Vecteurs et repère : corrigé du contrôle de maths 2de

Rate this post

Durée conseillée : 45 minutes. Barème sur 20 points. Calculatrice interdite.

Sommaire

AB⃗(4 − (−2) ; −1 − 3) = (6 ; −4) ; AC⃗(1 − (−2) ; −5 − 3) = (3 ; −8) ; BC⃗(1 − 4 ; −5 − (−1)) = (−3 ; −4). (1,5 point : 0,5 par vecteur)
M((−2 + 4)/2 ; (3 + (−1))/2) = (1 ; 1). (1 point)
Le repère est orthonormé : BC = √((−3)² + (−4)²) = √25 = 5. (1,5 point : formule 0,5 ; calcul 0,5 ; résultat 0,5)

Calculatrice autorisée pour l’ensemble du contrôle.

AB⃗ + BC⃗ + CD⃗ = AC⃗ + CD⃗ = AD⃗, donc l’expression vaut AD⃗ − AD⃗ = 0⃗. (1,5 point)
MA⃗ − MB⃗ = MA⃗ + BM⃗ = BM⃗ + MA⃗ = BA⃗. Puis BA⃗ + AC⃗ = BC⃗. (1,5 point)
D’après la règle du parallélogramme, EF⃗ + EH⃗ = EG⃗. (1 point)

ABCD est un parallélogramme ⇔ AB⃗ = DC⃗. AB⃗(5 ; 1) et, avec D(x ; y), DC⃗(5 − x ; 4 − y). Donc 5 − x = 5 et 4 − y = 1, soit x = 0 et y = 3 : D(0 ; 3). (2 points)
Le centre est le milieu de [AC] : ((−3 + 5)/2 ; (−1 + 4)/2) = (1 ; 1,5) ; c’est aussi celui de [BD] : ((2 + 0)/2 ; (0 + 3)/2) = (1 ; 1,5). (1 point)
AC⃗(8 ; 5) donc AC = √89 ≈ 9,4. BD⃗(−2 ; 3) donc BD = √13 ≈ 3,6. Les diagonales n’ont pas la même longueur : ABCD n’est pas un rectangle. (1 point)

2 × 15 − (−6) × (−5) = 30 − 30 = 0 : les vecteurs sont colinéaires (on a v⃗ = −3u⃗). (1,5 point)
2 × m − 4 × (−5) = 0 ⇔ 2m + 20 = 0 ⇔ m = −10. (1,5 point)
AB⃗(2 ; −5) et AC⃗(−6 ; 15) : ce sont les vecteurs u⃗ et v⃗, colinéaires d’après a. Donc A, B et C sont alignés. (1 point)

I est le milieu de [AD] (D symétrique de A par rapport à I), donc AI⃗ = ID⃗. I est le milieu de [BC], donc BI⃗ = IC⃗. (1 point)
AB⃗ = AI⃗ + IB⃗ (Chasles). Or AI⃗ = ID⃗ et IB⃗ = CI⃗ (opposés de BI⃗ = IC⃗). Donc AB⃗ = CI⃗ + ID⃗ = CD⃗ (Chasles). (2 points)
AB⃗ = CD⃗ : ABDC est un parallélogramme (on lit A, B, D, C). (1 point)