Dans ce chapitre, tu apprends à reconnaître les triangles et les quadrilatères, à utiliser leurs propriétés, et à les construire avec la règle, l’équerre et le compas. Tu apprends aussi à lire et à écrire un programme de construction. Prends ta trousse : on trace !
1. Les triangles
Triangle
Un triangle est une figure qui a 3 côtés et 3 sommets. On le nomme avec les lettres de ses sommets : le triangle ABC.
Un triangle est une figure qui a 3 côtés et 3 sommets. On le nomme avec les lettres de ses sommets : le triangle ABC.
Il existe des triangles « spéciaux ». Chacun a un nom et une propriété.
Les triangles à connaître
- Le triangle isocèle a 2 côtés de même longueur.
- Le triangle équilatéral a 3 côtés de même longueur.
- Le triangle rectangle a 1 angle droit.
- Un triangle quelconque n’a aucune propriété particulière.
Exemple
Un triangle a des côtés de 5 cm, 5 cm et 8 cm. Deux côtés sont égaux : il est isocèle. Un triangle de 6 cm, 6 cm et 6 cm est équilatéral. Il est aussi isocèle, car il a bien deux côtés égaux (et même trois).
Un triangle a des côtés de 5 cm, 5 cm et 8 cm. Deux côtés sont égaux : il est isocèle. Un triangle de 6 cm, 6 cm et 6 cm est équilatéral. Il est aussi isocèle, car il a bien deux côtés égaux (et même trois).
Attention
Un triangle équilatéral est toujours isocèle, mais un triangle isocèle n’est pas toujours équilatéral. Un même triangle peut aussi avoir deux noms : un triangle peut être à la fois rectangle et isocèle.
Un triangle équilatéral est toujours isocèle, mais un triangle isocèle n’est pas toujours équilatéral. Un même triangle peut aussi avoir deux noms : un triangle peut être à la fois rectangle et isocèle.
2. Peut-on construire ce triangle ?
À savoir
Dans un triangle, le plus long côté est toujours plus petit que la somme des deux autres. Sinon, le triangle n’existe pas : les deux petits côtés ne peuvent pas se rejoindre.
Dans un triangle, le plus long côté est toujours plus petit que la somme des deux autres. Sinon, le triangle n’existe pas : les deux petits côtés ne peuvent pas se rejoindre.
Exemples
- 5 cm, 6 cm, 10 cm : 5 + 6 = 11 et 11 est plus grand que 10. Le triangle existe.
- 3 cm, 4 cm, 8 cm : 3 + 4 = 7 et 7 est plus petit que 8. Le triangle n’existe pas.
- 4 cm, 4 cm, 8 cm : 4 + 4 = 8. Les côtés tombent à plat sur le grand côté. Ce n’est pas un vrai triangle.
3. Les quadrilatères
Quadrilatère
Un quadrilatère est une figure qui a 4 côtés, 4 sommets et 4 angles.
Un quadrilatère est une figure qui a 4 côtés, 4 sommets et 4 angles.
Les quadrilatères à connaître
- Le carré : 4 côtés égaux et 4 angles droits.
- Le rectangle : 4 angles droits. Ses côtés opposés sont égaux.
- Le losange : 4 côtés égaux.
- Le parallélogramme : ses côtés opposés sont parallèles deux à deux (et égaux deux à deux).
Droites parallèles et perpendiculaires
Deux droites sont parallèles quand elles ne se croisent jamais, comme les deux bords d’une règle. Deux droites sont perpendiculaires quand elles se croisent en formant un angle droit.
Deux droites sont parallèles quand elles ne se croisent jamais, comme les deux bords d’une règle. Deux droites sont perpendiculaires quand elles se croisent en formant un angle droit.
Un carré, c’est quoi de plus ?
Un carré est à la fois un rectangle (il a 4 angles droits) et un losange (il a 4 côtés égaux). Un rectangle et un losange sont des parallélogrammes. Tous ces noms se « rangent » dans des poupées russes !
Un carré est à la fois un rectangle (il a 4 angles droits) et un losange (il a 4 côtés égaux). Un rectangle et un losange sont des parallélogrammes. Tous ces noms se « rangent » dans des poupées russes !
4. Les diagonales
Diagonale
Une diagonale est un segment qui relie deux sommets non voisins d’un quadrilatère. Un quadrilatère a donc 2 diagonales.
Une diagonale est un segment qui relie deux sommets non voisins d’un quadrilatère. Un quadrilatère a donc 2 diagonales.
Propriétés des diagonales
- Dans un rectangle, les deux diagonales ont la même longueur et se coupent en leur milieu.
- Dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.
- Dans un carré, les diagonales ont la même longueur, sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.
Exemple
Le rectangle ABCD a une diagonale AC de 10 cm. L’autre diagonale BD mesure aussi 10 cm. Le point O, où elles se croisent, est le milieu : AO = 10 ÷ 2 = 5 cm.
Le rectangle ABCD a une diagonale AC de 10 cm. L’autre diagonale BD mesure aussi 10 cm. Le point O, où elles se croisent, est le milieu : AO = 10 ÷ 2 = 5 cm.
5. Le périmètre
Périmètre
Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour. On additionne la longueur de tous les côtés.
Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour. On additionne la longueur de tous les côtés.
Calculer un périmètre plus vite
- Triangle équilatéral : côté × 3. Exemple : 7 × 3 = 21 cm.
- Carré ou losange : côté × 4. Exemple : 6 × 4 = 24 cm.
- Rectangle : (longueur + largeur) × 2. Exemple : (9 + 5) × 2 = 28 cm.
Attention
Un périmètre se mesure en cm, en m, en km… C’est une longueur. Ne mets jamais « cm² » pour un périmètre.
Un périmètre se mesure en cm, en m, en km… C’est une longueur. Ne mets jamais « cm² » pour un périmètre.
6. Bien utiliser ses instruments
Chaque instrument a son travail.
- La règle trace des lignes droites et mesure des longueurs.
- L’équerre vérifie ou trace un angle droit.
- Le compas trace un cercle ou un arc de cercle. Il sert aussi à reporter une longueur.
Tracer une droite perpendiculaire avec l’équerre
- Pose la règle sur la droite de départ.
- Place le côté de l’angle droit de l’équerre contre la droite, et le sommet de l’angle droit sur le point voulu.
- Trace le long de l’autre côté de l’équerre.
Tracer une droite parallèle
Fais glisser l’équerre le long de la règle. Le côté de l’équerre reste toujours à la même distance de la règle : les deux traits sont parallèles.
Fais glisser l’équerre le long de la règle. Le côté de l’équerre reste toujours à la même distance de la règle : les deux traits sont parallèles.
7. Construire un triangle avec la règle et le compas
Quand on connaît les trois côtés d’un triangle, on utilise le compas pour trouver le troisième sommet.
Construire le triangle ABC avec AB = 6 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm
- Trace le segment [AB] de 6 cm avec la règle.
- Ouvre le compas de 4 cm. Pointe-le en A et trace un arc de cercle.
- Ouvre le compas de 5 cm. Pointe-le en B et trace un autre arc qui coupe le premier.
- Appelle C le point où les deux arcs se coupent.
- Relie C à A et C à B. Le triangle est fini !
Mathbot te conseille
Garde toujours les traits de construction ! Les arcs de cercle montrent à ton maître ou à ta maîtresse que tu as bien utilisé le compas.
Garde toujours les traits de construction ! Les arcs de cercle montrent à ton maître ou à ta maîtresse que tu as bien utilisé le compas.
8. Construire un rectangle ou un carré
Construire un rectangle ABCD avec AB = 7 cm et AD = 3 cm
- Trace [AB] de 7 cm.
- Avec l’équerre, trace une perpendiculaire à (AB) passant par A. Sur cette droite, place D tel que AD = 3 cm.
- De la même façon, trace une perpendiculaire passant par B. Place C tel que BC = 3 cm.
- Relie D et C. Vérifie que DC mesure bien 7 cm.
Pour un carré
Fais pareil, mais avec les quatre côtés de la même longueur. Pour un carré de 5 cm : AB = AD = BC = DC = 5 cm. Tu peux contrôler avec les diagonales : elles doivent être égales.
Fais pareil, mais avec les quatre côtés de la même longueur. Pour un carré de 5 cm : AB = AD = BC = DC = 5 cm. Tu peux contrôler avec les diagonales : elles doivent être égales.
9. Lire et écrire un programme de construction
Programme de construction
C’est une liste d’étapes, écrites dans l’ordre, qui permet de tracer une figure sans la voir. Chaque étape est une phrase courte avec un verbe : trace, place, relie, reporte.
C’est une liste d’étapes, écrites dans l’ordre, qui permet de tracer une figure sans la voir. Chaque étape est une phrase courte avec un verbe : trace, place, relie, reporte.
Exemple
- Trace un segment [AB] de 6 cm.
- Trace le cercle de centre A et de rayon 4 cm.
- Trace le cercle de centre B et de rayon 5 cm.
- Appelle C un point où les deux cercles se coupent.
- Trace le triangle ABC.
La figure obtenue est un triangle quelconque : ses côtés mesurent 6 cm, 4 cm et 5 cm.
Écrire un bon programme
- Une seule action par étape.
- Donne toujours les longueurs et le nom des points.
- Relis ton programme en le suivant avec tes instruments.
À retenir
- Triangle isocèle : 2 côtés égaux. Équilatéral : 3 côtés égaux. Rectangle : 1 angle droit.
- Un triangle existe si le plus grand côté est plus petit que la somme des deux autres.
- Carré : 4 côtés égaux et 4 angles droits. Rectangle : 4 angles droits. Losange : 4 côtés égaux. Parallélogramme : côtés opposés parallèles.
- Diagonales : égales dans le rectangle, perpendiculaires dans le losange.
- Périmètre : on additionne tous les côtés. Rectangle : (longueur + largeur) × 2.
- La règle trace, l’équerre fait les angles droits, le compas trace les cercles et reporte les longueurs.
- Un programme de construction donne des étapes courtes, dans l’ordre.