Algorithmique et programmation : corrigé des exercices de maths 3ème

1 Suivre trois variables ★★★

Ligne 1 : x = 7. Ligne 2 : x = 7 × 3 = 21. Ligne 3 : x = 21 − 5 = 16. Ligne 4 : y = 16 + 2 = 18.

À la fin : x = 16 et y = 18.

2 Vrai ou faux ? ★★★

Suivi : A = 4 ; B = 4 + 1 = 5 ; A = 10 ; B = 5 + 2 = 7.

1. Vrai : A a été remplacé par 10 à la ligne 3.
2. Faux : B vaut 5 + 2 = 7, car il a été calculé avec A = 4.
3. Faux : B a été calculé une fois pour toutes à la ligne 2 ; changer A ensuite ne le modifie pas.
4. Vrai : 10 + 7 = 17.

3 Un programme de calcul ★★★

1. demander [Nombre ?] et attendre
   mettre [n] à (réponse)
   mettre [R] à ((n + 5) × 4)
   mettre [R] à (R − 3 × n)
   dire (R)

2. Pour n = 6 : (6 + 5) × 4 = 44, puis 44 − 18 = 26. Pour n = −2 : (−2 + 5) × 4 = 12, puis 12 − 3 × (−2) = 12 + 6 = 18.
3. Le résultat est 4(n + 5) − 3n = 4n + 20 − 3n = n + 20. Vérification : 6 + 20 = 26 et −2 + 20 = 18.

4 Tarif de cinéma ★★★

8 ans : 8 < 12 est vrai, donc 5 €. 12 ans : 12 < 12 est faux ; 12 < 26 est vrai, donc 7 €. 25 ans : 25 < 12 faux, 25 < 26 vrai : 7 €. 26 ans : 26 < 26 est faux, donc 9 €. 40 ans : les deux tests sont faux : 9 €.

5 Une boucle qui additionne ★★★

Le programme dit 34 (on vérifie : 10 + 6 × 4 = 34).

6 Le lutin et le pentagone ★★★

1. Cinq côtés égaux et des rotations égales : un pentagone régulier.
2. 5 × 60 = 300 pas.
3. 360 ÷ 9 = 40° ; 360 ÷ 20 = 18°.

7 Diviser par 2 tant que c’est grand ★★★

Tant que N > 10 : 100, 50, 25 et 12,5 sont tous supérieurs à 10, donc la boucle fait 4 tours. Après le 4ème tour N = 6,25, et 6,25 > 10 est faux : on sort. Le programme dit 4 puis 6,25.

8 Pair ou impair ? ★★★

demander [Entier ?] et attendre
mettre [n] à (réponse)
si ((n modulo 2) = 0) alors
    dire [pair]
sinon
    dire [impair]

17 modulo 2 = 1 : impair. 40 modulo 2 = 0 : pair. 2025 = 2 × 1012 + 1, donc 2025 modulo 2 = 1 : impair.

9 Des mentions en cascade ★★★

1. 15,5 : le test « ≥ 16 » est faux, « ≥ 14 » est vrai : Bien. 10 : faux jusqu’à « ≥ 10 » : Passable. 9,5 : tous les tests sont faux : Insuffisant. 12 : « ≥ 12 » est vrai : Assez bien. 16 : Très bien.
2. Le programme s’arrête au premier test vrai : toute note supérieure ou égale à 10 donnerait « Passable », même 19. Les autres tests ne seraient jamais atteints : l’ordre est essentiel.

10 Une fonction de prix ★★★

1. prix(4) = 4 × 4,5 = 18 €. prix(10) = 10 × 4,5 × 0,9 = 45 × 0,9 = 40,50 €. prix(12) = 54 × 0,9 = 48,60 €.
2. prix(9) = 9 × 4,5 = 40,50 €, le même prix que pour 10 billets. Le client qui veut 9 billets a intérêt à en prendre 10 : il en a un de plus pour le même prix.

11 Somme des premiers entiers ★★★

1. i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
   S	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	66	78

   Le programme dit 78.

2. On forme 50 paires de somme 101 : 1 + 100, 2 + 99, …, 50 + 51. Total : 50 × 101 = 5 050.

12 Atteindre un objectif d’épargne ★★★

Après k mois : 200 + 12 × k. On cherche le premier k tel que 200 + 12k ≥ 350, soit 12k ≥ 150, k ≥ 12,5. Contrôle : après 12 mois, 344 € (< 350, on continue) ; après 13 mois, 356 € (≥ 350, on s’arrête).

Le programme dit 13 et somme vaut 356. Lina pourra acheter l’objet au bout de 13 mois, avec 356 €.

13 Chercher l’erreur ★★★

1. La division est prioritaire : 12 + 15 + 9 ÷ 3 = 12 + 15 + 3 = 30.
2. (12 + 15 + 9) ÷ 3 = 36 ÷ 3 = 12.
3. Il manque des parenthèses : mettre [m] à ((a + b + c) ÷ 3).

14 Une étoile au lutin ★★★

1. 5 × 144 = 720°, soit 720 ÷ 360 = 2 tours.
2. Oui : un nombre entier de tours ramène le lutin face à la direction de départ, et la figure se referme. C’est une étoile à cinq branches.
3. 8 × 135 = 1 080° = 3 × 360° : trois tours complets, la figure se referme (étoile à huit pointes).

15 Calculer un PGCD par soustractions ★★★

105 > 63 : a = 105 − 63 = 42. 42 < 63 : b = 63 − 42 = 21. 42 > 21 : a = 42 − 21 = 21. Maintenant a = b = 21 : le programme s’arrête. PGCD(105, 63) = 21.

Simplification : 63 ÷ 21 = 3 et 105 ÷ 21 = 5, donc 63105 = 35, fraction irréductible.

16 L’algorithme d’Euclide ★★★

Détail : 252 = 198 × 1 + 54 ; 198 = 54 × 3 + 36 ; 54 = 36 × 1 + 18 ; 36 = 18 × 2 + 0. Après le 4ème tour, b = 0 et a = 18. Le programme dit 18 : PGCD(252, 198) = 18, en 4 tours (les soustractions successives en auraient demandé beaucoup plus).

17 Premier ou pas ? ★★★

1. d	2	3	4	5	6	7
   91 modulo d	1	1	3	1	1	0

   Pour d = 7 : 7 × 7 = 49 ≤ 91 et le reste est 0 : la boucle s’arrête. Comme 49 > 91 est faux, la fonction dit pas premier : 91 = 7 × 13.

2. d	2	3	4	5	6	7	8	9
   97 modulo d	1	1	1	2	1	6	1	7

   Aucun reste nul. Pour d = 10, 10 × 10 = 100 > 97 : la boucle s’arrête. La fonction dit premier.

3. Si n = d × e avec d ≤ e, alors d × d ≤ d × e = n. Un diviseur autre que 1 et n existe donc forcément avec d × d ≤ n : s’il n’y en a aucun, n est premier.
4. Pour n = 1 : d = 2, 2 × 2 = 4 > 1, la boucle ne tourne pas et la fonction dit « premier ». C’est faux, car 1 n’est pas premier : il faut traiter ce cas à part.

18 Compter les nombres premiers ★★★

1. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
2. Il y en a 10 : le programme dit 10.
3. Pour n = 25 : d = 2 (reste 1), d = 3 (reste 1), d = 4 (reste 1), d = 5 : 5 × 5 = 25 ≤ 25 et 25 modulo 5 = 0, la boucle s’arrête. Comme 25 > 25 est faux : pas premier (25 = 5 × 5).

19 Simuler 600 lancers de dé ★★★

1. La probabilité est 16 ≈ 0,167. On attend environ 600 ÷ 6 = 100 six.
2. 112 ÷ 600 ≈ 0,187. L’écart avec 0,167 est de l’ordre de 0,02 : normal avec seulement 600 essais.
3. On tire deux dés et on teste leur somme :

   mettre [d1] à (nombre aléatoire entre (1) et (6))
   mettre [d2] à (nombre aléatoire entre (1) et (6))
   si ((d1 + d2) = 7) alors
       ajouter (1) à [compte]

   Sur les 36 couples équiprobables, 6 donnent 7 : (1 ; 6), (2 ; 5), (3 ; 4), (4 ; 3), (5 ; 2), (6 ; 1). La probabilité est 636 = 16.

20 Une procédure « polygone » ★★★

1. 360 ÷ 8 = 45° ; 360 ÷ 10 = 36° ; 360 ÷ 12 = 30° ; 360 ÷ 7 ≈ 51,43°.
2. 10 × 25 = 250 pas.
3. 360 ÷ n = 24 donne n = 360 ÷ 24 = 15 côtés.

21 Une spirale carrée ★★★

1. 15, 30, 45, 60, 75 et 90 pas.
2. 15 + 30 + 45 + 60 + 75 + 90 = 315 pas (ou 15 × 21).
3. Les côtés grandissent : à chaque tour, le lutin passe plus loin que son point de départ du tour précédent. La figure est une spirale et ne se referme pas.

22 Le vol de la grêle (suite de Syracuse) ★★★

1. 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 : 8 étapes.
2. 12 → 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 : 9 étapes (une de plus, car 12 → 6 puis on retrouve la suite précédente).
3. 7 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 : on compte bien 16 étapes.