Corrigé détaillé des exercices du chapitre. Vérifie tes réponses étape par étape et corrige-toi.
1 Nommer les angles ★★★
a. Les angles sont formés autour du point K : c’est leur sommet.
b. L’angle 1 est limité par [KR) et [KS) : ∠RKS (ou ∠SKR). L’angle 2 est limité par [KS) et [KT) : ∠SKT.
c. L’angle formé par [KR) et [KT) s’écrit ∠RKT, avec K au milieu ; il contient les deux angles précédents.
2 Types d’angles ★★★
a. 35° est entre 0° et 90° : aigu.
b. 90° : droit.
c. 128° est entre 90° et 180° : obtus.
d. 180° : plat.
e. 89° < 90° : aigu.
f. 91° > 90° : obtus.
g. 1° : aigu.
3 Lire au rapporteur ★★★
Figure 1 : le côté orange traverse la graduation 65° de l’échelle bleue, qui part de 0 au côté posé. L’angle mesure 65° ; il est aigu.
Figure 2 : le côté posé est à gauche, donc on lit sur l’échelle orange (celle qui part de 0 à gauche). Le côté orange tracé traverse la graduation 140° de cette échelle (c’est 180° − 40°, car il est à 40° du côté droit). L’angle mesure 140° ; il est obtus.
4 Complémentaires et supplémentaires ★★★
a. 90° − 25° = 65°.
b. 90° − 70° = 20°.
c. 180° − 25° = 155°.
d. 180° − 112° = 68°.
e. 180° − 90° = 90° (un angle droit est son propre supplémentaire).
f. 90° − 48° = 42°.
5 Vrai ou faux ? ★★★
a. Faux : un angle obtus mesure plus de 90°, donc on ne peut pas lui ajouter quelque chose pour obtenir 90°.
b. Vrai : 50° + 130° = 180°.
c. Vrai : 90° + 90° = 180°.
d. Faux : ∠AOB = 30° et ∠BOC = 45° peuvent être adjacents sans être égaux.
e. Faux : la mesure d’un angle mesure l’ouverture, pas la longueur des côtés.
6 Angles opposés par le sommet ★★★
a. ∠AOB et ∠COD sont opposés par le sommet (les demi-droites [OC) et [OD) prolongent [OA) et [OB)). Or deux angles opposés par le sommet ont la même mesure : ∠COD = 48°.
b. A, O, C sont alignés, donc ∠AOB et ∠BOC sont supplémentaires : ∠BOC = 180° − 48° = 132°. Les angles ∠BOC et ∠DOA sont opposés par le sommet : ∠DOA = 132°.
7 Construire des angles adjacents ★★★
On trace [Ox), on place le rapporteur en O sur [Ox), on marque 70° et on trace [Oy). Puis on pose le rapporteur sur [Oy) et on marque 40° du côté opposé à [Ox) pour tracer [Oz).
Les angles sont adjacents, donc ∠xOz = 70° + 40° = 110°. Au rapporteur, on doit lire 110° (à 1° ou 2° près). L’angle est obtus.
8 Adjacents ou non ? ★★★
a. Oui : même sommet O, côté commun [OB), et [OA) et [OC) sont de part et d’autre de [OB).
b. Non : ils ont le côté [OA) en commun, mais [OB) est à l’intérieur de ∠AOC : les angles se chevauchent.
c. ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 30° + 45° = 75°.
9 Angle manquant sur une droite ★★★
L’angle ∠AOD est plat : 180°. Les trois angles ∠AOB, ∠BOC et ∠COD sont adjacents, donc leur somme vaut 180°.
∠COD = 180° − 47° − 68° = 180° − 115° = 65°.
Vérification : 47° + 68° + 65° = 180°.
10 Deux angles mystérieux ★★★
a. Si le petit angle vaut un « bloc », le grand en vaut 4. Ensemble : 5 blocs = 90°, donc un bloc = 90° ÷ 5 = 18°. Les angles mesurent 18° et 4 × 18° = 72° (18° + 72° = 90°).
b. Le petit angle est un bloc, le grand en vaut 2 : 3 blocs = 180°, un bloc = 60°. Les angles mesurent 60° et 120° (somme 180°).
11 Somme connue ★★★
Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure : 96° ÷ 2 = 48° chacun.
Un angle adjacent (formé sur la même droite) est supplémentaire : 180° − 48° = 132°.
12 Bissectrices ★★★
a. La bissectrice partage ∠AOB en deux angles égaux : 84° ÷ 2 = 42°. Donc ∠AOt = ∠tOB = 42°.
b. 27° × 2 = 54°.
c. 180° ÷ 2 = 90° : ce sont deux angles droits (la bissectrice est perpendiculaire à la droite).
d. 130° ÷ 2 = 65°.
13 Parallèles et angles ★★★
a. Les droites (d) et (d’) sont parallèles. Or, si deux droites sont parallèles, alors elles forment des angles alternes-internes de même mesure. L’angle alterne-interne en A mesure donc 58°.
b. L’angle marqué en B est entre (d) à gauche et la sécante vers le bas. Son correspondant en A est entre (d’) à gauche et la sécante vers le bas. Or si deux droites sont parallèles, alors elles forment des angles correspondants de même mesure : il mesure 58°.
c. Un angle supplémentaire mesure 180° − 58° = 122°.
14 Peut-on conclure ? ★★★
a. Oui : si deux angles alternes-internes ont la même mesure, alors les droites sont parallèles.
b. Non, et même plus : les angles correspondants n’ont pas la même mesure (81° ≠ 99°), donc les droites ne sont pas parallèles (si elles l’étaient, ces angles seraient égaux).
c. Oui : les angles correspondants sont égaux, donc (d) // (d’).
15 Horloge ★★★
a. 360° ÷ 12 = 30° entre deux nombres consécutifs.
b. À 3 h : 3 × 30° = 90°. À 4 h : 4 × 30° = 120°. À 2 h : 2 × 30° = 60°. À 7 h : 7 × 30° = 210°, mais le plus petit angle formé est 360° − 210° = 150°. À 10 h : 10 × 30° = 300°, on garde 360° − 300° = 60°.
(La figure montre 5 h : 5 × 30° = 150°.)
16 Bissectrice et angle plat ★★★
a. ∠AOB = 180°, donc ∠COD = 180° − 35° − 50° = 95°.
b. [OE) est la bissectrice : ∠COE = 95° ÷ 2 = 47,5°.
c. ∠AOC et ∠COE sont adjacents : ∠AOE = 35° + 47,5° = 82,5°.
17 Tour complet : pizza et plat ★★★
a. Le tour complet fait 360°. 90° + 125° + 60° = 275°. Le quatrième angle vaut 360° − 275° = 85°.
b. 360° ÷ 8 = 45° pour une part. 3 parts : 3 × 45° = 135°. 5 parts : 5 × 45° = 225°.
18 Démonstration : angles opposés ★★★
A, O, C sont alignés, donc ∠AOB et ∠BOC sont supplémentaires : ∠BOC = 180° − a.
B, O, D sont alignés, donc ∠BOC et ∠COD sont supplémentaires : ∠COD = 180° − ∠BOC = 180° − (180° − a) = a.
Conclusion : ∠COD = ∠AOB = a. Les angles opposés par le sommet ont la même mesure.
19 Plusieurs angles à calculer ★★★
a. Les angles correspondants de deux droites parallèles sont égaux : 40° (entre (d’) à droite et la sécante vers le haut).
b. L’angle marqué en B est entre (d) à droite et la sécante vers le haut ; son alterne-interne est en A, entre (d’) à gauche et la sécante vers le bas : 40°.
c. Cet angle est supplémentaire de celui du a. (ils sont sur la droite (d’)) : 180° − 40° = 140°.
20 Perpendiculaires à une même droite ★★★
(d) ⊥ (s) et (d’) ⊥ (s) : les angles formés avec la sécante (s) en chaque point d’intersection sont droits. Prenons deux angles correspondants : ils mesurent tous les deux 90°, donc ils ont la même mesure.
Or, si deux angles correspondants ont la même mesure, alors les droites sont parallèles. Donc (d) // (d’).
21 Reconstituer la bissectrice ★★★
1. On trace [Ox), puis [Oy) à 100° avec le rapporteur.
2. Compas pointé en O : on trace un arc qui coupe [Ox) en M et [Oy) en N.
3. On pointe en M, puis en N, avec le même écartement (assez grand) : deux arcs se coupent en P à l’intérieur de l’angle.
4. On trace [OP) : c’est [Ot).
Vérification : ∠xOt = ∠tOy = 100° ÷ 2 = 50° (à 1° près au rapporteur).
22 Miroir ★★★
Le miroir est une droite, donc l’angle plat vaut 180°. De part et d’autre de ∠SMR, on a deux angles de 35°.
∠SMR = 180° − 35° − 35° = 110°.