Vecteurs et repère : corrigé des exercices de maths 2de

1 Parallélogramme : vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : dans un parallélogramme ABCD, les côtés opposés [AB] et [DC] sont parallèles, de même longueur et orientés dans le même sens.
2. Faux : AD⃗ = BC⃗. Le vecteur CB⃗ est l’opposé de BC⃗, donc AD⃗ = −CB⃗.
3. Faux : CD⃗ est l’opposé de DC⃗ = AB⃗, donc CD⃗ = −AB⃗. Ils ont même direction et même norme, mais des sens contraires.
4. Faux : les diagonales [AC] et [BD] ont des directions différentes (sauf cas aplati), donc les vecteurs ne sont pas égaux.
5. Vrai : c’est la règle du parallélogramme.

2 Lire des coordonnées ★★★

Lecture : A(−3 ; −1), B(1 ; 2), C(2 ; −2), D(−2 ; 3).

1. AB⃗(1 − (−3) ; 2 − (−1)) = (4 ; 3).
   CD⃗(−2 − 2 ; 3 − (−2)) = (−4 ; 5).
   BC⃗(2 − 1 ; −2 − 2) = (1 ; −4).
2. Le repère est orthonormé : AB = √(4² + 3²) = √25 = 5.

3 Coordonnées et norme ★★★

1. AB⃗(5 − 2 ; 3 − (−1)) = (3 ; 4). Norme : AB = √(3² + 4²) = √25 = 5.
2. MN⃗(1 − (−3) ; −2 − 4) = (4 ; −6).
3. PQ⃗(−4 − 0 ; 5 − 5) = (−4 ; 0). C’est un vecteur horizontal, de norme 4.

4 Compléter avec Chasles ★★★

1. AB⃗ + BC⃗ = AC⃗ (Chasles).
2. MN⃗ + NP⃗ + PQ⃗ = MP⃗ + PQ⃗ = MQ⃗.
3. EF⃗ + FE⃗ = EE⃗ = 0⃗.
4. RS⃗ + ST⃗ = RT⃗.
5. AB⃗ + BC⃗ + CD⃗ + DA⃗ = AC⃗ + CD⃗ + DA⃗ = AD⃗ + DA⃗ = 0⃗ : on revient au point de départ.

5 Opérations sur des vecteurs donnés ★★★

1. u⃗ + v⃗(3 + (−1) ; −2 + 4) = (2 ; 2).
2. 2u⃗(2 × 3 ; 2 × (−2)) = (6 ; −4).
3. u⃗ − v⃗(3 − (−1) ; −2 − 4) = (4 ; −6).
4. 3u⃗(9 ; −6) et −2v⃗(2 ; −8), donc 3u⃗ − 2v⃗(9 + 2 ; −6 − 8) = (11 ; −14).

6 Milieux ★★★

1. Milieu de [AB] : ((−2 + 6)/2 ; (5 + 1)/2) = (4/2 ; 6/2) = (2 ; 3).
2. Milieu de [CD] : ((0 + 7)/2 ; (−3 + 4)/2) = (3,5 ; 0,5).

7 Colinéaires ou non ? ★★★

On calcule le déterminant xy′ − x′y.

1. 2 × 9 − 6 × 3 = 18 − 18 = 0 : colinéaires (on a v⃗ = 3u⃗).
2. 4 × 3 − (−8) × (−1) = 12 − 8 = 4 ≠ 0 : non colinéaires.
3. 1,5 × 2 − (−1) × (−3) = 3 − 3 = 0 : colinéaires (on a v⃗ = −23u⃗).

8 Quatrième sommet d’un parallélogramme ★★★

ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB⃗ = DC⃗.

AB⃗(3 − (−1) ; 1 − 2) = (4 ; −1). Notons D(x ; y) : DC⃗(4 − x ; 5 − y).

L’égalité donne 4 − x = 4 et 5 − y = −1, donc x = 0 et y = 6 : D(0 ; 6).

Vérification : le milieu de [AC] est ((−1 + 4)/2 ; (2 + 5)/2) = (1,5 ; 3,5) et celui de [BD] est ((3 + 0)/2 ; (1 + 6)/2) = (1,5 ; 3,5). Les diagonales ont le même milieu : c’est bien un parallélogramme.

9 Image d’un triangle par une translation ★★★

1. Si M′ est l’image de M, alors MM′⃗ = u⃗, donc les coordonnées de M′ sont celles de M augmentées de (−3 ; 2).
   A′(1 − 3 ; 4 + 2) = (−2 ; 6) ; B′(−2 − 3 ; −1 + 2) = (−5 ; 1) ; C′(0 − 3 ; 0 + 2) = (−3 ; 2).
2. AB⃗(−2 − 1 ; −1 − 4) = (−3 ; −5). A′B′⃗(−5 − (−2) ; 1 − 6) = (−3 ; −5). Les deux vecteurs ont les mêmes coordonnées : A′B′⃗ = AB⃗. Donc A′B′ = AB : la translation conserve les longueurs.

10 Colinéarité avec un paramètre ★★★

u⃗ et v⃗ sont colinéaires ⇔ 3 × 10 − (−6)(m + 1) = 0 ⇔ 30 + 6m + 6 = 0 ⇔ 6m = −36 ⇔ m = −6.

Alors u⃗(3 ; −5) et v⃗(−6 ; 10). Comme −6 = −2 × 3 et 10 = −2 × (−5), on a v⃗ = −2u⃗.

11 Points alignés ? ★★★

1. AB⃗(3 ; 2) et AC⃗(9 ; 6). Déterminant : 3 × 6 − 9 × 2 = 18 − 18 = 0. Les vecteurs sont colinéaires, donc A, B et C sont alignés (on a AC⃗ = 3AB⃗).
2. AB⃗(3 ; 2) et AD⃗(6 ; 5). Déterminant : 3 × 5 − 6 × 2 = 15 − 12 = 3 ≠ 0. Les vecteurs ne sont pas colinéaires : A, B et D ne sont pas alignés.

12 Un trapèze ? ★★★

1. AB⃗(8 ; 4) et CD⃗(2 ; 1). Déterminant : 8 × 1 − 2 × 4 = 0. Les vecteurs sont colinéaires donc (AB) // (CD).
2. Un parallélogramme ABDC vérifierait AB⃗ = CD⃗. Or AB⃗(8 ; 4) ≠ CD⃗(2 ; 1) (en fait AB⃗ = 4CD⃗). ABDC n’est donc pas un parallélogramme : c’est un trapèze de bases [AB] et [CD] (avec AB = 4 CD).

13 Simplifier des écritures vectorielles ★★★

1. E = AB⃗ + BC⃗ + CD⃗ = AC⃗ + CD⃗ = AD⃗.
2. F = MA⃗ + BM⃗ + AC⃗ = BM⃗ + MA⃗ + AC⃗ = BA⃗ + AC⃗ = BC⃗.
3. G = 2AB⃗ + 2AC⃗ − AB⃗ + 3AC⃗ = AB⃗ + 5AC⃗.

14 Bateau et courant ★★★

1. p⃗ + c⃗(4 + 1 ; 3 + (−2)) = (5 ; 1).
2. Norme : √(5² + 1²) = √26 ≈ 5,1 km/h.
3. ‖p⃗‖ = √(4² + 3²) = 5 km/h. Comme √26 ≈ 5,1 > 5, le courant fait gagner un tout petit peu de vitesse (environ 0,1 km/h), mais il dévie surtout la trajectoire.

Phrase réponse : la vitesse réelle est (5 ; 1), soit environ 5,1 km/h.

15 Nature d’un triangle ★★★

AB⃗(4 ; 3) donc AB = √(16 + 9) = 5. AC⃗(3 ; −4) donc AC = √(9 + 16) = 5. BC⃗(−1 ; −7) donc BC = √(1 + 49) = √50.

AB = AC : le triangle est isocèle en A. De plus AB² + AC² = 25 + 25 = 50 = BC² : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, il est rectangle en A.

Conclusion : ABC est rectangle isocèle en A.

16 Un parallélogramme à construire ★★★

ABCD est un parallélogramme, donc AB⃗ = DC⃗. Par définition de E, AB⃗ = BE⃗. On en déduit DC⃗ = BE⃗.

L’égalité DC⃗ = BE⃗ signifie que DCEB est un parallélogramme (on lit les sommets D, C, puis E, puis B).

17 Médiane et centre de gravité ★★★

1. AI⃗ = AB⃗ + BI⃗ = AB⃗ + 12BC⃗ = AB⃗ + 12(BA⃗ + AC⃗) = u⃗ − 12u⃗ + 12v⃗ = 12(u⃗ + v⃗).
2. AG⃗ = 23AI⃗ = 13(u⃗ + v⃗).
   BG⃗ = BA⃗ + AG⃗ = −u⃗ + 13(u⃗ + v⃗) = 13(−2u⃗ + v⃗).
   CG⃗ = CA⃗ + AG⃗ = −v⃗ + 13(u⃗ + v⃗) = 13(u⃗ − 2v⃗).
3. GA⃗ = −AG⃗ = 13(−u⃗ − v⃗), GB⃗ = −BG⃗ = 13(2u⃗ − v⃗), GC⃗ = −CG⃗ = 13(−u⃗ + 2v⃗).
   Somme : 13[(−u⃗ − v⃗) + (2u⃗ − v⃗) + (−u⃗ + 2v⃗)] = 13[(−1 + 2 − 1)u⃗ + (−1 − 1 + 2)v⃗] = 13 × 0⃗ = 0⃗.

(G est le centre de gravité du triangle ABC : les trois médianes passent par G.)

18 Droite des milieux ★★★

IJ⃗ = IA⃗ + AJ⃗ (Chasles). I milieu de [AB] : IA⃗ = −12AB⃗. J milieu de [AC] : AJ⃗ = 12AC⃗.

Donc IJ⃗ = 12(AC⃗ − AB⃗) = 12(AC⃗ + BA⃗) = 12(BA⃗ + AC⃗) = 12BC⃗.

Conclusion : IJ⃗ et BC⃗ sont colinéaires, donc (IJ) // (BC). De plus IJ = 12 BC (norme de 12BC⃗).

19 Un rectangle caché ★★★

1. AB⃗(6 ; 3). Avec D(x ; y), DC⃗(0 − x ; 5 − y). AB⃗ = DC⃗ donne −x = 6 et 5 − y = 3, donc x = −6 et y = 2 : D(−6 ; 2).
2. I est le milieu de [AC] : ((−4 + 0)/2 ; (−2 + 5)/2) = (−2 ; 1,5). C’est aussi le milieu de [BD] : ((2 − 6)/2 ; (1 + 2)/2) = (−2 ; 1,5). ✔
3. AC⃗(4 ; 7) donc AC = √(16 + 49) = √65. BD⃗(−8 ; 1) donc BD = √(64 + 1) = √65. Les diagonales ont la même longueur.

Conclusion : un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle : ABCD est un rectangle. (Contrôle : AB⃗(6 ; 3) et AD⃗(−2 ; 4) donnent AB² + AD² = 45 + 20 = 65 = BD² ✔.)

20 Un point défini par une combinaison ★★★

AB⃗(2 ; −3) et AC⃗(−3 ; −2).

2AB⃗(4 ; −6) et −3AC⃗(9 ; 6), donc 2AB⃗ − 3AC⃗(4 + 9 ; −6 + 6) = (13 ; 0).

Avec M(x ; y) : AM⃗(x − 1 ; y − 2) = (13 ; 0), donc x = 14 et y = 2.

M(14 ; 2).

21 Alignement et paramètre ★★★

A, B, M sont alignés ⇔ AB⃗ et AM⃗ colinéaires. AB⃗(3 ; 6) et AM⃗(x − 2 ; −6).

Déterminant : 3 × (−6) − (x − 2) × 6 = −18 − 6x + 12 = −6 − 6x. Il est nul si et seulement si x = −1.

Vérification : AM⃗(−3 ; −6) = −AB⃗. x = −1.

22 Trisection d’un segment ★★★

1. AB⃗(9 ; −3). AK⃗ = 13AB⃗(3 ; −1), donc K(−5 + 3 ; 2 − 1) = (−2 ; 1). AL⃗ = 23AB⃗(6 ; −2), donc L(−5 + 6 ; 2 − 2) = (1 ; 0).
2. KL⃗ = KA⃗ + AL⃗ = −13AB⃗ + 23AB⃗ = 13AB⃗. Par coordonnées : KL⃗(1 − (−2) ; 0 − 1) = (3 ; −1) ✔. De même LB⃗ = AB⃗ − AL⃗ = 13AB⃗. Les trois vecteurs AK⃗, KL⃗ et LB⃗ sont égaux : les points K et L partagent le segment [AB] en trois parties égales.