Fonctions linéaires et affines : corrigé des exercices de maths 3ème

1 Images avec une fonction linéaire ★★★

f(3) = 4 × 3 = 12.

f(−2) = 4 × (−2) = −8.

f(0) = 4 × 0 = 0 (une fonction linéaire donne toujours 0 pour 0).

f(1,5) = 4 × 1,5 = 6.

2 Linéaire, affine ou aucune ? ★★★

1. 5x − 2 est de la forme ax + b avec a = 5 et b = −2 ≠ 0 : affine non linéaire.
2. −3x est de la forme ax : linéaire (donc aussi affine).
3. 7 = 0x + 7 : affine (fonction constante), non linéaire car b = 7 ≠ 0.
4. Il y a un carré : ni l’une ni l’autre.
5. x4 = 0,25x : linéaire de coefficient 0,25.
6. 3(x + 2) = 3x + 6 : affine non linéaire (a = 3, b = 6).

3 Retrouver le coefficient ★★★

1. a = f(5)5 = 355 = 7, donc f(x) = 7x.
2. f(2) = 7 × 2 = 14 ; f(10) = 7 × 10 = 70.
3. On résout 7x = 63, donc x = 63 ÷ 7 = 9. L’antécédent de 63 est 9.

4 Images et antécédent avec une fonction affine ★★★

1. g(0) = 2 × 0 + 3 = 3 ; g(4) = 2 × 4 + 3 = 8 + 3 = 11 ; g(−1) = 2 × (−1) + 3 = −2 + 3 = 1.
2. On résout 2x + 3 = 15 : 2x = 12, donc x = 6. Vérification : g(6) = 12 + 3 = 15. ✔

5 Pente et ordonnée à l’origine ★★★

1. a = −1 et b = 4 ; a < 0 donc décroissante.
2. a = 0,5 et b = 0 (la droite passe par l’origine) ; a > 0 donc croissante.
3. On réécrit y = −2x + 3 : a = −2 et b = 3 ; a < 0 donc décroissante.

6 Tracer une droite linéaire ★★★

1. f(−2) = 1,5 × (−2) = −3 ; f(0) = 0 ; f(2) = 3 ; f(4) = 6.
2. On place les points (−2 ; −3), (0 ; 0), (2 ; 3) et (4 ; 6). Ils sont alignés ; on trace la droite qui passe par eux.

7 Le prix des pommes ★★★

1. P(x) = 2,4x. C’est une fonction linéaire de coefficient 2,4 (le prix est proportionnel à la masse).
2. P(3) = 2,4 × 3 = 7,20 € ; P(4,5) = 2,4 × 4,5 = 10,80 €.
3. On résout 2,4x = 18 : x = 18 ÷ 2,4 = 7,5. Avec 18 €, on achète 7,5 kg de pommes.

8 Fonction linéaire et une image ★★★

1. a = 10−4 = −2,5. Donc f(x) = −2,5x. Vérification : −2,5 × (−4) = 10. ✔
2. f(6) = −2,5 × 6 = −15.

9 Une fonction affine avec f(0) ★★★

Comme g(0) = −2, l’ordonnée à l’origine est b = −2.

Le coefficient directeur : a = 7−(−2)3−0 = 93 = 3.

Donc g(x) = 3x − 2. Vérification : g(3) = 9 − 2 = 7. ✔

g(5) = 3 × 5 − 2 = 13.

10 Deux images données ★★★

a = −3−56−2 = −84 = −2.

Donc h(x) = −2x + b. Comme h(2) = 5 : −2 × 2 + b = 5, donc −4 + b = 5, donc b = 9.

h(x) = −2x + 9. Vérification avec l’autre information : h(6) = −12 + 9 = −3. ✔

11 Droite passant par deux points ★★★

1. a = 12−45−1 = 84 = 2. Puis 4 = 2 × 1 + b, donc b = 2. La droite (AB) a pour équation y = 2x + 2. Contrôle avec B : 2 × 5 + 2 = 12. ✔
2. Pour C : 2 × 10 + 2 = 22, c’est l’ordonnée de C : C est sur la droite. Pour D : 2 × (−3) + 2 = −4, différent de −5 : D n’est pas sur la droite.

12 Lire une droite sur un graphique ★★★

1. La droite coupe l’axe vertical en 3 : b = 3.
2. Quand on avance de 2 vers la droite, on descend de 1. Le coefficient directeur est donc −12 = −0,5.
3. f(x) = −0,5x + 3.
4. Sur le graphique, l’image de 4 est 1 (point C). Le calcul le confirme : −0,5 × 4 + 3 = 1. L’antécédent de 0 est 6 (point D) : −0,5 × 6 + 3 = 0. ✔

13 Pourcentages et fonction linéaire ★★★

1. Augmenter de 15 % revient à multiplier par 1 + 15100 = 1,15. f(x) = 1,15x.
2. f(80) = 1,15 × 80 = 92 € ; f(46) = 1,15 × 46 = 52,90 €.
3. On cherche l’antécédent de 138 : 1,15x = 138, donc x = 138 ÷ 1,15 = 120. Le prix initial était de 120 €.
4. Diminuer de 30 % revient à multiplier par 1 − 30100 = 0,7. g(x) = 0,7x, et g(250) = 0,7 × 250 = 175 €.

14 Location de trottinette ★★★

1. P(t) = 0,25t + 1 (fonction affine, a = 0,25 et b = 1).
2. P(12) = 0,25 × 12 + 1 = 3 + 1 = 4 €.
3. On résout 0,25t + 1 = 7,5 : 0,25t = 6,5, donc t = 6,5 ÷ 0,25 = 26. Le trajet a duré 26 minutes.
4. Non : pour une durée de 0 minute, le prix est 1 € et non 0 €. Ce n’est pas une fonction linéaire, donc pas une situation de proportionnalité.

15 Piscine : deux tarifs ★★★

1. f_A(x) = 6x et f_B(x) = 2x + 40.
2. On résout 6x = 2x + 40 : 4x = 40, donc x = 10. Pour 10 entrées, les deux tarifs valent 60 €.
3. Pour 8 entrées : A coûte 48 € et B coûte 2 × 8 + 40 = 56 € : tarif A. Pour 15 entrées : A coûte 90 € et B coûte 2 × 15 + 40 = 70 € : tarif B.
4. La droite A passe par (0 ; 0) et (10 ; 60). La droite B passe par (0 ; 40) et (10 ; 60). Elles se coupent au point (10 ; 60), ce qui retrouve le résultat de la question b.

16 Deux images, une fonction ★★★

1. a = −1−73−(−1) = −84 = −2. Alors f(x) = −2x + b et f(−1) = 7 donne −2 × (−1) + b = 7, soit 2 + b = 7, donc b = 5. f(x) = −2x + 5. Vérification : f(3) = −6 + 5 = −1. ✔
2. −2x + 5 = 0 donne x = 2,5 : l’antécédent de 0 est 2,5. Et f(100) = −200 + 5 = −195.

17 Intersection de deux droites ★★★

Au point I, les deux fonctions ont la même image : 2x − 1 = −x + 8, donc 3x = 9, donc x = 3.

On calcule l’ordonnée : f(3) = 2 × 3 − 1 = 5. Contrôle : g(3) = −3 + 8 = 5. ✔

Le point d’intersection est I(3 ; 5).

18 Course de taxi ★★★

1. A(x) = 1,2x + 3,5 et B(x) = 1,4x + 2.
2. A(8) = 1,2 × 8 + 3,5 = 9,6 + 3,5 = 13,10 €.
3. 1,2x + 3,5 = 21,5 donne 1,2x = 18, donc x = 15. Elle a parcouru 15 km.
4. Alpha est moins cher quand 1,2x + 3,5 < 1,4x + 2, soit 1,5 < 0,2x, donc x > 7,5. À 7,5 km les deux prix sont égaux (12,50 €). Alpha est moins cher au-delà de 7,5 km.

19 Degrés Celsius et Fahrenheit ★★★

1. F(25) = 1,8 × 25 + 32 = 45 + 32 = 77 °F ; F(100) = 180 + 32 = 212 °F.
2. 1,8C + 32 = 50 donne 1,8C = 18, donc C = 10 °C. 1,8C + 32 = 86 donne 1,8C = 54, donc C = 30 °C.
3. On cherche C tel que 1,8C + 32 = C : 0,8C = −32, donc C = −40. Oui : −40 °C = −40 °F.

20 Hausse puis baisse ★★★

1. f(x) = 1,2x et g(x) = 0,8x. Après la hausse : f(50) = 60 €. Après la baisse : g(60) = 0,8 × 60 = 48 €.
2. Non. Globalement, on a multiplié par 1,2 × 0,8 = 0,96. Or 0,96 = 1 − 4100 : c’est une baisse de 4 %. Contrôle : 50 × 0,96 = 48. ✔ Les pourcentages ne s’additionnent pas, car la baisse de 20 % s’applique à un prix plus élevé.

21 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai. b = f(0) = 2 ; a = 5−21−0 = 3 ; donc f(x) = 3x + 2 et f(10) = 32.
2. Faux. Elle est décroissante quand a < 0. Exemple : x ↦ −3x + 1.
3. Vrai. a = −63 = −2, donc f(x) = −2x.
4. Faux. Pour x = 4 : 2 × 4 + 1 = 9 et non 10. Le point (4 ; 10) n’est pas sur la droite (le point (4 ; 9) l’est).

22 Un bassin qui se vide ★★★

1. V(t) = −15t + 900 est une fonction affine, avec a = −15 et b = 900. L’ordonnée à l’origine 900 est le volume au départ (900 L). Le coefficient −15 signifie que le bassin perd 15 litres par minute (il est négatif car le volume diminue).
2. V(20) = 900 − 15 × 20 = 900 − 300 = 600 L.
3. On résout 900 − 15t = 0 : 15t = 900, donc t = 60. Le bassin est vide au bout de 60 minutes.