Calcul littéral et équations : corrigé des exercices de maths 2de

1 Distributivité ★★★

1. A = 3 × 2x − 3 × 5 = 6x − 15.
2. B = −2x × x − 2x × 4 = −2x² − 8x.
3. C = x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15.
4. D = 2x² − 8x − x + 4 = 2x² − 9x + 4.

2 Identités remarquables ★★★

1. (a + b)² avec a = x, b = 6 : x² + 12x + 36.
2. (a − b)² avec a = x, b = 7 : x² − 14x + 49.
3. (a + b)(a − b) : x² − 25.
4. (3x)² + 2 × 3x × 2 + 2² = 9x² + 12x + 4.

3 Facteur commun ★★★

1. 6x + 15 = 3 × 2x + 3 × 5 = 3(2x + 5).
2. x² − 5x = x × x − x × 5 = x(x − 5).
3. Le plus grand facteur commun est 4x : 8x² + 12x = 4x(2x + 3).
4. Facteur commun 7y : 7y(2x − 3).

4 Reconnaître une identité ★★★

1. x² + 2 × x × 5 + 5² = (x + 5)².
2. (4x)² − 3² = (4x − 3)(4x + 3).
3. x² − 2 × x × 6 + 6² = (x − 6)².
4. 7² − y² = (7 − y)(7 + y).

5 Équations du 1er degré ★★★

1. 5x − 2x = 11 + 7 ⇔ 3x = 18 ⇔ x = 6. 𝒮 = {6}.
2. 3x + 6 = x − 4 ⇔ 2x = −10 ⇔ x = −5. 𝒮 = {−5}.
3. x3 = 4 ⇔ x = 12. 𝒮 = {12}.
4. −2x = 6 ⇔ x = −3. 𝒮 = {−3}.

6 Produit nul simple ★★★

1. x − 3 = 0 ou x + 8 = 0 : 𝒮 = {−8 ; 3}.
2. 2x + 1 = 0 ou 3x − 5 = 0 : x = −12 ou x = 53. 𝒮 = {−12 ; 53}.
3. x = 0 ou x = 9 : 𝒮 = {0 ; 9}.
4. (4x − 2)² = (4x − 2)(4x − 2) = 0 ⇔ 4x − 2 = 0 ⇔ x = 12. 𝒮 = {12}.

7 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux. (x + 4)² = x² + 8x + 16. Contre-exemple : pour x = 1, (1 + 4)² = 25 alors que 1² + 16 = 17.
2. Vrai. C’est l’identité (a + b)(a − b) = a² − b² avec a = x et b = 3.
3. Vrai. Pour x = 3 : 9 − 6 − 3 = 0.
4. Vrai. Le dénominateur x − 2 vaut 0 pour x = 2 et on ne peut pas diviser par 0.

8 Développer et réduire ★★★

1. (2x − 3)(x + 4) = 2x² + 8x − 3x − 12 = 2x² + 5x − 12 et (x − 1)² = x² − 2x + 1. Donc A = 2x² + 5x − 12 − x² + 2x − 1 = x² + 7x − 13.
2. B = x² + 4x + 4 + x² − 4x + 4 = 2x² + 8.
3. (3x − 1)(3x + 1) = 9x² − 1 et 2x(4x − 3) = 8x² − 6x. Donc C = 9x² − 1 − 8x² + 6x = x² + 6x − 1.

9 Factoriser avec une parenthèse ★★★

1. Facteur commun (x + 3) : (x + 3)[(2x − 1) + (x + 5)] = (x + 3)(3x + 4).
2. C’est a² − 3² avec a = 2x − 5 : (2x − 5 − 3)(2x − 5 + 3) = (2x − 8)(2x − 2) = 4(x − 4)(x − 1).
3. Facteur commun (x − 3) : (x − 3)[(5x + 1) − (2x + 7)] = (x − 3)(3x − 6) = 3(x − 3)(x − 2).
4. (2x)² − 2 × 2x × 5 + 5² = (2x − 5)².

10 Équations produit ★★★

1. 3x − 6 = 0 ou x + 7 = 0 : 𝒮 = {−7 ; 2}.
2. x(x − 5) = 0 : 𝒮 = {0 ; 5}.
3. (3x − 4)(3x + 4) = 0 : x = 43 ou x = −43. 𝒮 = {−43 ; 43}.
4. (x + 1)[(2x − 3) − (x + 4)] = (x + 1)(x − 7) = 0. 𝒮 = {−1 ; 7}.

11 Équations x² = k ★★★

1. x = 7 ou x = −7. 𝒮 = {−7 ; 7}.
2. Un carré n’est jamais négatif : 𝒮 = ∅ (aucune solution).
3. x − 3 = 5 ou x − 3 = −5 : x = 8 ou x = −2. 𝒮 = {−2 ; 8}.
4. x² = 14 donc x = 12 ou x = −12. 𝒮 = {−12 ; 12}.

12 Valeurs interdites ★★★

1. x − 4 = 0 ⇔ x = 4 : valeur interdite 4.
2. 2x + 6 = 0 ⇔ x = −3 : valeur interdite −3.
3. x² − 9 = (x − 3)(x + 3) = 0 : valeurs interdites 3 et −3.
4. Un produit est nul si l’un des facteurs l’est : valeurs interdites 1 et −5.

13 Simplifier ★★★

1. Numérateur = (x − 3)(x + 3). Pour x ≠ −3 : x − 3.
2. 2x + 4 = 2(x + 2) et x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Pour x ≠ 2 et x ≠ −2 : 2x−2.
3. x² + 6x + 9 = (x + 3)². Pour x ≠ −3 : x + 3.
4. x(x − 5) sur (x − 5)(x + 5). Pour x ≠ 5 et x ≠ −5 : xx+5.

14 Réduire au même dénominateur ★★★

1. Valeurs interdites : 0 et −1. Dénominateur commun x(x + 1) : (x+1)+2xx(x+1) = 3x+1x(x+1).
2. Valeurs interdites : 2 et −2. Dénominateur commun (x − 2)(x + 2) : 3(x+2)−(x−2)(x−2)(x+2) = 3x+6−x+2x²−4 = 2x+8x²−4.
3. Valeur interdite : 1. x+2(x−1)x−1 = 3x−2x−1.

15 Équations quotient ★★★

1. Valeur interdite : 3. Le numérateur est nul si 2x + 1 = 0, soit x = −12 (autorisée). 𝒮 = {−12}.
2. Valeur interdite : −2. x − 4 = 3(x + 2) ⇔ x − 4 = 3x + 6 ⇔ −2x = 10 ⇔ x = −5, autorisée. 𝒮 = {−5}.
3. Valeur interdite : 2. x² − 4 = 0 ⇔ x = 2 ou x = −2. On rejette 2 : 𝒮 = {−2}.
4. Valeurs interdites : 0 et −4. Produit en croix : 5(x + 4) = 3x ⇔ 5x + 20 = 3x ⇔ 2x = −20 ⇔ x = −10, autorisée. 𝒮 = {−10}.

16 Équation avec fractions numériques ★★★

Produit en croix (ou on multiplie par 6) : 2(2x − 1) = 3(x + 4) ⇔ 4x − 2 = 3x + 12 ⇔ x = 14.

Vérification : 273 = 9 et 182 = 9. 𝒮 = {14}.

17 Le carré qui devient rectangle ★★★

1. Le rectangle mesure (x + 3) sur (x − 3) ; son aire est (x + 3)(x − 3) = x² − 9. L’aire du carré est x², donc l’aire diminue toujours de 9 cm², quelle que soit la valeur de x.
2. x² − 9 = 40 ⇔ x² = 49 ⇔ x = 7 ou x = −7. Un côté est positif : x = 7 (et 7 > 3). Dimensions : 10 cm sur 4 cm, et 10 × 4 = 40 cm². Le carré de départ mesure 7 cm de côté.

18 Programme de calcul ★★★

1. Le résultat est (x + 3)² − 9 = x² + 6x + 9 − 9 = x² + 6x = x(x + 6).
2. x(x + 6) = 0 ⇔ x = 0 ou x = −6. 𝒮 = {−6 ; 0}.
3. (x + 3)² − 9 = 16 ⇔ (x + 3)² = 25 ⇔ x + 3 = 5 ou x + 3 = −5 ⇔ x = 2 ou x = −8. Vérification : (2 + 3)² − 9 = 16 et (−5)² − 9 = 16. 𝒮 = {−8 ; 2}.

19 Le jardin ★★★

Soit x la largeur en mètres ; la longueur est x + 5.

1. Périmètre : 2(x + x + 5) = 58 ⇔ 4x + 10 = 58 ⇔ 4x = 48 ⇔ x = 12. La largeur est 12 m et la longueur 17 m (contrôle : 2 × 29 = 58).
2. Aire = 12 × 17 = 204 m².

Le jardin mesure 12 m sur 17 m et son aire est de 204 m².

20 Comparer deux tarifs ★★★

1. Formule A : 12 + 3n. Formule B : 5n.
2. 12 + 3n = 5n ⇔ 12 = 2n ⇔ n = 6. Pour 6 séances : 12 + 18 = 30 € et 5 × 6 = 30 €.
3. Pour 10 séances : A coûte 12 + 30 = 42 € et B coûte 50 €. La formule A est plus avantageuse (à partir de 7 séances).

21 Calcul mental astucieux ★★★

1. (100 + 1)² = 10 000 + 200 + 1 = 10 201.
2. (100 − 1)² = 10 000 − 200 + 1 = 9 801.
3. (50 + 1)(50 − 1) = 50² − 1² = 2 500 − 1 = 2 499.
4. Différence de carrés : (1002 − 998)(1002 + 998) = 4 × 2 000 = 8 000.

22 Deux carrés égaux ★★★

1. (2x − 1)² − (x + 4)² = 0 ⇔ [(2x − 1) − (x + 4)][(2x − 1) + (x + 4)] = 0 ⇔ (x − 5)(3x + 3) = 0 ⇔ x = 5 ou x = −1. Vérification : 9² = 81 = 9² et (−3)² = 9 = 3². 𝒮 = {−1 ; 5}.
2. [(x + 2) − (3x − 1)][(x + 2) + (3x − 1)] = (3 − 2x)(4x + 1) = 0 ⇔ x = 32 ou x = −14. 𝒮 = {−14 ; 32}.

23 Équation à deux fractions ★★★

Comme x² − x = x(x − 1), les valeurs interdites sont 0 et 1.

On multiplie par x(x − 1) : 2(x − 1) + 3x = 7 ⇔ 5x − 2 = 7 ⇔ x = 95.

Cette valeur n’est ni 0 ni 1 : 𝒮 = {95}.

24 Équation avec valeurs interdites ★★★

Valeurs interdites : 2 et −2. Produit en croix : x(x + 2) = (x + 6)(x − 2) ⇔ x² + 2x = x² + 4x − 12 ⇔ −2x = −12 ⇔ x = 6.

Vérification : 64 = 128 = 32. 𝒮 = {6}.

25 Démonstration ★★★

1. n(n + 2) + 1 = n² + 2n + 1 = (n + 1)² d’après la deuxième forme de l’identité (a + b)² avec a = n et b = 1.
2. Avec n = 99 : 99 × 101 + 1 = 100² = 10 000. On retrouve : 99 × 101 = 9 999.