormé ci-dessous, lis les coordonnées des points A, B, C et D.

1. Calcule les coordonnées des vecteurs AB⃗, CD⃗ et BC⃗.
2. Calcule la norme du vecteur AB⃗.

3 Coordonnées et norme ★★★

Dans un repère orthonormé, calcule les coordonnées des vecteurs demandés et, pour le premier, la norme.

1. A(2 ; −1) et B(5 ; 3) : AB⃗
2. M(−3 ; 4) et N(1 ; −2) : MN⃗
3. P(0 ; 5) et Q(−4 ; 5) : PQ⃗

4 Compléter avec Chasles ★★★

Complète chaque égalité par un seul vecteur ou par 0⃗.

1. AB⃗ + BC⃗ = …
2. MN⃗ + NP⃗ + PQ⃗ = …
3. EF⃗ + FE⃗ = …
4. RS⃗ + … = RT⃗
5. AB⃗ + BC⃗ + CD⃗ + DA⃗ = …

5 Opérations sur des vecteurs donnés ★★★

On donne u⃗(3 ; −2) et v⃗(−1 ; 4). Calcule les coordonnées de :

1. u⃗ + v⃗
2. 2u⃗
3. u⃗ − v⃗
4. 3u⃗ − 2v⃗

6 Milieux ★★★

Dans un repère, calcule les coordonnées du milieu de chaque segment.

1. [AB] avec A(−2 ; 5) et B(6 ; 1)
2. [CD] avec C(0 ; −3) et D(7 ; 4)

7 Colinéaires ou non ? ★★★

Pour chaque couple, dis si les vecteurs sont colinéaires.

1. u⃗(2 ; 3) et v⃗(6 ; 9)
2. u⃗(4 ; −1) et v⃗(−8 ; 3)
3. u⃗(1,5 ; −3) et v⃗(−1 ; 2)

8 Quatrième sommet d’un parallélogramme ★★★

Dans un repère, A(−1 ; 2), B(3 ; 1) et C(4 ; 5). Détermine les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme, puis vérifie ta réponse avec les milieux des diagonales.

9 Image d’un triangle par une translation ★★★

La translation t a pour vecteur u⃗(−3 ; 2). Soit A(1 ; 4), B(−2 ; −1) et C(0 ; 0).

1. Calcule les coordonnées des images A′, B′ et C′.
2. Montre que A′B′⃗ = AB⃗. Que peut-on dire de la longueur A′B′ ?

10 Colinéarité avec un paramètre ★★★

Soit u⃗(3 ; m + 1) et v⃗(−6 ; 10), où m est un réel. Détermine m pour que u⃗ et v⃗ soient colinéaires, puis donne le réel k tel que v⃗ = ku⃗.

11 Points alignés ? ★★★

Dans un repère, A(−2 ; 1), B(1 ; 3), C(7 ; 7) et D(4 ; 6).

1. Les points A, B et C sont-ils alignés ?
2. Les points A, B et D sont-ils alignés ?

12 Un trapèze ? ★★★

Dans un repère, A(−3 ; −1), B(5 ; 3), C(−1 ; 5) et D(1 ; 6).

1. Montre que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
2. ABDC est-il un parallélogramme ? Justifie.

13 Simplifier des écritures vectorielles ★★★

Simplifie au maximum :

1. E = AB⃗ − CB⃗ + CD⃗
2. F = MA⃗ − MB⃗ + AC⃗
3. G = 2(AB⃗ + AC⃗) − (AB⃗ − 3AC⃗)

14 Bateau et courant ★★★

Dans un repère orthonormé gradué en kilomètres par heure, un bateau avance à vitesse propre p⃗(4 ; 3) sur une eau calme. Un courant lui ajoute la vitesse c⃗(1 ; −2). La vitesse réelle du bateau est la somme p⃗ + c⃗.

1. Calcule les coordonnées de la vitesse réelle.
2. Quelle est sa norme, arrondie au dixième de km/h ?
3. Le courant fait-il gagner ou perdre de la vitesse au bateau ? Compare la norme de p⃗ et celle de la vitesse réelle.

15 Nature d’un triangle ★★★

Dans un repère orthonormé, A(0 ; 0), B(4 ; 3) et C(3 ; −4). Calcule AB, AC et BC, puis détermine la nature du triangle ABC.

16 Un parallélogramme à construire ★★★

ABCD est un parallélogramme. Le point E est défini par AB⃗ = BE⃗ (B est donc le milieu de [AE]). Démontre que DCEB est un parallélogramme.

17 Médiane et centre de gravité ★★★

ABC est un triangle, I est le milieu de [BC]. On pose u⃗ = AB⃗ et v⃗ = AC⃗. Le point G est défini par AG⃗ = 23AI⃗.

1. Démontre que AI⃗ = 12(u⃗ + v⃗).
2. Exprime AG⃗, BG⃗ et CG⃗ en fonction de u⃗ et v⃗.
3. Démontre que GA⃗ + GB⃗ + GC⃗ = 0⃗.

18 Droite des milieux ★★★

ABC est un triangle, I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [AC]. Démontre que IJ⃗ = 12BC⃗ et conclus sur (IJ) et (BC), puis sur IJ et BC.

19 Un rectangle caché ★★★

Dans un repère orthonormé, A(−4 ; −2), B(2 ; 1) et C(0 ; 5).

1. Détermine les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
2. Calcule les coordonnées du centre I du parallélogramme.
3. Calcule AC et BD. Que peux-tu en déduire pour ABCD ?

20 Un point défini par une combinaison ★★★

Dans un repère, A(1 ; 2), B(3 ; −1) et C(−2 ; 0). Détermine les coordonnées du point M tel que AM⃗ = 2AB⃗ − 3AC⃗.

21 Alignement et paramètre ★★★

Dans un repère, A(2 ; 1), B(5 ; 7) et M(x ; −5). Détermine x pour que les points A, B et M soient alignés.

22 Trisection d’un segment ★★★

Dans un repère, A(−5 ; 2) et B(4 ; −1). On place K et L sur [AB] tels que AK⃗ = 13AB⃗ et AL⃗ = 23AB⃗.

1. Calcule les coordonnées de K et de L.
2. Démontre que KL⃗ = 13AB⃗. Que peux-tu en conclure pour les segments [AK], [KL] et [LB] ?