Dans la cour, 12 élèves veulent faire des équipes qui ont toutes le même nombre de joueurs, sans que personne reste seul. Est-ce possible par équipes de 3 ? De 5 ? Pour répondre vite, tu vas apprendre ce que sont les multiples et les diviseurs, et des astuces qui permettent de les reconnaître sans poser de division.
1. Les multiples d’un nombre
Un multiple d’un nombre est un résultat de la table de multiplication de ce nombre. On l’obtient en multipliant ce nombre par 1, par 2, par 3, par 4…
7 × 1 = 7 ; 7 × 2 = 14 ; 7 × 3 = 21 ; 7 × 4 = 28 ; 7 × 5 = 35 ; 7 × 6 = 42 ; 7 × 7 = 49. Les multiples de 7 sont donc 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, et la liste continue sans fin.
Un nombre a une infinité de multiples. Le plus petit multiple (en dehors de 0) est le nombre lui-même. Regarde la bande des nombres : les multiples de 3 sont coloriés.
Pour passer d’un multiple de 3 au suivant, on ajoute 3 : 3, 6, 9, 12, 15… Tous les multiples de 3 se retrouvent « de 3 en 3 ».
2. Reconnaître un multiple
- Cherche si le nombre est dans la table du nombre, ou fais la division.
- Si le reste de la division est 0, c’est un multiple.
- Sinon, ce n’est pas un multiple.
54 est un multiple de 9, car 9 × 6 = 54. En revanche, 45 n’est pas un multiple de 6 : 6 × 7 = 42 et 6 × 8 = 48, donc 45 est entre deux multiples de 6.
3. Les diviseurs d’un nombre
Quand la division de 36 par 4 tombe juste (reste 0), on dit que 4 est un diviseur de 36 et que 36 est divisible par 4. On dit aussi que 36 est un multiple de 4.
Les deux idées vont ensemble : 4 × 9 = 36. Donc 36 est un multiple de 4 et de 9, et 4 et 9 sont des diviseurs de 36.
Un diviseur d’un nombre n’est jamais plus grand que ce nombre. 15 ne peut pas être un diviseur de 5. Mais un multiple est toujours plus grand ou égal au nombre.
Voici 12 points rangés en lignes pleines de trois façons. Chaque rangement donne un produit égal à 12.
On lit : 1 × 12 = 12, 2 × 6 = 12 et 3 × 4 = 12. Les diviseurs de 12 sont donc 1, 2, 3, 4, 6, 12. Le nombre 1 est le diviseur de tous les nombres, et un nombre est toujours divisible par lui-même.
4. Trouver tous les diviseurs
- Écris 1 × le nombre.
- Teste 2, puis 3, puis 4… Si la division tombe juste, note le produit.
- Arrête-toi quand les nombres se retrouvent à l’envers.
- Écris la liste de tous les nombres trouvés, du plus petit au plus grand.
1 × 36 = 36 ; 2 × 18 = 36 ; 3 × 12 = 36 ; 4 × 9 = 36 ; 6 × 6 = 36. Les diviseurs de 36 sont 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
5. Les critères de divisibilité par 2, 5 et 10
Pas besoin de diviser : le dernier chiffre (le chiffre des unités) suffit !
- Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 (il est pair).
- Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.
- Un nombre est divisible par 10 s’il se termine par 0.
760 se termine par 0 : il est divisible par 2, par 5 et par 10. 275 se termine par 5 : il est divisible par 5, mais pas par 2 ni par 10. 318 se termine par 8 : il est divisible par 2 seulement.
6. Les critères de divisibilité par 3 et par 9
Ici, il faut additionner tous les chiffres du nombre.
- Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
- Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
729 : 7 + 2 + 9 = 18. Comme 18 est un multiple de 3 et de 9, 729 est divisible par 3 et par 9. 456 : 4 + 5 + 6 = 15. 15 est un multiple de 3 mais pas de 9 : 456 est divisible par 3 seulement. 2 345 : 2 + 3 + 4 + 5 = 14, qui n’est ni un multiple de 3 ni de 9.
Si un nombre est divisible par 9, il est aussi divisible par 3, car tous les multiples de 9 sont de 3 en 3 également. Mais attention, l’inverse est faux : 12 est divisible par 3 mais pas par 9.
7. Multiples et diviseurs communs
Un nombre peut être multiple de deux nombres en même temps. On le trouve en listant leurs multiples. Multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24. Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24, 30, 36. Les multiples communs sont 12, 24 : le plus petit est 12.
De même, deux nombres peuvent avoir des diviseurs communs. Pour 36 et 24 : diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 ; diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Les diviseurs communs sont 1, 2, 3, 4, 6, 12 ; le plus grand est 12.
On veut ranger 36 pommes et 24 poires dans des paniers identiques, sans reste. Le nombre de paniers doit diviser 36 et 24. Le maximum est 12 paniers, avec 3 pommes et 2 poires dans chaque panier.
À retenir
- Les multiples de 7 sont 7, 14, 21, 28… : les résultats de la table de 7.
- Si la division de a par b tombe juste, alors b est un diviseur de a et a est un multiple de b.
- Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6, 8 ; par 5 s’il se termine par 0 ou 5 ; par 10 s’il se termine par 0.
- Un nombre est divisible par 3 (ou 9) si la somme de ses chiffres est un multiple de 3 (ou 9).
- 1 est un diviseur de tous les nombres, et un nombre est divisible par lui-même.