Quel est le côté d’un carré dont l’aire est de 49 m² ? Et si l’aire vaut 2 m², peut-on encore répondre ? Dans ce chapitre, tu découvres la racine carrée, un nouvel outil pour « défaire » un carré. Tu apprends à la calculer, à la simplifier, à l’additionner, à la comparer, et tu rencontres des nombres étonnants : les nombres irrationnels.
Rappel de 4ème : le carré d’un nombre est ce nombre multiplié par lui-même (5² = 5 × 5 = 25), et dans un triangle rectangle on a le théorème de Pythagore : hypoténuse² = somme des carrés des deux autres côtés.
1. Qu’est-ce qu’une racine carrée ?
Racine carréeSoit a un nombre positif ou nul. La racine carrée de a, notée √a, est le nombre positif dont le carré est a. Autrement dit : √a ≥ 0 et (√a)² = a.
Exemples√36 = 6 car 6 est positif et 6² = 36. √0 = 0. √1 = 1. √(0,25) = 0,5 car 0,5² = 0,25.
Deux pièges• On ne peut pas calculer la racine carrée d’un nombre négatif : √(−9) n’existe pas, car aucun nombre multiplié par lui-même ne donne un résultat négatif.
• √a est toujours positif : √25 = 5 et jamais −5. (Le nombre −5 a bien un carré égal à 25, mais ce n’est pas « la » racine carrée.)
• √a est toujours positif : √25 = 5 et jamais −5. (Le nombre −5 a bien un carré égal à 25, mais ce n’est pas « la » racine carrée.)
Deux égalités à connaîtrePour tout nombre a positif : (√a)² = a et √(a²) = a. Par exemple (√7)² = 7 et √(13²) = 13. Élever au carré et prendre la racine carrée, ce sont deux opérations qui se « défont » l’une l’autre.
2. Les carrés parfaits
Carré parfaitUn carré parfait est le carré d’un nombre entier. Sa racine carrée est alors un nombre entier : √64 = 8 car 64 = 8².
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n² | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 |
Les carrés parfaits de 1 à 15 : à connaître pour reconnaître vite une racine « qui tombe juste ».
Encadrer une racine entre deux entiersPour encadrer √a quand a n’est pas un carré parfait, repère les deux carrés parfaits qui entourent a.
Exemple : 40 est entre 36 et 49, donc 6² < 40 < 7², donc 6 < √40 < 7.
Exemple : 40 est entre 36 et 49, donc 6² < 40 < 7², donc 6 < √40 < 7.
AstuceUn carré parfait ne se termine jamais par 2, 3, 7 ou 8. Si un nombre entier finit par l’un de ces chiffres, sa racine carrée n’est pas un entier.
3. Valeur exacte et valeur approchée
La plupart des racines carrées ne « tombent pas juste ». Par exemple √7 a une infinité de décimales sans motif répétitif : 2,6457513… On distingue donc deux écritures.
Valeur exacte et valeur approchéeÉcrire √7, c’est donner la valeur exacte du nombre. Écrire 2,65, c’est donner une valeur approchée (arrondie au centième), que l’on note √7 ≈ 2,65.
Utiliser la calculatriceAppuie sur la touche √ puis tape le nombre (selon le modèle, ferme la parenthèse). La calculatrice affiche une valeur approchée. Arrondis ensuite comme demandé.
√30 ≈ 5,477… donc √30 ≈ 5,48 (au centième).
√30 ≈ 5,477… donc √30 ≈ 5,48 (au centième).
À retenir sur les calculsDans un calcul à plusieurs étapes, garde les racines (valeur exacte) jusqu’à la fin, puis arrondis seulement le résultat final. Arrondir trop tôt fausse la réponse.
4. Produit et quotient de racines
Racine d’un produitPour tous nombres a et b positifs : √a × √b = √(a × b).
Racine d’un quotientPour a positif et b strictement positif : √(a ÷ b) = √a ÷ √b. Avec une fraction : √(916) = √9 ÷ √16 = 34.
Exemples√3 × √12 = √36 = 6.
√50 ÷ √2 = √(50 ÷ 2) = √25 = 5.
√5 × √5 = √25 = 5, ce qui retrouve (√5)² = 5.
√50 ÷ √2 = √(50 ÷ 2) = √25 = 5.
√5 × √5 = √25 = 5, ce qui retrouve (√5)² = 5.
Pourquoi ça marche ?Le carré de √a × √b vaut (√a)² × (√b)² = a × b. Et ce produit est positif. C’est donc bien la racine carrée de a × b.
Pas de formule pour une somme !En général √(a + b) ≠ √a + √b. Contre-exemple : √(9 + 16) = √25 = 5, mais √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Il en va de même pour la différence.
5. Simplifier une racine carrée
Grâce à la propriété du produit, on peut « sortir » un carré parfait de sous la racine.
Méthode : écrire √n sous la forme a√b1. Cherche le plus grand carré parfait qui divise n (4, 9, 16, 25, 36…).
2. Écris n comme un produit contenant ce carré.
3. Sépare la racine du produit, puis calcule la racine du carré parfait.
2. Écris n comme un produit contenant ce carré.
3. Sépare la racine du produit, puis calcule la racine du carré parfait.
Exemples√72 = √(36 × 2) = √36 × √2 = 6√2.
√45 = √(9 × 5) = 3√5.
√300 = √(100 × 3) = 10√3.
Dans l’autre sens : 4√3 = √16 × √3 = √48.
√45 = √(9 × 5) = 3√5.
√300 = √(100 × 3) = 10√3.
Dans l’autre sens : 4√3 = √16 × √3 = √48.
Si tu hésitesTu peux faire en deux temps : √72 = √(4 × 18) = 2√18, puis 18 = 9 × 2 donc √18 = 3√2 et on obtient 2 × 3√2 = 6√2. Le résultat est le même.
6. Sommes et différences de racines carrées
Les racines carrées s’additionnent comme des « objets » identiques : 3 pommes + 2 pommes = 5 pommes. De même 3√5 + 2√5 = 5√5 (on factorise √5 : (3 + 2)√5).
Additionner ou soustraire des racines1. Simplifie chacune des racines.
2. Regroupe celles qui ont la même racine (le même nombre sous le radical).
3. Additionne les coefficients.
2. Regroupe celles qui ont la même racine (le même nombre sous le radical).
3. Additionne les coefficients.
Exemple résoluA = √18 + √50 − √8
A = 3√2 + 5√2 − 2√2
A = (3 + 5 − 2)√2 = 6√2.
A = 3√2 + 5√2 − 2√2
A = (3 + 5 − 2)√2 = 6√2.
Le piège classique√2 + √3 ne se simplifie pas : les racines sont différentes, on laisse l’écriture telle quelle. Et surtout, √2 + √3 n’est pas égal à √5.
Les identités remarquables fonctionnent aussi avec les racines : (√a + 1)(√a − 1) = (√a)² − 1 = a − 1 et (2 + √3)² = 4 + 4√3 + 3 = 7 + 4√3.
7. Comparer des nombres avec des racines
Ordre et racine carréePour deux nombres positifs a et b : si a < b alors √a < √b (et réciproquement). La racine carrée « garde l’ordre ».
Comparer 3√5 et 2√11On rentre les coefficients sous la racine : 3√5 = √45 et 2√11 = √44. Comme 45 > 44, on a 3√5 > 2√11.
On peut aussi comparer les carrés de deux nombres positifs : (3√5)² = 45 et (2√11)² = 44.
On peut aussi comparer les carrés de deux nombres positifs : (3√5)² = 45 et (2√11)² = 44.
EncadrementComme 2,6² = 6,76 et 2,7² = 7,29, on a 2,6 < √7 < 2,7. La calculatrice confirme : √7 ≈ 2,6457.
8. Nombres irrationnels et équation x² = a
Dans le carré ABCD de côté 1, la diagonale AC mesure √2 d’après le théorème de Pythagore : AC² = 1² + 1² = 2.
Nombre irrationnelUn nombre est rationnel s’il peut s’écrire comme une fraction d’entiers (le dénominateur étant non nul). Un nombre irrationnel est un nombre qui n’est pas rationnel : il ne peut pas s’écrire sous forme de fraction, et son écriture décimale ne se termine jamais et ne se répète jamais.
| Nombre | Entier | Décimal | Rationnel (fraction) | Irrationnel |
|---|---|---|---|---|
| √49 = 7 | oui | oui | oui | non |
| 0,25 | non | oui | oui | non |
| 13 | non | non | oui | non |
| √2 | non | non | non | oui |
| π | non | non | non | oui |
À savoirSi n est un entier qui n’est pas un carré parfait, alors √n est irrationnel : √2, √3, √5, √7, √10… Le nombre π est lui aussi irrationnel. En revanche √49 = 7 est un entier, donc rationnel.
Mathbot ditQuand ta calculatrice affiche 1,414213562, elle ne donne pas √2 : elle donne seulement une valeur approchée. Le vrai √2 continue sans jamais se répéter !
Résoudre x² = a• Si a > 0 : il y a deux solutions, √a et −√a.
• Si a = 0 : une seule solution, 0.
• Si a < 0 : aucune solution.
Exemple : x² = 11 a pour solutions √11 et −√11 ; x² = −3 n’a pas de solution.
• Si a = 0 : une seule solution, 0.
• Si a < 0 : aucune solution.
Exemple : x² = 11 a pour solutions √11 et −√11 ; x² = −3 n’a pas de solution.
À retenir
- √a (avec a ≥ 0) est le nombre positif dont le carré est a : (√a)² = a et √(a²) = a.
- On ne peut pas prendre la racine carrée d’un nombre négatif.
- Les carrés parfaits de 1 à 15 : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225.
- √a × √b = √(ab) et √(a ÷ b) = √a ÷ √b. Mais √(a + b) ≠ √a + √b.
- Simplifier : chercher le plus grand carré parfait qui divise le nombre (√72 = 6√2).
- Pour additionner des racines : simplifier d’abord, puis regrouper celles qui sont identiques.
- Pour comparer deux nombres positifs, on peut comparer leurs carrés ou rentrer les coefficients sous la racine.
- √2, √3, √5… sont des nombres irrationnels ; x² = a a deux solutions si a > 0.