Au CM2, tu sais partager des nombres entiers et des nombres à virgule. Dans ce chapitre, tu apprends deux façons de diviser : la division euclidienne, qui donne un quotient entier et un reste, et la division décimale, qui continue le partage avec des chiffres après la virgule. À la fin, tu sauras choisir la bonne et vérifier ton résultat.
1. Partager : le sens de la division
Diviser sert à répondre à deux questions. « Combien dans chaque part ? » (on partage). « Combien de paquets ? » (on regroupe).
J’ai 17 billes. Je fais des paquets de 5 billes. Je fais 3 paquets et il me reste 2 billes.
17 billes en paquets de 5 : 3 paquets complets, 2 billes restent.
Dans 17 ÷ 5 : 17 est le dividende (ce qu’on partage), 5 est le diviseur (la taille ou le nombre de parts), 3 est le quotient (le résultat du partage) et 2 est le reste.
2. La division euclidienne
Faire la division euclidienne de 157 par 12, c’est chercher le plus grand nombre entier de fois que 12 « rentre » dans 157. On trouve un quotient entier et un reste. Ici : 157 = 12 × 13 + 1. Le quotient est 13 et le reste est 1.
Dividende = diviseur × quotient + reste. Et le reste est toujours plus petit que le diviseur. Si le reste est égal au diviseur ou plus grand, on peut encore faire un paquet !
Si tu trouves 157 ÷ 12 avec un reste de 13, ce n’est pas fini : 13 est plus grand que 12. Tu dois faire un paquet de plus.
3. Poser la division euclidienne
1) On prend les premiers chiffres jusqu’à pouvoir diviser par 6 : 7 centaines. 7 ÷ 6 = 1, car 6 × 1 = 6. Il reste 1.
2) On abaisse le chiffre suivant (5) : on a 15. 15 ÷ 6 = 2, car 6 × 2 = 12. Il reste 3.
3) On abaisse le dernier chiffre (8) : on a 38. 38 ÷ 6 = 6, car 6 × 6 = 36. Il reste 2.
Le quotient est 126 et le reste est 2.
758 | 6 −6 |----- 15 | 126 −12 38 −36 2
On vérifie toujours avec : 6 × 126 + 2 = 756 + 2 = 758. C’est bien le dividende, et 2 est plus petit que 6. Le calcul est juste.
4. Quand la division « tombe juste »… ou pas
Parfois le reste est 0 : la division tombe juste. Par exemple, 84 ÷ 7 = 12 et 7 × 12 = 84. On dit que 84 est un multiple de 7.
Mais 7 ÷ 4 ne tombe pas juste : 7 = 4 × 1 + 3. Si on veut partager tout, y compris le reste, on a besoin de la division décimale.
5. La division décimale d’un entier
1) 7 ÷ 4 = 1, car 4 × 1 = 4. Reste 3. J’écris 1 au quotient.
2) Je mets une virgule au quotient et j’ajoute un 0 au reste : 3 unités = 30 dixièmes.
3) 30 ÷ 4 = 7, car 4 × 7 = 28. Reste 2. Le chiffre 7 est le chiffre des dixièmes.
4) J’ajoute un 0 : 20 centièmes. 20 ÷ 4 = 5, car 4 × 5 = 20. Reste 0.
Donc 7 ÷ 4 = 1,75.
7,00 | 4 −4 |----- 30 | 1,75 −28 20 −20 0
Un ruban de 7 m partagé en 4 parts égales : chaque part mesure 1,75 m.
On n’oublie pas la virgule au quotient dès qu’on abaisse le premier zéro. Sans virgule, on écrirait 175 au lieu de 1,75.
6. Diviser un nombre décimal par un entier
1) On divise d’abord la partie entière : 45 ÷ 4 = 11, reste 1.
2) Quand on abaisse le premier chiffre après la virgule (6), on met la virgule au quotient.
3) On a 16 dixièmes. 16 ÷ 4 = 4, reste 0.
Donc 45,6 ÷ 4 = 11,4. Vérification : 11,4 × 4 = 45,6.
Quatre amis se partagent 9,5 €. 9,5 ÷ 2 = 4,75 pour deux amis. Pour 4 amis, il faut faire 9,5 ÷ 4 = 2,375, soit environ 2,38 €.
Bip bip ! Avant de diviser, devine le résultat. 45,6 ÷ 4 est proche de 44 ÷ 4 = 11. Si tu trouves 1,14 ou 114, il y a un problème de virgule.
7. Les quotients qui ne s’arrêtent pas
Certaines divisions ne se terminent jamais. Par exemple, 10 ÷ 3 = 3,333… Le chiffre 3 se répète sans fin. On donne alors une valeur approchée.
On s’arrête au rang demandé (dixième, centième…) et on regarde le chiffre suivant : 0 à 4, on garde ; 5 à 9, on ajoute 1.
10 ÷ 3 ≈ 3,33 au centième. 2 ÷ 3 = 0,666… ≈ 0,67 au centième.
8. Problèmes : que faire du reste ?
Dans un problème, la division euclidienne donne un quotient et un reste, mais la réponse dépend de la question.
73 élèves vont au cinéma. Un minibus a 8 places. 73 = 8 × 9 + 1. Il faut 10 minibus : 9 minibus pleins et 1 pour le dernier élève. Ici, on arrondit le quotient vers le haut.
Une autre situation : avec 73 €, combien de cahiers à 8 € ? 9 cahiers, et il reste 1 €. On garde le quotient.
Pour diviser un nombre par 10, 100 ou 1 000, on décale la virgule de 1, 2 ou 3 rangs vers la gauche. Exemple : 3 450 ÷ 100 = 34,5.
À retenir
- Division euclidienne : dividende = diviseur × quotient + reste, avec reste < diviseur.
- On vérifie toujours en calculant diviseur × quotient + reste.
- Pour continuer le partage, on met une virgule au quotient et on ajoute des zéros.
- Pour diviser un décimal par un entier, on met la virgule au quotient quand on abaisse le premier chiffre après la virgule.
- Certains quotients ne s’arrêtent jamais : on donne une valeur approchée.
- Dans un problème, on se demande ce qu’on fait du reste.