Une boîte de céréales, un dé, un tube de chips, un toit en pointe : tous ces objets ont une forme de solide. Dans ce chapitre, tu apprends à reconnaître le cube, le pavé droit, le prisme, la pyramide et le cylindre, à compter leurs faces, leurs arêtes et leurs sommets, à lire leurs patrons et à calculer des volumes simples.
1. Qu’est-ce qu’un solide ?
Solide
Un solide est un objet en 3 dimensions (longueur, largeur, hauteur). On peut le prendre dans la main. Sur une feuille, on dessine une perspective : les arêtes cachées sont en pointillés.
Un solide est un objet en 3 dimensions (longueur, largeur, hauteur). On peut le prendre dans la main. Sur une feuille, on dessine une perspective : les arêtes cachées sont en pointillés.
Vocabulaire
- Une face est une surface plate du solide.
- Une arête est un segment où deux faces se rencontrent.
- Un sommet est un point où plusieurs arêtes se rejoignent.
Polyèdre
Un polyèdre est un solide dont toutes les faces sont plates (ce sont des polygones). Le cube, le pavé, le prisme et la pyramide sont des polyèdres. Le cylindre n’en est pas un, car il a une face courbe.
Un polyèdre est un solide dont toutes les faces sont plates (ce sont des polygones). Le cube, le pavé, le prisme et la pyramide sont des polyèdres. Le cylindre n’en est pas un, car il a une face courbe.
2. Le cube et le pavé droit
Le cube
- 6 faces, toutes des carrés identiques.
- 12 arêtes, toutes de la même longueur.
- 8 sommets.
Le pavé droit
- 6 faces, toutes des rectangles. Les faces opposées sont identiques.
- 12 arêtes : 4 de chaque longueur (longueur, largeur, hauteur).
- 8 sommets.
Exemple
Une boîte à chaussures est un pavé droit de 30 cm sur 20 cm sur 12 cm. Pour border toutes ses arêtes avec un ruban, il faut 4 × (30 + 20 + 12) = 4 × 62 = 248 cm.
Une boîte à chaussures est un pavé droit de 30 cm sur 20 cm sur 12 cm. Pour border toutes ses arêtes avec un ruban, il faut 4 × (30 + 20 + 12) = 4 × 62 = 248 cm.
Un cube est un pavé !
Un cube est un pavé droit très particulier : ses trois dimensions sont égales. Toutes ses faces sont des carrés.
Un cube est un pavé droit très particulier : ses trois dimensions sont égales. Toutes ses faces sont des carrés.
3. Le prisme droit
Prisme droit
Un prisme droit a 2 bases identiques et parallèles, qui sont des polygones. Ses autres faces, appelées faces latérales, sont des rectangles.
Un prisme droit a 2 bases identiques et parallèles, qui sont des polygones. Ses autres faces, appelées faces latérales, sont des rectangles.
Compter dans un prisme
Si la base a n côtés :
Si la base a n côtés :
- nombre de faces = n + 2 ;
- nombre d’arêtes = n × 3 ;
- nombre de sommets = n × 2.
Exemple : prisme à base triangulaire
Ici n = 3. Il a 3 + 2 = 5 faces (2 triangles et 3 rectangles), 3 × 3 = 9 arêtes et 3 × 2 = 6 sommets. Le pavé droit est un prisme dont la base est un rectangle : n = 4, donc 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets. ✔
Ici n = 3. Il a 3 + 2 = 5 faces (2 triangles et 3 rectangles), 3 × 3 = 9 arêtes et 3 × 2 = 6 sommets. Le pavé droit est un prisme dont la base est un rectangle : n = 4, donc 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets. ✔
4. La pyramide
Pyramide
Une pyramide a 1 base, qui est un polygone. Ses faces latérales sont des triangles qui se rejoignent en un seul point, le sommet principal.
Une pyramide a 1 base, qui est un polygone. Ses faces latérales sont des triangles qui se rejoignent en un seul point, le sommet principal.
Compter dans une pyramide
Si la base a n côtés :
Si la base a n côtés :
- nombre de faces = n + 1 ;
- nombre d’arêtes = n × 2 ;
- nombre de sommets = n + 1.
Exemple : pyramide à base carrée
Ici n = 4. Elle a 4 + 1 = 5 faces (1 carré et 4 triangles), 4 × 2 = 8 arêtes et 4 + 1 = 5 sommets.
Ici n = 4. Elle a 4 + 1 = 5 faces (1 carré et 4 triangles), 4 × 2 = 8 arêtes et 4 + 1 = 5 sommets.
Attention
Les faces latérales d’une pyramide sont des triangles. Celles d’un prisme sont des rectangles. Ne les confonds pas !
Les faces latérales d’une pyramide sont des triangles. Celles d’un prisme sont des rectangles. Ne les confonds pas !
5. Le cylindre et les solides qui roulent
Cylindre
Un cylindre a 2 bases qui sont des disques identiques et une face courbe. Il n’a ni arête droite ni sommet. Une boîte de conserve est un cylindre.
Un cylindre a 2 bases qui sont des disques identiques et une face courbe. Il n’a ni arête droite ni sommet. Une boîte de conserve est un cylindre.
Le cylindre n’est pas un polyèdre. Le cône (comme un cornet de glace) et la boule (comme un ballon) ne sont pas non plus des polyèdres : ils ont une face courbe.
6. Les patrons
Patron
Un patron est le solide déplié et mis à plat. Si on le découpe et qu’on le plie, on retrouve le solide.
Un patron est le solide déplié et mis à plat. Si on le découpe et qu’on le plie, on retrouve le solide.
Savoir si un dessin est le patron d’un cube
- Compte les carrés : il en faut exactement 6.
- Imagine que tu replies les carrés autour d’un carré du milieu.
- Vérifie que deux carrés ne se posent jamais l’un sur l’autre, et qu’aucune face ne manque.
Piège
Six carrés ne font pas toujours un patron. Six carrés alignés en ligne se replient en un « tube » : ils ne forment pas un cube, car il manque deux faces et deux carrés se superposent.
Six carrés ne font pas toujours un patron. Six carrés alignés en ligne se replient en un « tube » : ils ne forment pas un cube, car il manque deux faces et deux carrés se superposent.
Patrons à connaître
- Cube : 6 carrés égaux. Il existe 11 patrons différents.
- Pavé droit : 6 rectangles, avec 3 paires de rectangles identiques.
- Prisme à base triangulaire : 2 triangles et 3 rectangles.
- Pyramide à base carrée : 1 carré et 4 triangles.
- Cylindre : 2 disques et 1 rectangle.
7. Mesurer le volume : compter des cubes
Volume
Le volume d’un solide, c’est la place qu’il occupe. On le mesure en comptant des cubes unités. Un cube de 1 cm d’arête a un volume de 1 cm³ (un centimètre cube).
Le volume d’un solide, c’est la place qu’il occupe. On le mesure en comptant des cubes unités. Un cube de 1 cm d’arête a un volume de 1 cm³ (un centimètre cube).
Exemple
Dans ce pavé, une couche contient 4 × 3 = 12 petits cubes. Il y a 2 couches. Le volume est 12 × 2 = 24 cm³.
Dans ce pavé, une couche contient 4 × 3 = 12 petits cubes. Il y a 2 couches. Le volume est 12 × 2 = 24 cm³.
8. Calculer un volume
Formules à connaître
- Pavé droit : volume = longueur × largeur × hauteur.
- Cube : volume = côté × côté × côté.
Exemples
Pavé de 6 cm sur 4 cm sur 3 cm : 6 × 4 × 3 = 72 cm³. Cube d’arête 5 cm : 5 × 5 × 5 = 125 cm³.
Pavé de 6 cm sur 4 cm sur 3 cm : 6 × 4 × 3 = 72 cm³. Cube d’arête 5 cm : 5 × 5 × 5 = 125 cm³.
Autres unités de volume
- 1 dm³ (un décimètre cube) est le volume d’un cube de 10 cm d’arête : 1 dm³ = 1 000 cm³.
- 1 dm³ = 1 litre (1 L).
- 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 L.
Exemple
Un aquarium de 50 cm sur 30 cm sur 40 cm a un volume de 50 × 30 × 40 = 60 000 cm³. Comme 1 000 cm³ = 1 L, il contient 60 000 ÷ 1 000 = 60 L.
Un aquarium de 50 cm sur 30 cm sur 40 cm a un volume de 50 × 30 × 40 = 60 000 cm³. Comme 1 000 cm³ = 1 L, il contient 60 000 ÷ 1 000 = 60 L.
Attention
Toutes les dimensions doivent être dans la même unité avant de multiplier. Et un volume s’écrit avec une unité « cube » : cm³, dm³, m³. Ne le confonds pas avec un périmètre (cm) ni avec une aire (cm²).
Toutes les dimensions doivent être dans la même unité avant de multiplier. Et un volume s’écrit avec une unité « cube » : cm³, dm³, m³. Ne le confonds pas avec un périmètre (cm) ni avec une aire (cm²).
9. Reconnaître un solide avec une description
Pour trouver un solide, pose-toi ces questions dans l’ordre.
- Y a-t-il une face courbe ? Si oui, c’est un cylindre (ou un cône, ou une boule).
- Sinon, combien de bases ? 2 bases identiques : prisme (cube et pavé compris). 1 base et des triangles qui se rejoignent : pyramide.
- Quelle est la forme de la base ? Le nom du prisme ou de la pyramide en dépend.
Mathbot te conseille
Pour un patron difficile, découpe-le vraiment dans une feuille et plie-le : c’est la meilleure façon de vérifier !
Pour un patron difficile, découpe-le vraiment dans une feuille et plie-le : c’est la meilleure façon de vérifier !
À retenir
- Une face est plate, une arête est un segment, un sommet est un point. Un polyèdre n’a que des faces plates.
- Cube : 6 faces, 12 arêtes, 8 sommets. Pavé droit : pareil, avec des rectangles.
- Prisme droit : 2 bases identiques et des faces latérales rectangulaires. Pyramide : 1 base et des faces latérales triangulaires.
- Cylindre : 2 disques et 1 face courbe.
- Un patron, c’est le solide mis à plat. Le patron d’un cube a 6 carrés bien placés.
- Volume du pavé : longueur × largeur × hauteur. Volume du cube : côté × côté × côté.
- 1 dm³ = 1 000 cm³ = 1 L.