Corrigé détaillé des exercices du chapitre. Vérifie tes réponses étape par étape et corrige-toi.
1 Multiples de 7 ★★★
1. 7 × 1 = 7, puis 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56. Le suivant, 63, dépasse 60.
2. 7 × 13 = 91, donc 91 est un multiple de 7.
2 Critères de divisibilité ★★★
135 : somme 9 ; divisible par 3, 5 et 9, pas par 2.
246 : somme 12 ; divisible par 2 et 3, pas par 5 ni 9.
380 : somme 11 ; divisible par 2 et 5, pas par 3 ni 9.
441 : somme 9 ; divisible par 3 et 9, pas par 2 ni 5.
1 002 : somme 3 ; divisible par 2 et 3, pas par 5 ni 9.
3 Diviseurs de 36 ★★★
1 × 36 ; 2 × 18 ; 3 × 12 ; 4 × 9 ; 6 × 6. Les diviseurs de 36 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 (9 diviseurs).
4 Repérer les nombres premiers ★★★
Premiers : 23, 29, 31, 41.
21 = 3 × 7 ; 27 = 3 × 9 ; 39 = 3 × 13 ; 51 = 3 × 17 : ils ont un diviseur autre que 1 et eux-mêmes.
5 Division euclidienne ★★★
12 × 40 = 480 et 487 − 480 = 7, avec 7 < 12. Donc 487 = 12 × 40 + 7 : quotient 40, reste 7.
6 Vrai ou faux ? ★★★
- Faux : 9 est impair et 9 = 3 × 3.
- Vrai : ses seuls diviseurs sont 1 et 2.
- Faux : 1 n’a qu’un seul diviseur.
- Faux : 3 × 5 = 15 n’est pas premier (il est divisible par 3 et 5).
7 Décomposer 60 et 90 ★★★
60 = 2 × 30 = 2 × 2 × 15 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5.
90 = 2 × 45 = 2 × 3 × 15 = 2 × 3 × 3 × 5 = 2 × 3² × 5.
8 PGCD par les listes ★★★
12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12 ; 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18. Communs : 1, 2, 3, 6 → PGCD = 6.
20 : 1, 2, 4, 5, 10, 20 ; 45 : 1, 3, 5, 9, 15, 45. Communs : 1, 5 → PGCD = 5.
16 : 1, 2, 4, 8, 16 ; 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Communs : 1, 2, 4, 8 → PGCD = 8.
9 Quatre décompositions ★★★
252 = 2 × 126 = 2 × 2 × 63 = 2 × 2 × 3 × 21 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 = 2² × 3² × 7.
441 = 3 × 147 = 3 × 3 × 49 = 3² × 7².
1 000 = 10³ = (2 × 5)³ = 2³ × 5³.
495 = 5 × 99 = 5 × 9 × 11 = 3² × 5 × 11.
10 PGCD par décomposition ★★★
168 = 2³ × 3 × 7 (168 = 8 × 21). 252 = 2² × 3² × 7.
Facteurs communs avec le plus petit exposant : 2², 3 et 7. PGCD = 4 × 3 × 7 = 84.
11 Algorithme d’Euclide ★★★
1 071 = 462 × 2 + 147 ; 462 = 147 × 3 + 21 ; 147 = 21 × 7 + 0. Le dernier reste non nul est 21 : PGCD(1 071 ; 462) = 21.
12 Méthode des différences ★★★
(90 ; 66) → (24 ; 66) → (24 ; 42) → (24 ; 18) → (6 ; 18) → (6 ; 12) → (6 ; 6). Donc PGCD(90 ; 66) = 6.
13 Simplifier une fraction ★★★
Euclide : 374 = 238 × 1 + 136 ; 238 = 136 × 1 + 102 ; 136 = 102 × 1 + 34 ; 102 = 34 × 3 + 0. PGCD = 34.
238 ÷ 34 = 7 et 374 ÷ 34 = 11, donc 238374 = 711, irréductible (7 et 11 sont premiers distincts).
14 Irréductible ou non ? ★★★
3548 : 35 = 5 × 7 et 48 = 2⁴ × 3, aucun facteur commun : irréductible.
5168 : 51 = 3 × 17 et 68 = 4 × 17, PGCD 17, donc 34.
91117 : 91 = 7 × 13 et 117 = 9 × 13, PGCD 13, donc 79.
15 1 001 est-il premier ? ★★★
1 001 = 7 × 143 = 7 × 11 × 13. Il a donc des diviseurs autres que 1 et lui-même : il n’est pas premier. Sa décomposition est 7 × 11 × 13.
16 Nombre de diviseurs ★★★
72 = 2³ × 3². Nombre de diviseurs : (3 + 1) × (2 + 1) = 12.
Liste : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72.
17 Premiers entre eux ★★★
a. 14 = 2 × 7 et 25 = 5² : aucun facteur commun, PGCD 1 : oui.
b. 21 = 3 × 7 et 35 = 5 × 7 : PGCD 7 : non.
c. 16 = 2⁴ et 27 = 3³ : PGCD 1 : oui.
18 Partage de billes ★★★
PGCD(324 ; 252) : 324 = 252 × 1 + 72 ; 252 = 72 × 3 + 36 ; 72 = 36 × 2 + 0. PGCD = 36.
324 ÷ 36 = 9 et 252 ÷ 36 = 7.
Léa peut faire 36 pochettes, chacune contenant 9 billes rouges et 7 billes bleues.
19 Carrelage ★★★
En centimètres : 420 et 336. 420 = 336 × 1 + 84 ; 336 = 84 × 4 + 0. PGCD = 84.
Côté : 84 cm. Nombre de carreaux : (420 ÷ 84) × (336 ÷ 84) = 5 × 4 = 20 carreaux.
20 Deux bus ★★★
Il faut un nombre de minutes multiple de 12 et de 18. Multiples de 12 : 12, 24, 36… ; multiples de 18 : 18, 36… Le plus petit commun est 36. Ils se retrouvent à 8 h 36.
21 Engrenages ★★★
Il faut un nombre de dents multiple de 48 et de 72. 48 = 2⁴ × 3 et 72 = 2³ × 3². Le plus petit multiple commun est 2⁴ × 3² = 144. La petite roue a fait 144 ÷ 48 = 3 tours (et la grande 144 ÷ 72 = 2 tours).
22 Le nombre mystère ★★★
Les nombres entre 100 et 130 de somme de chiffres 4 : 103, 112, 121, 130. 112 et 130 sont pairs. 121 = 11 × 11. Reste 103 : non divisible par 2, 3, 5, 7 (103 = 7 × 14 + 5), et 11² = 121 > 103, donc 103 est premier. Je suis 103.
23 Démonstration ★★★
Soit n le plus petit des trois. La somme est n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3 × (n + 1). C’est un multiple de 3.
24 Une fraction à simplifier ★★★
2352 = 2058 × 1 + 294 ; 2058 = 294 × 7 + 0. PGCD = 294.
2058 ÷ 294 = 7 et 2352 ÷ 294 = 8 : 20582352 = 78.
25 Bouquets du fleuriste ★★★
Il faut le plus grand diviseur commun de 84, 126 et 210. 84 = 2² × 3 × 7 ; 126 = 2 × 3² × 7 ; 210 = 2 × 3 × 5 × 7. Facteurs communs : 2 × 3 × 7 = 42.
Il fait 42 bouquets de 84 ÷ 42 = 2 roses, 126 ÷ 42 = 3 tulipes et 210 ÷ 42 = 5 marguerites.