Tu sais déjà calculer de tête avec des petits nombres. Mais avec de grands nombres, comme 48 372 ou 70 405, il faut une méthode sûre. Dans ce chapitre, tu apprends à poser les quatre opérations : addition, soustraction, multiplication et division. Tu apprends aussi à vérifier ton résultat pour ne plus te tromper.
1. Bien ranger les chiffres
Avant de poser une opération, on range chaque chiffre dans sa colonne. Un chiffre n’a pas la même valeur selon sa place.
De droite à gauche : les unités (u), les dizaines (d), les centaines (c), puis les unités de mille, les dizaines de mille, les centaines de mille, et ainsi de suite.
On aligne toujours les chiffres à droite, jamais à gauche. Les unités sont sous les unités, les dizaines sous les dizaines.
2. L’addition posée
Pour additionner, on commence par la colonne des unités, tout à droite. Si le total d’une colonne dépasse 9, on écrit le chiffre des unités et on retient les dizaines pour la colonne suivante.
- Aligne les nombres à droite.
- Additionne colonne par colonne, de droite à gauche.
- Si le total dépasse 9, écris le chiffre des unités et retiens le reste.
- Ajoute la retenue dans la colonne suivante.
Calculons 48 372 + 25 659.
48 372 + 25 659 -------- 74 031
Unités : 2 + 9 = 11. On écrit 1 et on retient 1. Dizaines : 7 + 5 + 1 = 13. On écrit 3 et on retient 1. On continue jusqu’à la gauche. Résultat : 74 031.
3. La soustraction posée
Pour soustraire, on calcule l’écart entre deux nombres. On place le plus grand nombre en haut. Si un chiffre du haut est plus petit que celui du bas, on ne peut pas soustraire directement.
On ajoute 10 au chiffre du haut. Pour que l’écart ne change pas, on ajoute aussi 1 au chiffre du bas, dans la colonne de gauche.
Calculons 70 405 − 28 676.
70 405 − 28 676 -------- 41 729
Unités : 5 − 6 est impossible, donc 15 − 6 = 9. Dizaines : on ajoute 1 en bas, 7 + 1 = 8, et 0 − 8 est impossible, donc 10 − 8 = 2. Centaines : 6 + 1 = 7, donc 14 − 7 = 7. Milliers : 8 + 1 = 9, donc 10 − 9 = 1. Dizaines de mille : 2 + 1 = 3, donc 7 − 3 = 4. Résultat : 41 729.
Additionne le résultat et le plus petit nombre. Tu dois retrouver le plus grand : 41 729 + 28 676 = 70 405.
4. La multiplication posée
Multiplier, c’est additionner plusieurs fois le même nombre. On pose la multiplication et on traite chaque chiffre du multiplicateur l’un après l’autre.
Calculons 3 472 × 6.
3 472
× 6
--------
20 832
6 × 2 = 12 : on écrit 2 et on retient 1. 6 × 7 = 42, plus 1 retenu : 43. On écrit 3 et on retient 4. 6 × 4 = 24, plus 4 : 28. On écrit 8 et on retient 2. 6 × 3 = 18, plus 2 : 20. Résultat : 20 832.
Calculons 2 574 × 36. On fait deux lignes : d’abord × 6 (les unités), puis × 30 (les dizaines). Sur la deuxième ligne, on écrit un 0 à droite, car on multiplie par des dizaines. Enfin, on additionne les deux lignes.
2 574
× 36
--------
15 444
77 220
--------
92 664
N’oublie jamais le 0 de la deuxième ligne. Sans lui, tu trouves un résultat dix fois trop petit.
5. La division posée
Diviser, c’est partager en parts égales. Quand le partage ne tombe pas juste, il reste quelque chose : c’est le reste. Le reste est toujours plus petit que le diviseur.
Diviser un nombre (le dividende) par un autre (le diviseur), c’est trouver le quotient et le reste tels que : dividende = diviseur × quotient + reste, avec reste < diviseur.
- On prend 8. Dans 8, il y a 1 fois 6 (car 1 × 6 = 6). Il reste 8 − 6 = 2.
- On prend 27. Dans 27, il y a 4 fois 6 (car 4 × 6 = 24). Il reste 27 − 24 = 3.
- On prend 34. Dans 34, il y a 5 fois 6 (car 5 × 6 = 30). Il reste 34 − 30 = 4.
- On prend 45. Dans 45, il y a 7 fois 6 (car 7 × 6 = 42). Il reste 45 − 42 = 3.
Le quotient est 1 457 et le reste est 3. On écrit : 8 745 = 6 × 1 457 + 3. Le reste 3 est bien plus petit que 6.
- On prend 93. Dans 93, il y a 6 fois 14 (car 6 × 14 = 84). Il reste 93 − 84 = 9.
- On prend 98. Dans 98, il y a 7 fois 14 (car 7 × 14 = 98). Il reste 98 − 98 = 0.
- On prend 2. Dans 2, il y a 0 fois 14 (car 0 × 14 = 0). Il reste 2 − 0 = 2.
Le quotient est 670 et le reste est 2. On écrit : 9 382 = 14 × 670 + 2.
Écris la table du diviseur avant de commencer : 1 fois, 2 fois, 3 fois… Ça évite de chercher à chaque étape. Mathbot, le robot-coach du site, te le dit : « Une table bien écrite, c’est une division à moitié gagnée ! »
6. Vérifier avec l’ordre de grandeur
Avant de calculer, on arrondit les nombres pour trouver un résultat approché. Si ton résultat posé en est très loin, tu as fait une erreur.
48 372 + 25 659 est proche de 50 000 + 26 000 = 76 000. Le résultat posé est 74 031 : c’est cohérent.
Voici les preuves à connaître.
- Addition : refais l’addition dans l’autre sens.
- Soustraction : ajoute le résultat au plus petit nombre.
- Multiplication : échange les deux nombres et recalcule.
- Division : calcule diviseur × quotient + reste, tu dois retrouver le dividende.
7. Résoudre un problème
Dans un problème, on cherche d’abord l’opération qui convient. Un schéma en barre aide à voir le tout et les parties.
- On réunit ou on ajoute : addition.
- On enlève ou on cherche un écart : soustraction.
- On répète le même nombre plusieurs fois : multiplication.
- On partage en parts égales ou on regroupe : division.
- Lis l’énoncé et repère la question.
- Fais un schéma si ça t’aide.
- Choisis l’opération et pose-la.
- Vérifie, puis écris une phrase réponse avec l’unité.
À retenir
- On aligne les chiffres à droite, colonne par colonne.
- Addition : on retient quand le total d’une colonne dépasse 9.
- Soustraction : on peut ajouter 10 en haut et 1 en bas pour garder le même écart.
- Multiplication : on met un 0 à la deuxième ligne pour les dizaines.
- Division : dividende = diviseur × quotient + reste, et le reste est plus petit que le diviseur.
- On vérifie toujours avec l’ordre de grandeur et une preuve.