Tu sais déjà partager et faire des groupes. Dans ce chapitre, tu apprends la division euclidienne : une division où l’on cherche un quotient entier et un reste. Tu vas apprendre à la poser, avec un diviseur à un chiffre puis à deux chiffres, et à vérifier ton résultat.
1. Partager en parts égales
Léa a 17 gâteaux. Elle les range par paquets de 5. Combien de paquets complets peut-elle faire ? Et combien de gâteaux restent ?
17 gâteaux rangés par paquets de 5 : 3 paquets complets et 2 gâteaux en reste.
Avec 3 paquets, on a utilisé 3 × 5 = 15 gâteaux. Il en reste 17 − 15 = 2. On ne peut pas faire un 4ème paquet, car il faudrait 5 gâteaux.
Faire la division euclidienne de 17 par 5, c’est chercher combien de fois 5 « rentre » dans 17, sans dépasser. On trouve le quotient 3 et le reste 2. On écrit : 17 = 5 × 3 + 2.
2. Le vocabulaire
| Mot | Ce que c’est | Dans 17 ÷ 5 |
|---|---|---|
| dividende | le nombre que l’on partage | 17 |
| diviseur | le nombre par lequel on divise | 5 |
| quotient | le nombre de parts (ou de groupes) | 3 |
| reste | ce qui reste après le partage | 2 |
Dividende = diviseur × quotient + reste. Le reste est toujours plus petit que le diviseur.
47 ÷ 6 : on cherche dans la table de 6. 6 × 7 = 42 et 6 × 8 = 48. 48 dépasse 47, donc on garde 7. Le reste est 47 − 42 = 5. On écrit : 47 = 6 × 7 + 5.
3. Le reste est plus petit que le diviseur
Dans une division par 6, les restes possibles sont 0, 1, 2, 3, 4 et 5. Si on trouve 6 ou plus, c’est qu’on peut encore faire un groupe de plus.
« 47 = 6 × 6 + 11 » est juste en calcul, mais ce n’est pas la division euclidienne : 11 est plus grand que 6. Il faut encore un groupe : 11 = 6 + 5, donc le quotient est 7 et le reste 5.
47 est entre 42 (6 × 7) et 48 (6 × 8), deux multiples de 6 qui se suivent.
4. Poser la division par un nombre à un chiffre
- Écris le dividende à gauche et le diviseur à droite.
- Prends les premiers chiffres du dividende jusqu’à avoir un nombre plus grand que le diviseur.
- Cherche combien de fois le diviseur rentre. Écris ce chiffre au quotient.
- Multiplie, soustrais, puis « abaisse » le chiffre suivant.
- Recommence jusqu’au dernier chiffre. Le dernier nombre obtenu est le reste.
Dans 6, il y a 1 fois 4 : on écrit 1 (6 − 4 = 2). On abaisse le 8 : 28. Dans 28, il y a 7 fois 4 : on écrit 7 (28 − 28 = 0). On abaisse le 5 : dans 5, il y a 1 fois 4 : on écrit 1 (5 − 4 = 1).
685 | 4 -4 | --- 28 | 171 -28 | 5 | -4 | 1 |
Le quotient est 171 et le reste est 1. On vérifie : 4 × 171 + 1 = 684 + 1 = 685. ✔
Quand le nombre abaissé est trop petit, on écrit 0 au quotient. Par exemple 842 ÷ 4 : dans 8, il y a 2 fois 4. On abaisse le 4 : 4 ÷ 4 = 1. On abaisse le 2 : dans 2, il y a 0 fois 4. On écrit 0, et le reste est 2. Le quotient est 210.
5. Avec un diviseur à deux chiffres
Quand le diviseur a deux chiffres, c’est la même méthode. Pour trouver le chiffre du quotient, on essaie avec des multiples du diviseur.
Écris d’abord quelques multiples du diviseur : 23, 46, 69, 92, 115… Ça t’évite de chercher au hasard.
Dans 87, combien de fois 23 ? 23 × 3 = 69 et 23 × 4 = 92 (trop grand). On écrit 3. 87 − 69 = 18. On abaisse le 5 : 185. Dans 185, combien de fois 23 ? 23 × 8 = 184 et 23 × 9 = 207 (trop grand). On écrit 8. 185 − 184 = 1.
875 | 23 -69 | --- 185 | 38 -184 | 1 |
Le quotient est 38 et le reste est 1. Vérification : 23 × 38 + 1 = 874 + 1 = 875. ✔
6. Vérifier sa division
- Le reste est-il plus petit que le diviseur ?
- Calcule diviseur × quotient + reste. Tu dois retrouver le dividende.
On trouve 925 ÷ 4 : quotient 231, reste 1. Contrôle 1 : 1 < 4 ✔. Contrôle 2 : 4 × 231 + 1 = 924 + 1 = 925 ✔. La division est juste.
7. Quand le reste est zéro
Si le reste est 0, le partage tombe juste. On dit que le dividende est un multiple du diviseur, ou que le dividende est divisible par le diviseur.
84 = 4 × 21 + 0 : le reste est 0, donc 84 est divisible par 4 et 84 est un multiple de 4.
8. Les problèmes de division
Pour savoir si on doit utiliser une division, on cherche si on fait des parts égales ou des groupes de même taille. Ensuite, il faut bien lire la question.
Il y a 82 enfants. Un car contient 9 places. Combien de cars faut-il pour que tous les enfants partent ?
82 = 9 × 9 + 1. Avec 9 cars, on transporte 81 enfants. Il reste 1 enfant, il faut donc un 10ème car.
Réponse : il faut 10 cars.
Bip bip ! Relis la question. Si on demande « combien de groupes complets », la réponse est le quotient. Si on demande « combien de groupes pour tout le monde », on ajoute 1 quand il y a un reste.
À retenir
- Division euclidienne : dividende = diviseur × quotient + reste.
- Le reste est toujours plus petit que le diviseur.
- Pour poser la division : on divise, on multiplie, on soustrait, on abaisse le chiffre suivant.
- Pour vérifier : diviseur × quotient + reste = dividende.
- Si le reste est 0, le dividende est un multiple du diviseur.
- Dans un problème, relis la question : on peut avoir à ajouter 1 au quotient.