Trigonométrie dans le triangle rectangle : corrigé du contrôle de maths 3ème

1 Vocabulaire et relations / 3 pts

1. L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit : [VW]. (0,5 pt)
2. Pour ∠UVW, le côté adjacent est [UV] et le côté opposé est [UW] : cos ∠UVW = UVVW ; sin ∠UVW = UWVW ; tan ∠UVW = UWUV. (0,5 pt par relation)
3. cos 63° ≈ 0,45 ; tan 12° ≈ 0,21. (0,5 pt chacun)

2 Calculer des longueurs / 4 pts

Dans RST rectangle en S, pour l’angle ∠SRT : [RS] est adjacent, [ST] opposé, [RT] hypoténuse. (1 pt)

ST : tan 52° = ST7,5, donc ST = 7,5 × tan 52° ≈ 9,600, soit ST ≈ 9,6 cm. (1,5 pt)

RT : cos 52° = 7,5RT, donc RT = 7,5 ÷ cos 52° ≈ 12,182, soit RT ≈ 12,2 cm. (1,5 pt)

3 Calculer un angle / 3 pts

Pour ∠KLM : [KM] est le côté opposé et [KL] est le côté adjacent. (1 pt)

tan ∠KLM = 9,16,4 ≈ 1,422, donc ∠KLM = tan⁻¹(1,422) ≈ 54,88°, soit 55°. (1,5 pt)

Les angles aigus sont complémentaires : ∠KML = 90° − 55° = 35°. (0,5 pt)

4 Une rampe d’accès / 4 pts

1. Triangle rectangle : l’hypoténuse est la rampe, le côté vertical de 0,45 m est opposé à l’angle de 4°, le sol est adjacent. (1 pt)
2. sin 4° = 0,45L, donc L = 0,45 ÷ sin 4° ≈ 6,451. La rampe doit mesurer au moins 6,45 m. (1 pt pour la relation, 1 pt pour le calcul)
3. 5 m est inférieur à 6,45 m : avec une rampe de 5 m, l’angle serait sin⁻¹(0,455) ≈ 5,2°, plus grand que 4°. Elle ne convient pas. (1 pt)

5 Le toit d’un abri / 4 pts

1. Le triangle ABS est isocèle en S : la médiane [SH] est aussi une hauteur, donc SHA est rectangle en H. AH = 10 ÷ 2 = 5 m. (1 pt)
2. tan 35° = SH5, donc SH = 5 × tan 35° ≈ 3,501, soit SH ≈ 3,50 m. (1,5 pt)
3. cos 35° = 5AS, donc AS = 5 ÷ cos 35° ≈ 6,104, soit AS ≈ 6,10 m. (1,5 pt)

6 Vrai ou faux ? / 2 pts

1. Faux. Le cosinus est le quotient d’un côté de l’angle droit par l’hypoténuse, qui est le plus long côté : il est donc toujours inférieur à 1. (1 pt)
2. Faux. Le sinus n’est pas proportionnel à l’angle : sin 60° ≈ 0,87 et non 1. Le double de l’angle ne donne pas le double du sinus. (1 pt)