Généralités sur les fonctions et fonctions de référence : corrigé des exercices de maths 2de

1 Calculer des images ★★★

1. f(2) = 3 × 2 − 5 = 6 − 5 = 1. f(−1) = 3 × (−1) − 5 = −3 − 5 = −8. f(0) = −5. f(13) = 3 × 13 − 5 = 1 − 5 = −4.
2. On résout 3x − 5 = 7 : 3x = 12, donc x = 4. L’antécédent de 7 est 4 (vérification : f(4) = 12 − 5 = 7).
3. On résout 3x − 5 = 0 : 3x = 5, donc x = 53. L’antécédent de 0 est 53.

2 Des carrés plus un ★★★

1. g(3) = 9 + 1 = 10. g(−3) = (−3)² + 1 = 9 + 1 = 10. g(0) = 1. g(12) = 14 + 1 = 54.
2. D’après a., g(3) = g(−3) = 10 : 3 et −3 sont deux antécédents de 10.
3. g(x) = 0 s’écrit x² + 1 = 0, soit x² = −1, impossible car un carré est positif ou nul. Pour tout x, g(x) ≥ 1. Non, 0 n’a pas d’antécédent.
4. x² + 1 = 5 ⇔ x² = 4 ⇔ x = 2 ou x = −2. Les antécédents de 5 sont 2 et −2.

3 Lire sur une courbe ★★★

1. On lit : h(0) = 0, h(1) = −1, h(−1) = 1, h(2) = 1.
2. La droite y = 1 coupe la courbe en deux points d’abscisses −1 et 2 : les antécédents de 1 sont −1 et 2.
3. La courbe coupe l’axe des abscisses en trois points : x ≈ −1,7, x = 0 et x ≈ 1,7. Antécédents de 0 : −1,7 ; 0 ; 1,7 (valeurs approchées au dixième).
4. La droite y = 0,5 coupe la courbe en 3 points : 0,5 a donc 3 antécédents. La courbe reste entre −1 et 1, donc la droite y = 3 ne la rencontre pas : 3 n’a aucun antécédent.

4 Ensembles de définition ★★★

1. Il faut x − 2 ≠ 0, donc x ≠ 2. D_f = ℝ \ {2} = ]−∞ ; 2[ ∪ ]2 ; +∞[.
2. Il faut x + 3 ≥ 0, donc x ≥ −3. D_g = [−3 ; +∞[.
3. Une formule sans division ni racine : D_h = ℝ.
4. Un carré est positif ou nul, donc x² + 1 ≥ 1 et ne s’annule jamais. D_k = ℝ.
5. Il faut 6 − 2x ≥ 0, donc −2x ≥ −6, donc x ≤ 3 (on divise par −2 : le sens change). D_m = ]−∞ ; 3].
6. Il faut 2x + 8 ≠ 0, donc 2x ≠ −8, donc x ≠ −4. D_n = ℝ \ {−4}.

5 Le rectangle de périmètre 20 cm ★★★

1. Le demi-périmètre vaut 20 ÷ 2 = 10 cm. Largeur + longueur = 10, donc longueur = 10 − x. Aire = largeur × longueur : A(x) = x(10 − x).
2. Les deux dimensions sont positives : x ≥ 0 et 10 − x ≥ 0. L’ensemble de définition est [0 ; 10].
3. A(3) = 3 × 7 = 21 et A(5) = 5 × 5 = 25. A(5) est l’aire du carré de côté 5 cm : 25 cm².
4. A(4) = 4 × 6 = 24 et A(6) = 6 × 4 = 24. Donc 4 et 6 sont deux antécédents de 24 (deux rectangles différents, de même aire : 4 cm sur 6 cm, et 6 cm sur 4 cm).

6 Le point est-il sur la courbe ? ★★★

On calcule f de l’abscisse et on compare à l’ordonnée.

• f(2) = 4 − 6 + 1 = −1 : A ∈ C_f.
• f(−1) = 1 + 3 + 1 = 5 ≠ 4 : B ∉ C_f.
• f(0) = 1 : C ∈ C_f.
• f(3) = 9 − 9 + 1 = 1 ≠ 2 : D ∉ C_f.
• f(4) = 16 − 12 + 1 = 5 : E ∈ C_f.

7 Retrouver une fonction affine ★★★

1. f(x) = ax + b avec b = f(0) = 2. Puis f(1) = a + 2 = 5, donc a = 3. f(x) = 3x + 2.
2. a = −2−43−1 = −62 = −3. Puis 4 = −3 × 1 + b, donc b = 7. g(x) = −3x + 7. Vérification avec B : g(3) = −9 + 7 = −2 ✓.
3. k(x) = ax donc 4a = 10 et a = 2,5. k(x) = 2,5x.

8 Tableau de valeurs et courbe ★★★

1. x	−3	−2	−1	0	1	2	3
   f(x)	7	2	−1	−2	−1	2	7

2. On place les sept points et on les relie par une courbe régulière : c’est une parabole.
3. La courbe semble symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (f(−x) = f(x)). Les antécédents de 2 sont x² − 2 = 2 ⇔ x² = 4 ⇔ x = 2 ou x = −2.

9 Équations et inéquations graphiques ★★★

On relève sur la figure les points remarquables : C_u coupe l’axe des abscisses en (−2 ; 0) et (2 ; 0), passe par (−1 ; 3), (0 ; 4), (1 ; 3), et coupe d en (−1 ; 3) et (2 ; 0).

1. S = {−2 ; 2}.
2. La courbe est au-dessus de la droite y = 3 entre −1 et 1 : S = [−1 ; 1].
3. La courbe est strictement sous l’axe des abscisses pour x < −2 et x > 2 : S = [−3 ; −2[ ∪ ]2 ; 3].
4. Points communs de C_u et d : S = {−1 ; 2}. Vérification : u(−1) = 3 = −(−1) + 2 et u(2) = 0 = −2 + 2.
5. C_u est en dessous de d (ou sur d) pour x ≤ −1 et pour x ≥ 2 : S = [−3 ; −1] ∪ [2 ; 3].

10 La fonction inverse ★★★

1. 1 ÷ x = 0,25 donc x = 1 ÷ 0,25 = 4.
2. 1 ÷ x = −2 donc x = 1−2 = −0,5.
3. Si x < 0, alors 1x < 0 < 12 : aucune solution négative. Si x > 0, la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[ et 12 = f(2) : 1x ≥ 12 ⇔ x ≤ 2. Donc S = ]0 ; 2].
4. Si x > 0, 1x > 0 : pas de solution. Si x < 0, l’inverse est décroissante sur ]−∞ ; 0[ et 1−1 = −1 : 1x < −1 ⇔ x > −1. Donc S = ]−1 ; 0[. Contrôle : x = −0,5 donne 1x = −2 < −1 ✓.

11 La racine carrée ★★★

1. √x = 5 ⇔ x = 5² = 25 (et 25 ≥ 0).
2. Il faut 2x − 1 ≥ 0, donc x ≥ 0,5 (soit 12). D_f = [0,5 ; +∞[.
3. √(2x − 1) = 3 ⇔ 2x − 1 = 9 ⇔ 2x = 10 ⇔ x = 5. Vérification : √9 = 3 ✓. S = {5}.
4. La racine carrée est croissante et √4 = 2 : √x > 2 ⇔ x > 4. S = ]4 ; +∞[.
5. √9 = 3 : √x ≤ 3 ⇔ x ≤ 9, et il faut x ≥ 0. S = [0 ; 9].

12 Paire, impaire ou ni l’une ni l’autre ? ★★★

1. ℝ est symétrique. f(−x) = (−x)⁴ − 3(−x)² = x⁴ − 3x² = f(x) : paire.
2. g(−x) = 2(−x)³ + (−x) = −2x³ − x = −(2x³ + x) = −g(x) : impaire.
3. h(1) = 2 et h(−1) = 1 − 1 = 0. h(−1) ≠ h(1) et h(−1) ≠ −h(1) = −2 : ni paire ni impaire.
4. ℝ* est symétrique. k(−x) = 4−x = −4x = −k(x) : impaire.
5. [0 ; +∞[ n’est pas symétrique par rapport à 0 (2 y est, pas −2) : ni paire ni impaire.
6. p(−x) = 5 = p(x) : paire (sa courbe est une droite horizontale, symétrique par rapport à l’axe des ordonnées).

13 Compléter par symétrie ★★★

1. f paire : f(−x) = f(x). Donc f(−1) = f(1) = 3, f(−2) = f(2) = −1, f(−3) = f(3) = 2.
2. Si f était impaire, on aurait f(−0) = −f(0), soit f(0) = −f(0), donc f(0) = 0. Or f(0) = 1 : f ne peut pas être impaire.
3. g impaire : g(0) = 0, g(−1) = −g(1) = −2, g(−2) = −g(2) = 3, g(−3) = −g(3) = −1.

14 Comparer sans calculatrice ★★★

1. Le carré est décroissant sur ]−∞ ; 0] et −3 < −2 ≤ 0, donc l’ordre est renversé : (−3)² > (−2)². Vérification : 9 > 4.
2. Le cube est croissant sur ℝ et 1,5 > 1,2, donc 1,5³ > 1,2³ (3,375 > 1,728).
3. L’inverse est décroissante sur ]−∞ ; 0[ et −4 < −2 < 0, donc 1−4 > 1−2 (−0,25 > −0,5).
4. La racine carrée est croissante sur [0 ; +∞[ et 7 > 5, donc √7 > √5.
5. Le carré est décroissant sur ]−∞ ; 0] et −0,5 < −0,3, donc (−0,5)² > (−0,3)², c’est-à-dire (−0,3)² < (−0,5)² (0,09 < 0,25).

15 Variations et signe de fonctions affines ★★★

1. Pour f, a = −2 < 0 : décroissante. Pour g, a = 0,5 > 0 : croissante.
2. −2x + 6 = 0 ⇔ x = 3. f décroissante : positive avant 3, négative après.

   x	−∞	3	+∞
   f(x)	signe +	0	signe −

3. 0,5x − 1 = 0 ⇔ x = 2. g croissante : négative avant 2, positive après.

   x	−∞	2	+∞
   g(x)	signe −	0	signe +

4. −2x + 6 > 0,5x − 1 ⇔ 7 > 2,5x ⇔ x < 2,8. S = ]−∞ ; 2,8[. Contrôle : en x = 2,8, f(2,8) = 0,4 = g(2,8) ; en x = 0, f(0) = 6 > g(0) = −1 ✓.

16 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : c’est la définition d’une fonction (une seule image pour chaque x de D).
2. Faux : −4 n’a pas d’antécédent, car x² = −4 est impossible.
3. Faux : elle est décroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[ séparément. Contre-exemple : −1 < 1 mais 1−1 = −1 < 1 = 11.
4. Faux : pour x = −3, √((−3)²) = √9 = 3 ≠ −3. L’égalité est vraie seulement pour x ≥ 0.
5. Vrai : (−x)³ = −x³, donc le cube est impair et sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.

17 Deux tarifs de location ★★★

1. f(d) = 0,4d + 15 et g(d) = 0,65d : f est affine, g est linéaire.
2. f(40) = 16 + 15 = 31 € et g(40) = 26 €. Pour 40 km, le tarif B est le moins cher.
3. 0,4d + 15 = 0,65d ⇔ 15 = 0,25d ⇔ d = 60. Pour 60 km, les deux tarifs coûtent 39 € : c’est l’abscisse du point d’intersection I des deux droites.
4. f(d) < g(d) ⇔ 0,4d + 15 < 0,65d ⇔ 15 < 0,25d ⇔ d > 60. Le tarif A est avantageux dès que la distance dépasse 60 km (graphiquement : la droite de f passe sous celle de g après I).

18 Parabole et droite ★★★

1. Tableau de valeurs de f : x = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 donne 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9. La droite g passe par (0 ; 6) et (3 ; 9), par exemple.
2. On lit deux points d’intersection P et Q d’abscisses −2 et 3. Vérification : f(−2) = 4 = −2 + 6 = g(−2) ✓ et f(3) = 9 = 3 + 6 = g(3) ✓. Donc S = {−2 ; 3}. (Il n’y en a pas d’autre : une droite coupe une parabole en au plus deux points.)
3. La parabole est sous la droite entre P et Q : f(x) < g(x) pour S = ]−2 ; 3[. Elle est au-dessus ou sur la droite ailleurs : f(x) ≥ g(x) pour S = ]−∞ ; −2] ∪ [3 ; +∞[.

19 Racine carrée et droite y = x ★★★

1. Quelques points de √x : (0 ; 0), (1 ; 1), (4 ; 2), (0,25 ; 0,5). Les deux courbes se coupent en O(0 ; 0) et I(1 ; 1).
2. Pour x ≥ 0, les deux membres de √x = x sont positifs ; on peut élever au carré sans perdre d’équivalence : √x = x ⇔ x = x². Donc x² − x = 0, x(x − 1) = 0, x = 0 ou x = 1. S = {0 ; 1}.
3. La courbe de √x est au-dessus de la droite entre les deux points communs : √x > x pour S = ]0 ; 1[, et au-dessous après : √x < x pour S = ]1 ; +∞[. Vérification : √0,25 = 0,5 > 0,25 ✓ et √4 = 2 < 4 ✓.

20 Inverse contre identité ★★★

1. Pour x ≠ 0 : 1x = x ⇔ 1 = x² (on multiplie par x). Donc x = 1 ou x = −1 : les courbes se coupent en A(1 ; 1) et B(−1 ; −1).
2. L’hyperbole est au-dessus de la droite : pour x < −1 (branche de gauche) et pour 0 < x < 1 (branche de droite, près de l’axe des ordonnées). S = ]−∞ ; −1[ ∪ ]0 ; 1[.
3. x = −2 : 1−2 = −0,5 > −2 ✓ (dans S). x = −0,5 : 1−0,5 = −2 < −0,5 ✗ (hors S). x = 0,5 : 2 > 0,5 ✓ (dans S). x = 3 : 13 ≈ 0,33 < 3 ✗ (hors S). Les quatre tests confirment le résultat.

21 Démontrer une parité ★★★

1. x² + 1 ≥ 1, donc D_f = ℝ, symétrique par rapport à 0. f(−x) = (−x)³(−x)²+1 = −x³x²+1 = −f(x). f est impaire.
2. x² + 4 > 0, donc D_g = ℝ. g(−x) = (−x)²−1(−x)²+4 = x²−1x²+4 = g(x). g est paire.
3. D_h = ℝ*, symétrique. h(−x) = −x + 1−x = −x − 1x = −(x + 1x) = −h(x). h est impaire.
4. D_k = ℝ*, symétrique. k(1) = 1 + 1 = 2 et k(−1) = 1 − 1 = 0. k(−1) ≠ k(1) et k(−1) ≠ −k(1) = −2. k n’est ni paire ni impaire (un contre-exemple suffit).

22 L’enclos le plus grand ★★★

1. Le grillage mesure 40 m : x + x + (côté parallèle) = 40, donc le côté parallèle mesure 40 − 2x. Les longueurs sont positives : x ≥ 0 et 40 − 2x ≥ 0, soit x ≤ 20. A est définie sur [0 ; 20].
2. Aire = x × (40 − 2x) : A(x) = x(40 − 2x).
3. A(5) = 5 × 30 = 150 ; A(10) = 10 × 20 = 200 ; A(15) = 15 × 10 = 150 ; A(0) = 0 ; A(20) = 20 × 0 = 0.
4. On a trouvé A(5) = A(15) = 150. De fait, x(40 − 2x) = 150 ⇔ −2x² + 40x − 150 = 0 ⇔ x² − 20x + 75 = 0 ⇔ (x − 5)(x − 15) = 0 : S = {5 ; 15}. Les solutions sont symétriques par rapport à 10 (5 = 10 − 5 et 15 = 10 + 5).

5. x	0	5	10	15	20
   A(x)	0	150	200	150	0

   La courbe (une parabole) monte jusqu’à x = 10 puis redescend symétriquement : le maximum semble atteint pour x = 10, avec A = 200 m² (enclos de 10 m sur 20 m).

23 Ranger x, x² et x³ ★★★

1. Pour x = 0,5 : x = 0,5, x² = 0,25, x³ = 0,125, donc x³ < x² < x. Pour x = 2 : x = 2, x² = 4, x³ = 8, donc x < x² < x³. L’ordre s’inverse !
2. x³ = x² ⇔ x³ − x² = 0 ⇔ x²(x − 1) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 1. De même, x² = x ⇔ x² − x = 0 ⇔ x(x − 1) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 1. Les trois courbes se rencontrent donc exactement en O(0 ; 0) et A(1 ; 1).
3. Entre ces deux points, la courbe de x est la plus haute et celle de x³ la plus basse : pour 0 < x < 1, x³ < x² < x. Après le point A, l’ordre est inversé : pour x > 1, x < x² < x³. Moralité : élever au carré un nombre compris entre 0 et 1 le rapetisse, alors qu’un nombre supérieur à 1 grossit.